常考问题9 等差数列、等比数列
(建议用时：50分钟)
1．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12
＋a 13＝________.
解析 a 1＋a 2＋a 3＝15⇒3a 2＝15⇒a 2＝5，a 1a 2a 3＝80⇒(a 2－d )a 2(a 2＋d )＝80，将a 2＝5代入，得d ＝3(舍去d ＝－3)，从而a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 2＋10d )＝3×(5＋30)＝105. 答案 105
2．(2013·泰州期中)已知等比数列{a n }为递增数列，且a 3＋a 7＝3，a 2a 8＝2，则a 13
a
11
＝________.
解析 根据等比数列的性质建立方程组求解．因为数列{a n }是递增等比数列，所以a 2a 8＝a 3a 7＝2，又a 3＋a 7＝3，且a 3＜a 7，解得a 3＝1，a 7＝2，所以q 4＝2，故a 13
a 11
＝q 2＝ 2.
答案 2
3．(2013·南京二模)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6
＝13，则S 6
S 7
＝________. 解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则S 3S 6＝3a 1＋3d 6a 1＋15d ＝13⇒a 1＝2d ，所以S 6
S 7＝
6a 1＋15d 7a 1＋21d ＝27
35.
答案 27
35
4．数列{a n }为正项等比数列，若a 2＝1，且a n ＋a n ＋1＝6a n －1(n ∈N *，n ≥2)，则此数列的前4项和S 4＝________.
解析 设{a n }的公比为q (q ＞0)，当n ＝2时，a 2＋a 3＝6a 1，从而1＋q ＝6
q ，∴q ＝2或q ＝－3(舍去)，a 1＝12，代入可有S 4＝12×(1－24)1－2
＝15
2.
答案 15
2
5．(2012·南京学情调研)在等比数列{a n }中，若a 1＝1
2，a 4＝－4，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝________.
解析 求出等比数列的通项公式，再求和．由等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，得公比为－2，所以a n ＝12×(－2)n －1，|a n |＝1
2×2n －1，所以|a 1|＋|a 2|＋…
＋|a 6|＝12(1＋2＋22＋…＋25)＝12×1－261－2＝63
2
.
答案 63
2
6．(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m
＝0，S m ＋1＝3，则m 等于________． 解析 a m ＝2，a m ＋1＝3，故d ＝1， 因为S m ＝0，故ma 1＋m (m －1)
2
d ＝0， 故a 1＝－m －12， 因为a m ＋a m ＋1＝5， 故a m ＋a m ＋1＝2a 1＋(2m －1)d ＝－(m －1)＋2m －1＝5， 即m ＝5. 答案 5
7．在等差数列{a n }中，a 10＜0，a 11＞0，且a 11＞|a 10|，则{a n }的前n 项和S n 中最大的负数为前______项的和．
解析 因为S 19＝19a 10＜0，而由a 11＞|a 10|得a 11＋a 10＞0，所以S 20＝10(a 11＋a 10)＞0，故S n 中最大的负数为前19项的和． 答案 19
8．(2012·江苏卷改编)各项均为正数的等比数列{a n }满足a 1a 7＝4，a 6＝8，若函数f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a 10x 10的导数为f ′(x )，则f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12＝________.
解析 因为各项均为正数的等比数列{a n }满足a 1a 7＝4，a 6＝8，所以a 4＝2，q ＝2，故a n ＝2
n －3
，又f ′(x )＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2
＋…＋10a 10x 9
，所以f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12＝2
－2
＋2×2－2
＋3×2－2
＋…＋10×2－2
＝2－2
×10×112＝55
4.
答案 55
4
9．已知公差不为零的等差数列{a n }的前4项和为10，且a 2，a 3，a 7成等比数列． (1)求通项公式a n ；
(2)设b n ＝2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)由题意知⎩⎨⎧
4a 1＋6d ＝10，(a 1＋2d )2
＝(a 1＋d )(a 1＋6d )， 解得⎩⎨⎧
a 1＝－2，d ＝3，
所以a n ＝3n －5(n ∈N *)．
(2)∵b n ＝2a n ＝23n －5＝14·8n －1，∴数列{b n }是首项为1
4，公比为8的等比数列，所以S n ＝14(1－8n
)1－8
＝8n －1
28.
