常考问题7三角恒等变换与解三角形
(建议用时：50分钟)
1．(2013·济宁二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则b等于________．
解析∵S＝1
2ac sin B＝2，∴
1
2×1×c×sin 45°＝2.
∴c＝4 2.
∴b2＝a2＋c2－2ac cos B＝1＋32－2×1×42×cos 45°.
∴b2＝25，b＝5.
答案 5
2．(2013·北京东城区期末)在△ABC中，A，B，C为内角，且sin A cos A＝sin B cos B，则△ABC是________三角形．
解析由sin A cos A＝sin B cos B得sin 2A＝sin 2B＝sin(π－2B)，所以2A＝2B
或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π
2，所以△ABC为等腰或直角三角形．
答案等腰或直角
3．(2013·浙江卷改编)已知α∈R，sin α＋2cos α＝10
2，则tan 2α等于________．
解析∵sin α＋2cos α＝10 2，
∴sin2α＋4sin α·cos α＋4cos2α＝5 2.
化简，得4sin 2α＝－3cos 2α，
∴tan 2α＝sin 2α
cos 2α＝－
3
4.
答案－3 4
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C等于________．
解析先用正弦定理求出角B的余弦值，再求解．
由b sin B ＝c
sin C ，且8b ＝5c ，C ＝2B ， 所以5c sin 2B ＝8c sin B ，所以cos B ＝4
5. 所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2 B －1＝7
25. 答案 7
25
5．已知tan β＝43，sin(α＋β)＝5
13，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为________． 解析 依题意得sin β＝45，cos β＝35；注意到sin(α＋β)＝5
13<sin β，因此有α＋β>π2(否则，若α＋β≤π2，则有0<β<α＋β≤π2，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sin β”矛盾)，则cos(α＋β)＝－12
13，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)·cos β－cos(α＋β)sin β＝6365. 答案 63
65
6．(2013·衡水调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知a 2－c 2＝2b ，且sin A cos C ＝3cos A sin A ，求b ＝______.
解析 在△ABC 中，sin A cos C ＝3cos A sin C ，则由正弦定理及余弦定理有a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝3·b 2＋c 2－a 2
2bc ·c ，化简并整理得2(a 2－c 2)＝b 2.又由已知a 2－c 2＝2b ，则4b ＝b 2，解得b ＝4或b ＝0(舍)． 答案 4
7．若α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝32，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝－12，则cos (α＋β)＝________.
解析 ∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴－π4<α－β2<π2，－π2<α2－β<π4，由cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α－β2＝32和
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
α2－β＝－12得α－β2＝±π6，α2－β＝－π6，当α－β2＝－π6，α2－β＝－
π6时，α＋β＝0，与α，β∈⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，π2矛盾；当α－β2＝π6，α2－β＝－π6时，α＝β＝π3，此时
cos (α＋β)＝－1
2. 答案 －1
2
8．(2013·苏北四市模拟)在△ABC 中，AD 为BC 边上的高线，AD ＝BC ，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，则b c ＋c
b 的取值范围是________． 解析 因为AD ＝BC ＝a ，由12a 2＝1
2bc sin A ，
解得sin A ＝a 2
bc ，再由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫b c ＋c b －a 2bc ＝
12⎝ ⎛⎭
⎪⎫
b c ＋c b －sin A ， 得b c ＋c
b ＝2cos A ＋sin A ，又A ∈(0，π)，
所以由基本不等式和辅助角公式得b c ＋c
b 的取值范围是[2，5]． 答案 [2，5]
9．(2010·江苏卷)某兴趣小组要测量电视塔AE 的高度
H (单位：m)．如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h ＝4 m ，仰角∠ABE ＝α，∠ADE ＝β.
(1)该小组已测得一组α，β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H 的值；
(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d (单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精度．若电视塔的实际高度为125 m ，试问d 为多少时，α－β最大？
解 (1)由AB ＝
H tan α，BD ＝h tan β，AD ＝H
tan β
及AB ＋BD ＝AD ，得H tan α＋h tan β＝H
tan β， 解得H ＝h tan α
tan α－tan β＝4×1.241.24－1.20＝124.
因此，算出的电视塔的高度H 是124 m. (2)由题设知d ＝AB ，得tan α＝H
d .
由AB ＝AD －BD ＝H tan β－h
tan β，得tan β＝H －h d ，所以tan(α－β)＝
tan α－tan β1＋tan α tan β＝
h d ＋H (H －h )d
≤h
2H (H －h )
，当且仅当d ＝H (H －h )d ，即d ＝H (H －h )＝
125×(125－4)＝555时，上式取等号，所以当d ＝555时，tan(α－β)最大． 因为0＜β＜α＜π2，则0＜α－β＜π
2，所以当d ＝555时，α－β最大． 故所求的d 是555m.
10．(2012·江苏卷)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝3BA →·BC →
. (1)求证：tan B ＝3tan A ； (2)若cos C ＝
5
5
，求A 的值． (1)证明 因为AB →·AC →＝3BA →·BC →，所以AB ·
AC ·cos A ＝3BA ·BC ·cos B ， 即AC ·cos A ＝3BC ·cos B ，由正弦定理知AC sin B ＝BC sin A ， 从而sin B cos A ＝3sin A cos B ，
又因为0＜A ＋B ＜π，所以cos A ＞0，cos B ＞0， 所以tan B ＝3tan A .
(2)解 因为cos C ＝55，0＜C ＜π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝255， 从而tan C ＝2，于是tan[π－(A ＋B )]＝2，即tan(A ＋B )＝－2，
亦即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－2，由(1)得4tan A 1－3tan 2A ＝－2，解得tan A ＝1或－13，
因为cos A ＞0，故tan A ＝1，所以A ＝π4.
11．(2013·新课标全国Ⅱ卷)△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B . (1)求B ；
(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值． 解 (1)由已知及正弦定理，得 sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，①
又A＝π－(B＋C)，
故sin A＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C．②由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B.
又B∈(0，π)，所以B＝π4.
(2)△ABC的面积S＝1
2ac sin B＝
2
4ac.
由已知及余弦定理，得4＝a2＋c2－2ac cos π4.
又a2＋c2≥2ac，故ac≤
4
2－2
，
当且仅当a＝c时，等号成立．
因此△ABC面积的最大值为2＋1.。