1-4．一质点的运动学方程为 x t 2，y (t 1)2 ，x 和 y 均以 m 为单位，t 以 s 为单位。（1） 求质点的轨迹方程；（2）在 t 2s 时质点的速度和加速度。
分析同 1-3.
解：（1）由题意可知：x≥0，y≥0，由 x t2，，可得 t x ,代入 y (t 1)2
证： dv dv dx v dv Kv 2 dt dx dt dx
dv Kdx v
v
1dv
x
Kdx
,
v v 0
0
ln v Kx v0
v v0eKx
1-3．一质点在 xOy 平面内运动，运动函数为 x 2t, y 4t 2 8 。（1）求质点的轨道方程
并画出轨道曲线；（2）求 t = 1s 和 t = 2 s 时质点的位置、速度和加速度。
m1g T1' m1a1 ……………① m2 g T2' m2a2 …………② m3g T2 m3a3 ……………③
又：
a2 aB a2B a3 aB a3B 且： a2B a3B 则： a2 a3 2aB , 且aB a1, 则：
图 2－15
a2 a3 2a1 又： T1' T1 T2 T2' T2' T2
整理得： y x 1，即轨迹方程 （2）质点的运动方程可表示为： r t2i (t 1)2 j
则： v dr / dt 2ti 2(t 1) j
a dv / dt 2i 2 j
因此, 当 t 2s 时，有 v 4i 2 j (m / s), a 2i 2 j (m / s2 )
距离为 5m。
分析：由功的定义求解，先求元功再积分。
解：如图以地下室的 O 为原点，取 X 坐标轴向上为正，建立如图坐标轴。
选一体元 dV Sdx ，则其质m 从地下室中抽到街道上来所需作的功为 dA g(6.5 x)dm
故 A
1.5
dA
1.5 pSg(6.5 x)dx 4.23106 J
1-2. 一艘正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，大小
与速度平方成正比，即 dv /d t Kv 2 ， 式中 K 为常量．试证明电艇在关闭发动机后又行 驶 x 距离时的速度为 v v0eKx 。 其中v 0 是发动机关闭时的速度。
分析：要求 v v(x) 可通过积分变量替换 a dv v dv ，积分即可求得。 dt dx
达到最大速率是 vm 试计算从静止加速到 vm / 2 所需的时间以及所走过的路程。
分析：加速度等于零时，速度最大，阻力为变力，积分求时间、路程。
解：设阻力
f
kv2 (k 0) ，则加速度 a
F f m
，当 a=0 时，速度达到最大值 vm ，
则有： 0 F kvm2 , m
k
F vm2
,
画图略
（2）质点的位置可表示为： r 2ti (4t2 8) j
由 v dr / dt 则速度： v 2i 8tj
由 a dv / dt 则加速度： a 8 j 则：当 t=1s 时，有 r 2i 4 j, v 2i 8 j, a 8 j
当 t=2s 时，有 r 4i 8 j, v 2i 16 j, a 8 j
则运行的圈数 N s v02 2 R 4 bR
1-9．汽车在半径为 400m 的圆弧弯道上减速行驶，设在某一时刻，汽车的速率为10m s-1 ，
切向加速度的大小为 0.2m s-2 。求汽车的法向加速度和总加速度的大小和方向。
分析：由某一位置的 、 v 求出法向加速度 an ，再根据已知切向加速度 a 求出 a 的大小和
v12
v12 a cos a s2 h2
s s2 h2
即：
a
v02h2 s3
第二章 2—13．一质量为 m 的小球最初位于如图 2-13 所示的 A 点，然后沿半径为 r 的光滑圆轨道 ADCB 下滑，试求 小球到达 C 点时的角速度和对圆轨道的作用力. 分析：如图 2—13，对小球做受力分析，合力提供向心力，由牛顿第二定律，机械能守恒定律求解。
达抛出点的同一高度时的切向加速度，法向加速度以及该时刻质点所在处轨迹的曲率半径
（忽略空气阻力）．已知法向加速度与轨迹曲率半径之间的关系为 an v 2 / 。 分析：运动过程中，质点的总加速度 a g 。由于无阻力作用，所以回落到抛出点高度时
质点的速度大小v v 0 ，其方向与水平线夹角也是 。可求出 an ，如图 1-10。再根据关系
1-5．一质点沿半径为
