大连理工大学2001年硕士生入学考试数学分析试题一. 从以下的1到8题中选答6题1. 证明:2()f x x =在区间[0,]M 内一致连续(M 为任意正数),但是在[0,)+∞不一致连续2. 证明:若()f x 在[,]a b 内连续,那么()f x 在[,]a b 内Riemann 可积.3. 证明:若1α>,那么广义积分1sin x dx α+∞⎰收敛4. 证明:若()f x ,()g x 为区间(,)a b 上的连续函数,对任意的(,)(,)a b αβ⊂有:()()f x dx g x dx ββαα=⎰⎰,那么, ()()f x g x ≡于(,)a b5. 证明:若1nn a∞=∑收敛,那么1nxn n a e∞-=∑在[0,)+∞一致收敛6. 已知：2,0()0,0x e x f x x -⎧≠⎪=⎨=⎪⎩，求"(0)f7. 已知：()()1(,)()22x atx at x at x at u x t d aφφψαα+-++-=+⎰. 其中, ψ和φ分别是可以求导一次和求导两次的已知函数,计算22222(,)(,)u x t u x t a t x ∂∂-∂∂8. 计算,半径为R 的球的表面积二. 从9到14题中选取6题9.已知: lim '()0x f x →∞=,求证: ()lim0x f x x→∞=10.证明: ()af x dx +∞⎰收敛,且lim ()x f x λ→+∞=,那么0λ=11.计算曲面积分: 333SI x dydz y dzdx z dxdy =++⎰⎰,其中S 为旋转椭球面2222221x y z a b c++=的外侧12.设()[0,1]f x C ∈,(0)0f =,(1)1f =,0()1f x ≤<. 求证: ()()n n S x f x =对于任意小于1的正数δ,在区间(0,1]δ-一致收敛,但是不在(0,1)一致收敛13.设()[0,1]f x C ∈,(0)0f =,(1)1f =,0()1f x ≤<. 求证: 10lim ()0n n f x dx →∞=⎰14.证明:若()[,]n u x C a b ∈，1,2,...,...n =且1()n n u b ∞=∑发散,那么1()n n u x ∞=∑不在[,)a b 一致收敛大连理工大学2001年硕士生入学考试数学分析试题解答一.1. 证 利用定义证明(1) 对于0ε∀>,21M εδ∃=+,12||x x δ∀-<,那么12121212|()()||()()|2||2f x f x x x x x M x x M δε-=-+<-<<(2) 任取1ε=,0δ∀>,1211,22x x δδδ∃==+, 1212121|()()||()()|1f x f x x x x x δδ-=-+>=,推出矛盾,从而命题得证■2. 证 利用一致连续的定义和Riemann 可积的定义来做因为函数在闭区间内连续,所以一致连续. 根据一致连续的定义对0ε∀>,δ∃,12||x x δ∀-<,12|()()|f x f x ε-<考虑可积的定义,对于一个[,]a b 分割112:...n a a a a b ∆=<<<=,11max ||i i i na a λ+≤<=-下面证明:振幅函数121110,[,]1()limmax {()}()i i n i i x x a a i w x f x a a λ+-+→∈==-∑=0当λδ<时,12111110,[,]110()limmax {()}()()i i n n i i i i x x a a i i w x f x a a a a b λεε+--++→∈==≤=-≤-=∑∑.根据夹逼定理,不难得到()0w x =. 从而,命题得证■3. 证 利用莱布尼兹交错级数:假设;n a =1sin nn a n a s x dx α-=⎰考虑:111|||||sin ||sin |n nnn a a n n a a s s x dx x dx αα+-+-=-⎰⎰1111[|sin ||sin |]n n n n x x dx x x dx ππππααππα--+-=+⎰⎰1111[|sin |(2)|sin |]n n n n xx dx n x x dx ππππααππαπ--++=--⎰⎰1111[(2)]|sin |0n n x n x x dx ππααπαπ--+=--<⎰11lim |||sin |||lim ||0nnn n a a n n a a n n s x dx dx s α--→∞→∞=≤==⎰⎰如此,不难看出1sin x dx α+∞⎰是一个莱布尼兹交错级数,从而命题得证■4. 证 不妨设:2a bc += ()()x c F x f t dt =⎰,那么()()F x G x =于(,)x a b ∈因为()f x ()g x 都是(,)x a b ∈上的连续函数,所以()'()()()f x F x G x g x ===■5. 证 利用A-D 判别法做，也可以通过Abel 求和公式出发推导1nxn n a e∞-=∑中nxn b e-=,现在,根据原题:1nn a∞=∑收敛,1nxn b e -=≤一致有界所以,根据Abel 判别法,知该函数项级数在定义域一致收敛. ■6. 