随机过程综合练习题一、填空题（每空3分）第一章1．n X X X ,,21是独立同分布的随机变量，i X 的特征函数为)(t g ，则n X X X +++ 21的特征函数是 。

2．{}=)(Y X E E 。

3． X 的特征函数为)(t g ，b aX Y +=，则Y 的特征函数为 。

4．条件期望)(Y X E 是 的函数， （是or 不是）随机变量。

5．n X X X ,,21是独立同分布的随机变量，i X 的特征函数为)(t g i ，则 n X X X +++ 21的特征函数是 。

6．n 维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性 。

第二章7．宽平稳过程是指协方差函数只与 有关。

8．在独立重复试验中，若每次试验时事件A 发生的概率为)10(<<p p ，以)(n X 记进行到n 次试验为止A 发生的次数， 则},2,1,0),({ =n n X 是 过程。

9．正交增量过程满足的条件是 。

10．正交增量过程的协方差函数=),(t s C X 。

第三章11． {X(t), t ≥0}为具有参数0>λ的齐次泊松过程，其均值函数为 ；方差函数为 。

12．设到达某路口的绿、黑、灰色的汽车的到达率分别为1λ，2λ，3λ且均为泊松过程，它们相互独立，若把这些汽车合并成单个输出过程(假定无长度、无延时)，相邻绿色汽车之间的不同到达时间间隔的概率密度是 ，汽车之间的不同到达时刻间隔的概率密度是 。

13．{X(t), t ≥0}为具有参数0>λ的齐次泊松过程，{}==-+n s X s t X P )()( 。

,1,0=n14．设{X(t), t ≥0}是具有参数0>λ的泊松过程，泊松过程第n 次到达时间W n 的数学期望是 。

15．在保险的索赔模型中，设索赔要求以平均2次/月的速率的泊松过程到达保险公司．若每次赔付金额是均值为10000元的正态分布，求一年中保险公司的平均赔付金额 。

16．到达某汽车总站的客车数是一泊松过程，每辆客车乘客数是一随机变量．设各客车乘客数独立同分布，且各辆车乘客数与车辆数N(t)相互独立，则在[0，t]到达汽车总站的乘客总数是 （复合or 非齐次）泊松过程．17．设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2min 到达的顾客不超过3人的概率是 ．第四章18． 无限制随机游动各状态的周期是 。

19．非周期正常返状态称为 。

20．设有独立重复试验序列}1,{≥n X n 。

以1=n X 记第n 次试验时事件A 发生，且p X P n ==}1{，以0=n X 记第n 次试验时事件A 不发生，且p X P n -==1}0{，若有1,1≥=∑=n X Y nk k n ，则}1,{≥n Y n 是 链。

答案一、填空题1．)(t g n ； 2．EX ； 3．)(at g e ibt 4．;Y 是 5．∏=ni i t g 1)(； 6．等价7．时间差； 8．独立增量过程；9．[][]{}0)()()()(3412=--t X t X t X t X E 10．}),(min{2t s X σ 11．t t λλ;； 12．⎩⎨⎧<≥=-000)(11t t e t f tλλ ⎩⎨⎧<≥++=++-000)()()(321321t t e t f tλλλλλλ13．t ne n t λλ-!)( 14．λn 15．240000 16．复合； 17．4371-e18．2； 19．遍历状态； 20．齐次马尔科夫链；二、判断题（每题2分）第一章1．)(t g i ),2,1(n i =是特征函数，∏=ni i t g 1)(不是特征函数。

（ ）2．n 维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性等价。

（ ）3．任意随机变量均存在特征函数。

（ ）4．)(t g i ),2,1(n i =是特征函数，∏=ni i t g 1)(是特征函数。

（ ）5．设()1234X ,X ,X ,X 是零均值的四维高斯分布随机变量，则有1234123413241423()()()+()()+()()E X X X X E X X E X X E X X E X X E X X E X X =（） 第二章6．严平稳过程二阶矩不一定存在，因而不一定是宽平稳过程。

（ ）7．独立增量过程是马尔科夫过程。

（ ）8．维纳过程是平稳独立增量过程。

（ ）第三章9．非齐次泊松过程是平稳独立增量过程。

（ ）第四章10．有限状态空间不可约马氏链的状态均常返。

（ ）11．有限齐次马尔科夫链的所有非常返状态集不可能是闭集。

（ ）12．有限马尔科夫链，若有状态k 使0lim )(≠∞→n ik n p ，则状态k 即为正常返的。

（） 13．设S i ∈，若存在正整数n ，使得,0,0)1()(>>+n ii n ii p p 则i 非周期。

（ ）14．有限状态空间马氏链必存在常返状态。

（ ）15．i 是正常返周期的充要条件是)(lim n ii n p ∞→不存在。

（ ）16．平稳分布唯一存在的充要条件是：只有一个基本正常返闭集。

（ ）17．有限状态空间马氏链不一定存在常返状态。

（ ）18．i 是正常返周期的充要条件是)(lim n ii n p ∞→存在。

（ ）19．若i j ↔，则有i j d d =（ ）20．不可约马氏链或者全为常返态，或者全为非常返态．（ ）答案二、判断题1．× 2．√ 3．√ 4．√ 5．√6．√ 7．√ 8．√ 9．×10．√ 11．√ 12．√ 13．√ 14．√ 15．√16．√ 17．× 18．× 19．√ 20．√三、大题第一章1．（10分）—（易）设),(~p n B X ，求X 的特征函数，并利用其求EX 。

