0 0
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ的和为一常数。
例题
分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说明低碳钢拉伸时发生 屈服的主要原因。
低碳钢拉伸时，其上任意一点都是单向应力状态。
σx
σα =
σ x +σ
2
y
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
σα =
σx
2
+
σy
2
cos 2α
R= ( 60 − (−40) 2 − 30 − 30 2 ) +( ) = 58.31MPa 2 2
d (9.02,−58.3)
主应力单元体：
σ3
αo
σ1
∴ σ 1 = 68 .3MPa , σ 2 = 0, σ 3 = −48 .3MPa
例题
边长为20mm的钢立方体置于钢模中，在顶面上受力 F=14kN作用。已知，μ=0.3，假设钢模的变形以及立 方体与钢模之间的摩擦可以忽略不计。试求立方体各 个面上的正应力。
2
负号表示从主应力的正方向 到x轴的正方向为顺时转向
5、应力圆的应用 （4）面内最大剪应力 对应应力圆上的 最高点的面上切应力 最大，称为“ 面内 最大切应力”。
τ
τmax a
o B1 d
c
2α o
σ
A1
例题 试用应力圆法计算图示单元体e--f截面上的应力。 图中应力的单位为MPa。 τα
e
2.2
σx τx
σ
σx
σy τy
点面相对应，首先找基准。 转向要相同，夹角两倍整。
5、应力圆的应用 (3)平面应力状态下主平面、主应力及主方向
σy
D
τx
Α
σx
τ
a
τy
o B 1 d
c
2α 0
σ
A1
主平面：τ = 0,
与应力圆上和横轴交点对应的面
5、应力圆的应用 (3)平面应力状态下主平面、主应力及主方向
一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出
讨论基本变形强度问题时的共同特点: 危险截面上的危险点只承受正应力或剪应力 拉(压): ( ):
F
σ
F σ = ≤ σ A
一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出
讨论基本变形强度问题时的共同特点: 危险截面上的危险点只承受正应力或剪应力
扭转:
τ max
M max = ≤ [τ ] WP
40
D
Α
α
30 MPa 60 MPa
解： 用应力圆解法
40
σ 3 = −48 .3MPa
a(−40,30)
τ
σ 1 = 68.3MPa
30 MPa
α
60 MPa
(10 , 0 )
f
2αo
σ
b(60,−30)
e
o c
60o
tg2θ p = −
2τ xy
σ x −σ y
= 0.6
∴θ p = 15.48o
σ min
τ
σα =
σ x +σ
2
y
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
σ α = −τ sin 2ατΒιβλιοθήκη = σ max σ x −σ y
2 sin 2α + τ x cos 2α
α = ±450
σ 45 = σ ∪ = −τ ⊗
0
τ α = τ cos 2α
铸铁圆试样扭转试验时，正是沿着最大拉 应力作用面（即45 螺旋面）断开的。因此， 可以认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起 的。
30 MPa
60 MPa
+
主应力 σ 3 的方向：αo = 105 5o
40 MPa
30 MPa
+
例题
图示应力单元体，试求斜面ab和bc上的应力。
30 MPa
n1
σα =
0
σ x +σ
2
y
+
σx − σy
2
2α − τ x sin 2α
a
20MPa
σ −60 =
30o
10MPa
10 + 30 10 − 30 10 + 30 cos−− 120 )0− 20 sin (− 120 )0= 42.32 MPa 10 ( 30 + σ 300 = + cos 60 0− 20 sin 60 0= −2.32 MPa 2 2 2 2
一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出
σ
M
M
讨论基本变形强度问题时的 共同特点: 危险截面上的危险点只承受 正应力或剪应力
中性轴
σ
=
M (x ) W
≤ σ
τ max
τ∪ = … ©
FQ S z I zb
≤ σ
一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出
5 4 3 2 1
FP 2
5
FP l Mz = 4
σα − σx + σ y
2
2
+ y 2 = R2 是一个圆心在(a.0), σx − σy 2 2 2 + τα = + τ x是个应力圆的方程
2
x−a
2
y
τ
R =
σx − σy
2
2
+ τ 2 xy
R
a0
x
R
σx + σy
2 0
σ
2.应力圆是个信息源(从力学观点分析）
（1）若已知一个应力单元体两个互相垂直面上的应 力就一定可以作一个圆，圆周上的各点就是该单元 体任意斜截面 α 上的应力。 （2）平面应力状态下任意斜截面 α 上的应力相互 制约在圆周上变化。
（1）α斜面上的应力
40
30 MPa
σα =
σ x + σ y σ x −σ y
2 + 2
cos 2α − τ xy sin 2α
α
60 − 40 60 + 40 = + cos(−60o ) + 30 sin(−60o ) 2 2
60 MPa
= 9.02 MPa
τα = σ x −σ y
2 60 + 40 = sin(−60o ) − 30 cos(−60o ) 2 sin 2α + τ xy cos 2α
τ
σy
τy
B A
σx
O
c
b(σy ,τy)
a(σx ,τx)
σ
τx
5、应力圆的应用
（1）对基本变形的应力分析
σx
B
x' y y'
τ
b
A
2×45º
45º x
D
d o
σ
a
c
2×45º
E
σx
e
单向拉伸
σx
B E
σ45o τ45
o
B
x' y'
τ−45
σ−45o
o
E
σx
可见：
单向拉伸
45º方向面既有正应力又有切应力，但正应力不 是最大值，切应力却最大。
τ
主应力排序： a
τ
σ
oσ 2 d
c
2θ p
σ
σ1
σ3 o
σ1
τ
σ2 o
σ
σ3
5、应力圆的应用 (3)平面应力状态下主平面、主应力及主方向 σ2 σy τ 主方向的确定
σ1
D
τxy
Α
a (σx ,τxy)
σ
σx
αo σ1
τyx
σ2
oσ
2
c
d
2α o g σ1
tg2αo = −
σx −
τ xy σx + σ y
例题
一受扭圆轴,直径d=20mm,圆轴的材料为,E=200GPa,ν=0.3. 现测得圆轴表面上与轴线成450方向的应变为ε=5.2×10-4,试 求圆轴所承受的扭矩.
T
45
0
σ1 = τ
σ2 = 0
σ 3 = −τ
T τ= Wp
1 ε 1 = [σ 1 −ν (σ 2 + σ 3 )] E
σ3
σ1
FP
S’平面
课堂练习 绘图示梁S 绘图示梁S’平面上 各点的应力单元体
l/2
l/2
5
5 4 3 2 1
FP 2
FP l Mz = 4 S’ 平 面
4 3 2 1
一 应力状态的概念及其描述/1 问题的提出
5 4 3 2 1
FP 2
FP l Mz = 4
5 4 3 2 1
S’平面
τ2
τ3
σx
2
1
σx
1
= −58 .3MPa
（2）主应力
∪ σ x +σ y … σ ∪= © ± ⊗ 2 ⊃
60 − 40 = ± 2
40
σx − σ y
2
2
+τ
2 xy
30 MPa
60 + 40 2 + (−30)2 2
60 MPa
68 3 = MPa − 48 3
∴ σ 1 = 68 .3MPa , σ 2 = 0, σ 3 = −48 .3MPa
b
c
60o
τα =
10 − 30
0 0
σ x −σ y
2
2
sin 2α