10．(2013·杭州模拟)已知数列{a n }是首项为133
，公比为
133
的等比数列，设b n ＋
15log 3a n ＝t ，常数t ∈N *. (1)求证：{b n }为等差数列；
(2)设数列{c n }满足c n ＝a n b n ，是否存在正整数k ，使c k ，c k ＋1，c k ＋2按某种次序排列后成等比数列？若存在，求k ，t 的值；若不存在，请说明理由． (1)证明 a n ＝3－n 3，b n ＋1－b n ＝－15log 3⎝
⎛⎭⎪⎫
a n ＋1a n ＝5， ∴{
b n }是首项为b 1＝t ＋5，公差为5的等差数列． (2)解
c n ＝(5n ＋t ) ·3－n
3， 则c k ＝(5k ＋t )·3－k 3，
令5k ＋t ＝x (x >0)，则c k ＝x ·3－k 3，c k ＋1＝(x ＋5)·3－k ＋13，c k ＋2＝(x ＋10)·3－k ＋23.
①若c 2k ＝c k ＋1c k ＋2，则
⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ·3－k 32＝(x ＋5)·3－k ＋13·(x ＋10)·3－k ＋23. 化简得2x 2－15x －50＝0，解得x ＝10； 进而求得k ＝1，t ＝5； ②若c 2k ＋1＝c k c k ＋2，
同理可得(x ＋5)2＝x (x ＋10)， 显然无解；
③若c 2k ＋2＝c k c k ＋1
，同理可得13(x ＋10)2＝x (x ＋5)， 方程无整数根．
综上所述，存在k ＝1，t ＝5适合题意．
11．(2013·南通调研)已知数列{a n }成等比数列，且a n ＞0.
(1)若a 2－a 1＝8，a 3＝m .①当m ＝48时，求数列{a n }的通项公式；②若数列{a n }是唯一的，求m 的值；
(2)若a 2k ＋a 2k －1＋…＋a k ＋1－(a k ＋a k －1＋…＋a 1)＝8，k ∈N *，求a 2k ＋1＋a 2k ＋2＋…＋a 3k 的最小值．
解 设公比为q ，则由题意，得q ＞0.
(1)①由a 2－a 1＝8，a 3＝m ＝48，得⎩⎨⎧
a 1q －a 1＝8，a 1q 2＝48.
解之，得⎩⎨⎧ a 1＝8(2－3)，q ＝3＋3；或⎩⎨⎧
a 1＝8(2＋3)，
q ＝3－ 3.
所以数列{a n }的通项公式为
a n ＝8(2－3)(3＋3)n －1，或a n ＝8(2＋3)(3－3)n －1.
②要使满足条件的数列{a n }是唯一的，即关于a 1与q 的方程组⎩⎨⎧
a 1q －a 1＝8，
a 1q 2
＝m .有唯一正数解，即方程8q 2－mq ＋m ＝0有唯一解． 由Δ＝m 2－32m ＝0，a 3＝m ＞0，所以m ＝32，此时q ＝2. 经检验，当m ＝32时，数列{a n }唯一，其通项公式是a n ＝2n ＋2. (2)由a 2k ＋a 2k －1＋…＋a k ＋1－(a k ＋a k －1＋…＋a 1)＝8，
得a1(q k－1)(q k－1＋q k－2＋…＋1)＝8，且q＞1.
a2k＋1＋a2k＋2＋…＋a3k＝a1q2k(q k－1＋q k－2＋…＋1)＝
8q2k
q k－1
＝8
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
q k－1＋
1
q k－1
＋2
≥32，
当且仅当q k－1＝
1
q k－1
，即q＝
k
2，a1＝8(
k
2－1)时，
a2k＋1＋a2k＋2＋…＋a3k的最小值为32.。