2．（10分）—（中）利用重复抛掷硬币的试验定义一个随机过程，+∞<<∞-⎩⎨⎧=t t t t X 出现反面出现正面,2,cos )(π 出现正面和反面的概率相等，求)(t X 的一维分布函数)2/1,(x F 和)1,(x F ，)(t X 的二维分布函数)1,2/1;,(21x x F 。

3．（10分）—（易）设有随机过程0,)(≥+=t Bt A t X ，其中A 与B 是相互独立的随机变量，均服从标准正态分布，求)(t X 的一维和二维分布。

第二章4．（10分）—（易）设随机过程X(t)=Vt+b ，t ∈(0,+∞), b 为常数，V 服从正态分布N(0，1)的随机变量，求X(t)的均值函数和相关函数。

5．（10分）—（易）已知随机过程X(t)的均值函数m x (t)和协方差函数B x (t 1, t 2)，g(t)为普通函数，令Y(t)= X(t)+ g(t)，求随机过程Y(t)的均值函数和协方差函数。

6．（10分）—（中）设}),({T t t X ∈是实正交增量过程，ξ,0)0(),,0[=∞=X T 是一服从标准正态分布的随机变量，若对任一)(,0t X t ≥都与ξ相互独立，求),0[,)()(∞∈+=t t X t Y ξ的协方差函数。

7．（10分）—（中）设},)({+∞<<∞-+=t Yt X t Z ，若已知二维随机变量),(Y X 的协方差矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2221σρρσ，求)(t Z 的协方差函数。

8．（10分）—（难）设有随机过程}),({T t t X ∈和常数a ，试以)(t X 的相关函数表示随机过程T t t X a t X t Y ∈-+=),()()(的相关函数。

第三章9．（10分）—（易）某商店每日8时开始营业，从8时到11时平均顾客到达率线性增加．在8时顾客平均到达率为5人/时，11时到达率达到最高峰20人/时，从11时到13时，平均顾客到达率维持不变，为20人/时，从13时到17时，顾客到达率线性下降，到17时顾客到达率为12人/时。

假定在不相重叠的时间间隔到达商店的顾客数是相互独立的，问在8：30—9：30间无顾客到达商店的概率是多少？在这段时间到达商店的顾客数学期望是多少?10．（15分）—（难）设到达某商店的顾客组成强度为λ的泊松过程，每个顾客购买商品的概率为p ，且与其它顾客是否购买商品无关，求（0，t ）无人购买商品的概率。

11．（15分）—（难）设X 1(t) 和X 2 (t) 是分别具有参数1λ和2λ的相互独立的泊松过程，证明：Y(t)是具有参数21λλ+的泊松过程。

12．（10分）—（中）设移民到某地区定居的户数是一泊松过程，平均每周有2户定居．即2=λ。

如果每户的人口数是随机变量，一户四人的概率为1/6，一户三人的概率为1/3，一户两人的概率为1/3，一户一人的概率为1/6，并且每户的人口数是相互独立的，求在五周移民到该地区人口的数学期望与方差。

13．（10分）—（难）在时间t 向总机呼叫k 次的概率为 ,2,1,0,!)(==-k e k k p kt λλ，其中0>λ为常数．如果任意两相邻的时间间隔的呼叫次数是相互独立的，求在时间2t 呼叫n 次的概率)(2n P t14．（10分）—（易）设顾客到某商场的过程是泊松过程，巳知平均每小时有30人到达，求下列事件的概率：两个顾客相继到达的时间间隔超过2 min15．（15分）—（中）设进入中国上空流星的个数是一泊松过程，平均每年为10000个．每个流星能以陨石落于地面的概率为0.0001，求一个月落于中国地面陨石数W 的EW 、varW 和P{W ≥2}．16．（10分）—（易）通过某十字路口的车流是一泊松过程．设1min 没有车辆通过的概率为0.2，求2min 有多于一辆车通过的概率。

17．（10分）—（易）设顾客到某商场的过程是泊松过程，巳知平均每小时有30人到达，求下列事件的概率：两个顾客相继到达的时间间隔短于4 min18．（15分）—（中）某刊物邮购部的顾客数是平均速率为6的泊松过程，订阅1年、2年或3年的概率分别为1／2、l ／3和1／6，且相互独立．设订一年时，可得1元手续费；订两年时，可得2元手续费；订三年时，可得3元手续费. 以X(t)记在[0，t]得到的总手续费，求EX(t)与var X(t)19．（10分）—（易）设顾客到达商场的速率为2个／min ，求 (1) 在5 min 到达顾客数的平均值；(2) 在5min 到达顾客数的方差；(3) 在5min 至少有一个顾客到达的概率．20．（10分）—（中）设某设备的使用期限为10年，在前5年平均2.5年需要维修一次，后5年平均2年需维修一次，求在使用期限只维修过1次的概率．21．（15分）—（难）设X(t)和Y(t) (t ≥0)是强度分别为X λ和Y λ的泊松过程，证明：在X(t)的任意两个相邻事件之间的时间间隔，Y(t) 恰好有k 个事件发生的概率为kY X Y Y X X p ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=λλλλλλ。