解 题目有问题,在零点不连续■7. 解 不断利用链式求导法则()()1(,)()22x at x atx at x at u x t d a φφψαα+-++-=+⎰ (,)()()()()()()()()()()22'()'()'()'()22u x t xx at x at x at x at x at x at x at x at x at x x at x x x ax at x at x at x at aφφψψφφψψ∂∂∂+∂+∂-∂-∂+∂-++--∂+∂∂-∂∂∂=+++-+--=+22'()'()()()(,)()()()()22"()"()'()'()22x at x at x at x at u x t x at x at x at x at x ax at x at x at x at aφφψψφφψψ∂+∂-∂+∂-+-∂∂+∂-∂+∂-=+∂++-+--=+同理:(,)()()()()()()()()()()22'()'()'()'()22u x t tx at x at x at x at x at x at x at x at x at t x at t t t aa x at a x at x at x at φφψψφφψψ∂∂∂+∂+∂-∂-∂+∂-++--∂+∂∂-∂∂∂=++--++-=+222'()'()()()(,)()()()()22"()"()'()'()22x at x at x at x at aa u x t x at x at x at x at x x at x at x at x at a aφφψψφφψψ∂+∂-∂+∂--+∂∂+∂-∂+∂-=+∂++-+--=+22222(,)(,)0u x t u x t a t x ∂∂-=∂∂■8. 解 方法很多,此处介绍一种比较简单的假设:()V R 为半径R 为的球的体积2234()()3R R V R R x dx R ππ-=-=⎰假设: ()S R 为半径R 为的球的表面积20()()()'()4RV R S x dx S R V R R π=⇒==⎰■二9. 证 L ’Hosptial 法则因为x →+∞，()'()limlim lim '()0'x x x f x f x f x x x →∞→∞→∞===■10. 证 反证法如果命题不成立,即0λ≠,那么,根据极限的定义,G ∃,当x G >的时候, |()|||2f x λ>那么,()Gf x dx +∞→∞⎰和收敛矛盾,从而命题得证■11. 解 利用Gauss 定理加换元3332223()VSI x dydz y dzdx z dxdy x y z dxdydz =++=++⎰⎰⎰⎰⎰换元sin cos sin sin ,[0,1],[0,2),[0,]cos x ar y br r z cr ϕθϕθθπϕπϕ=⎧⎪=∈∈∈⎨⎪=⎩4222222223sin (sin sin sin cos cos )VI abc r a b c drd d ϕϕθϕθϕθϕ=++⎰⎰⎰22322322200033(sin sin sin cos )cos sin 55abc abc a b d d c d πππϕθϕθϕθϕϕϕ=++⎰⎰⎰332232203646()sin ()5555abc abc abc abc a b d a b πππϕϕ=++=++⎰■12. 证 首先由于在闭区间内连续,所以函数在闭区间内一致连续(1)(0,1]x δ∀∈-,根据确界存在定理,存在上确界,且上确界不等于1,否则和题意矛盾 不妨设:(0,1]sup ()1x f x m δ∈-=<根据定义,对于0ε∀>,ln ln N mε∃=,当n N >,|()||()|n nn S x f x m ε=≤< 从而知一致收敛于0(2)首先,根据前半题,显然()n S x 于(0,1)x ∀∈收敛于0由于(1)1f =,且函数一致收敛，存在一组数列：12...a a <<,1()1i f a n=- 如此,考虑11lim ()lim ()lim(1)0nnn n n n n n S a f a ne→∞→∞→∞==-=≠,从而不是一致收敛的. ■13. 证 利用前一小题的结论因为()nf x 内闭一致收敛,对于0ε∀>,2εδ∃=,当n 足够大的时候:10()2n f x dx δε-<⎰又1111|()|||2n f x dx dx δδε--<=⎰⎰所以,1111()()()n n n f x dx f x dx f x dx δδε--=+<⎰⎰⎰从而命题得证. ■14. 证 反证法:假设命题不成立,那么1()n n u x ∞=∑在[,)a b 一致收敛.即0ε∀>,N ∃,,m n N ∀>,(,)x a b ∀∈,|()|m n nu x ε<∑因为|()|lim |()|m mn n x bnnu b u b ε→=≤∑∑,否则与()[,]n u x C a b ∈矛盾而1|()|n n u b ∞=∑发散,所以|()|n n Nu b ∞=∑发散,与|()|lim |()|m m n n x bnnu b u b ε→=≤∑∑矛盾从而命题得证. ■。