(C) 内表面均匀，外表面不均匀。 (D) 内表面不均匀， 外表面也不均匀。
q
1-4 一平行板电容器充电后仍与电源连接，若用绝 缘手柄将电容器两极板间距离拉大，则极板上的电量 Q、电场强度的大小E和电场能量W将发生如下变化
(A) Q增大，E增大，W增大。 (B) Q减小，E减小，W减小。
(C) Q增大，E减小，W增大。 (D) Q增大，E增大，W减小。
Q1 q Q2 40 r 40 R1 40 R2
Q2
R1
R2
q
r ( R 2Q1 R 1Q2 ) q R 2 ( R 1 r )
1 dq 1 dq E dE er r 2 er 4 0 4 0 r 2 注意：在具体计算时，要先分解，再积分。
三、静电场的高斯定理
Φe
S
1 E dS
0
q
i
i内
电荷的分布具有某种 对称性的情况下利用高 斯定理求解 E较为方便
常见的电量分布的对称性
(均匀带电)
球对称
球体 球面
柱对称
（无限长）
面对称
（无限大）
柱体
柱面 带电线
平板
平面
球壳
点电荷
四、静电场的环路定理 E dl 0
l
五、电势能 电势
1、电势能
2、电势
E pa q0
E p 0
a
E dl
Ua
E pa q0


a
E dl
b
3、电势差（电压） 4、静电场力的功
Q 4 3 0a
Q 6 0a
(B) (D)
Q 2 3 0a
Q 12 0 a
Q
a
r
(C)
p
U
Q
4 0 r Q 2 3 0a
a 2 2a 2 3 r ( ) ( ) a 2 2 2
1-2 选无穷远处为电势零点，半径为R的导体球带 电后，其电势为U0，则球外离球心距离为r处的电场 强度的大小为
不变
Q C1 U1
1-8 如图所示为一个均匀带电的球层，其电荷体密 度为，球层内表面半径为R1，外表面半径为R2，设 无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势。
解： E0 0
E2 ( R23 R13 ) (r R2 ) 3 0 r 2
( r R1 ) 1 4 3 2 4 r E1 ( r R13 ) 0 3 R13 E1 (r 2 ) ( R1 r R2 ) 3 0 r 1 4 3 2 4 r E2 ( R2 R13 ) 0 3
Q C U 1 W C U2 2
条件：U 不变 C
E
1-5 一半径为R的均匀带电圆盘，电荷面密度为 ， 设无穷远处为电势零点，则圆盘中心O点的电势U 0 = 。
dS 2 r dr dU 4 0 r 4 0 r
R
r
dr
dr R U 2 0 0 2 0
E Exi Ey j Ez k
U Ez z
Q
六、电场强度与电势的关系
U Ex x
U Ey y
第十章 导体和电介质中的静电场 一、导体静电平衡条件： 导体内任一点的电场强度都等于零。 *推论 (静电平衡状态) 1) 导体为等势体，导体表面为等势面 2) 导体表面任一点 场强方向垂直于表面 二、导体上电荷的分布 1、实心的带电导体,电荷只能分布于导体的表面上。 2、空腔导体 (带电荷Q)
1) 腔内无电荷，导体的电荷只能分布在外表面。
2) 腔内有电荷 q，导体的内表面感应-q,外表面感应 +q，外表面带电荷 Q + q 。
+ + +
+
Q
++ ++ +
+ +
+
Q+q
+
-q
+
+q
+ +
+
+
+
3、导体表面附近的场强方向与表面垂 E e n 0 直，大小与该处电荷的面密度成正比。 三、电介质中的高斯定理
q 60 R
1-7 两个电容器1和2，串联后接上电源充电。在电源 保证连接的情况下，若把电介质充入电容器2中，则电 容器1上的电势差 增大 ，电容器极板上的电量 增大 。 （填增大、减小、不变） 串联： Q Q1 Q2
1 1 1 C C1 C2
U U1 U 2
Q C U
第四次作业
10-3
E1 q 4 0 r 2
答 案
r R1
R1 r R2
R1 q R2
E2 0
E3 q 4 0 r
2
r R2
q 4 0 r

q
q
U 3 r E3 dr
R2

U 2 r E2 dr R E3 dr 2
R1
R2
U rR
1
E1 dr E2 dr
R2 R1 R2
( R22 R12 ) 2 0
方法二： dq 4 r 2dr
dq dU rdr 4 0 r 0 1
R1
r
R2
U 0