R
的圆周运动，运动学方程为
s
v0t
1 2
bt
2
，其中
v0，b
都是常量。
（1）求 t 时刻质点的加速度大小及方向；（2）在何时加速度大小等于 b； （3）到加速度
大小等于 b 时质点沿圆周运行的圈数。
分析：由质点在自然坐标系下的运动学方程 s st ，求导可求出质点的运动速率 v ds ，
解： mgr cos 1 mv2 …………① 2
又： v r ,此时,v r ………②
由①、②可得： 2g cos r
N mg cos m v2 ……③ r
由①、③可得， N=3mgcos
题图 2－13 图 2－13
2—14．质量为 m 的摩托车，在恒定的牵引力 F 的作用下工作，它所受的阻力与其速率的平方成正比，它能
dt
因而， a
dv dt
，
an
v2
， a a 0 ann0 ， a
a2 an2 ，当 a b 时，可求出 t，代
入运动学方程 s st ，可求得 a b 时质点运动的路程， s 即为质点运动的圈数。
2R
解：（1）速率： v ds dt v0 bt ，且 dv dt b
加速度： a
则瞬时功率 p Fv 12W
2—42.以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，若铁锤击第一次
时，能将小钉击入木板内 1cm，问击第二次时能击入多深？(假定铁锤两次打击铁钉时的速度相同。)
分析：根据功能原理，因铁锤两次打击铁釘时速度相同，所以两次阻力的功相等。注意：阻力是变力。
解： (1) v(t) dx 3 8t 3t2 dt
则 v(4) 19m / s, v(0) 3m / s
由功能原理，有
A
Ek
1 2
m
v(4)2
v(0)2
528J
（2） v(t) dx 3 8t 3t2, a(t) dv 6t 8
dt
dt
t 1s 时， F ma 6N, v 2m / s
求每个物体的加速度（2）求两根绳中的张力（滑轮和绳子质量不计，绳子的伸长和摩擦力可略）。
分析：相对运动。 m1 相对地运动， m2 、 m3 相对 B 运动，T1 2T2 。根据牛顿牛顿定律和相对运动加
速度的关系求解。 解：如下图 2-15，分别是 m1、m2、m3 的受力图。 设 a1、a2、a3、aΒ分别是 m1、m2、m3、B 对地的加速度；a2B、a3B 分别是 m2、m3 对 B 的加速度，以向上为正方 向，可分别得出下列各式
解：（1） A=
r
F
dr
0
=
r
(7i 6 j ) (dxi dyj dzk )
0
=
-3
7dx
4
6dy
0
0
45J ，做负功
（2） P A 45 75W t 0.6
r
（3） Ek
A
mgj dr
0
4
= -45+ mgdy 0
= -85J
2-37．求把水从面积为 50m2 的地下室中抽到街道上来所需作的功。已知水深为 1.5m，水面至街道的竖直
分析：将运动方程 x 和 y 的两个分量式消去参数 t，便可得到质点的轨道方程。写出质点的
运动学方程
r (t
)
表达式。对运动学方程求一阶导、二阶导得
v(t
)
和
a(t
)
，把时间代入可得
某时刻质点的位置、速度、加速度。
解：（1）由 x 2t, 得： t x 2 , 代入 y 4t2 8 可得： y x2 8 ，即轨道曲线。
从而 :
f
F vm2
v2
又a
F
f
dv
，即：
F
F vm2
v2
dv …………①
m dt
m
dt
F
dv
m
dt
(1
v2 vm2
)
t F dt
0m
vm / 2 dv
0
(1
v2 vm2
)
F m
t
t 0
vm
2
ln
v vm v vm
1
vm
/
2
1
0
t mvm ln 3，即所求的时间 2F
对①式两边同乘以
dv dt
0
v2
n0
b 0
(v0
bt)2 R
n0
则大小： a
a
2
a
2 n
b2
(v0
bt)2 R
2
……………………①
方向： tan v0 bt2
bR
（2）当 a=b 时，由①可得： t v0 b
（3）当
a=b
时， t
v0 b
，代入 s
v0t
1 2
bt2, 可得： s
v02 2b
垂直绳的分量合成，沿绳方向的收绳的速率恒为 v0 。可以由 v0 求出船速 v 和垂直绳的分量
v1 。再根据 an
v12
关系，以及 an