R2
R1
( R22 R12 ) rdr 2 0
第九章 电荷与真空中的静电场 一、真空中的库仑定律
F
二、电场强度
q1q2 er 2 4 0 r 1
1、点电荷的场强 2、点电荷系的场强
F E q0
1 Q e 2 r 4 π 0 r qi 1 E r 2 er 4 0 i i
E
3、连续分布电荷的场强
U ab a
b
1 1 ( ) dr 2 4 0 a b 4 0 r
Q
Q
Q 10-7 设极板带电Q，则两极板间场强大小为 E 0S Q 两极板间的电势差为 U E (d t ) (d t ) 0S 0S C Q 0S (t 0) C d U d t (t d ) C
五、静电场的能量 1、电容器的能量 2、静电场的能量
1 Q2 1 2 CU QU We 2 2C 2
1 we E 2 能量密度 2 1 We we dV E 2 dV 2
积分区间为所有有 电场存在的空间。
习 题 课（一）
1-1 在边长为a的正方体中心处放置一点电荷Q，设 无穷远处为电势零点，则在正方体顶角处的电势为 (A)
R U0 (A) r2
RU 0 (C) r2
2
U0 (B) R
U0 (D) r
RU 0 E 2 4 0 r r2
Q
U0
Q 4 0 R
1-3 在一个孤立的导体球壳内，若在偏离球中心处 放一个点电荷，则在球壳内、外表面上将出现感应电 荷，其分布将是 (A) 内表面均匀，外表面也均匀。 (B) 内表面不均匀，外表面均匀。
1-9 如图所示，半径分别为R1和R2（R2 > R1）的两 个同心导体薄球壳，分别带电量Q1和Q2，今将内球 壳用细导线与远处半径为r的导体球相连，导体球原 来不带电，试求相连后导体球所带电量q 。 r R Q 解：设 连 接 后 ， 带 电q， 则 此 时 1带 电 为 1 q，
且两者电势相等。
R1 R2
q 4 0 R2

1 1 1 U1 r E1 dr R E2 dr R E3 dr ( ) 1 2 4 0 r R1 R2
q
10-6 设极板带电Q，则两球间场强大小为
E Q 4 0 r 2
ar b
两极板间的电势差为
Q ab C 4 0 U ab ba
R
1-6 图示 BCD是以O点为圆心，以R为半径的半圆 弧，在A点有一电量为+q的点电荷，O点有一电量为 q的点电荷，线段BA = R，现将一单位正电荷从B点 沿半圆弧轨道 BCD 移到 D 点，则 C 电场力所做的功为 。 R q q
W (U B U D )
A
B
O
D
q q 0 ( ) 40 (3R ) 40 R
1、电位移矢量 D
D 0 r E E
2、电介质中的高斯定理 电介质中任一闭合曲面的 电位移通量等于该面所包 D dS qi 0 围的自由电荷的代数和。 i S


四、电容器的电容 Q C UA UB
平行板电容器 C
0 r S
d
1 1 1 1 串联 并联 C C1 C2 Cn C C1 C2பைடு நூலகம்Cn
U ab
a
E dl
Aab q0U a q0U b q0U ba
5、电势的计算 点电荷电场中的电势
1 q U (r ) 4 0 r
n i 1
点电荷系电场中的电势 U P U P i 连续分布的带电体系的电势
U P dUP
Q
dq 4 0 r