29
§7-4 三向应力状态
由三向应力圆可以看出： 由三向应力圆可以看出：
τ
3
τ max =
σ
σ 1 −σ 3
2
2
0
σ3
σ2
1
σ1
结论： 结论： 代表单元体任意斜 截面上应力的点， 截面上应力的点， 必定在三个应力圆 圆周上或阴影内。 圆周上或阴影内。
30
§7-5
广义胡克定律
y x
1. 基本变形时的胡克定律 1）轴向拉压胡克定律 σ x = Eε x 横向变形
2
σ x +σ y
2τ x tan 2α 0 = − =1 σ x −σ y
σ max = 105
α 0 = 22.5°
α 0 = 22.5° 或112.5°
σ min = 65
25
(二)使用图解法求解 二 使用图解法求解 作应力圆，从应力圆上可量出： 作应力圆，从应力圆上可量出：
τ
σ α = 102 MPa τ α = 22 MPa σ max = 105 MPa σ min = −65 MPa α 0 = 22.5° τ max = 85 MPa
2
§7—1 应力状态的概念
铸 铁 低碳钢
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？ 塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
3
§7—1 应力状态的概念
低碳钢 铸 铁
脆性材料扭转时为什么沿45 螺旋面断开 脆性材料扭转时为什么沿45º螺旋面断开？ 45 螺旋面断开？
4
§7—1 应力状态的概念
l
S平面
T y
1 4
τ yx
σy
t
∑F =0
t
τ α dA − τ xy (dA cos α ) cos α − σ x (dA cos α ) sin α + τ yx (dA sin α ) sin α + σ y (dA sin α ) cos α = 0
9
二向应力状态分析——解析法 §7—2 二向应力状态分析 解析法
1 τα = (σ x −σ y ) sin 2α +τ xy cos 2α 2
10
二向应力状态分析——解析法 §7—2 二向应力状态分析 解析法
yτ
σx
a
σy
σx
正负号规则： 正负号规则：
yx
τ xy
正应力：拉为正；反之为负 正应力：拉为正；
x
τa
σa
切应力：使微元顺时针方向 切应力： 转动为正；反之为负。 转动为正；反之为负。
1.应力圆的画法 1.应力圆的画法
y σ y
τ yx D τ xy
A
τ
x o B1 B D/
R= (
σ x −σ y
2
A1 A
)2 + τ 2 xy
σx
R
c
D (σx ,τxy)
σ
(σy ,τyx)
σ x +σ y
2
21
二向应力状态分析——图解法 §7-3 二向应力状态分析 图解法
2.应力圆上某一点的坐标值与单元体某一截面 2.应力圆上某一点的坐标值与单元体某一截面 上的正应力和切应力一一对应
= −48 .3MPa
σ 1 = 68 .3MPa, σ 2 = 0, σ 3 = −48 .3MPa
16
二向应力状态分析——解析法 §7—2 二向应力状态分析 解析法
σy
τ xy
α 主平面的方位： 主平面的方位：
tg2α0 = −
2τ xy
σx
− 60 =− = 0.6 60+ 40
α0 = 15.5o , α0 = 15.5o + 90o = 105.5o
利用三角函数公式
{
1 cos2 α = (1+ cos 2α) 2 1 2 sin α = (1− cos 2α ) 2
并注意到 τ yx = τ xy 化简得
2sinα cosα = sin2α
1 1 σα = (σ x +σ y ) + (σ x −σ y ) cos 2α −τ xy sin 2α 2 2
(σ (σ
τ2 −σ y ) + 4 xy x
2
σmin =
σ x +σ y
2
τ2 −σ y ) + 4 xy x
2
13
主应力按代数值排序：σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 主应力按代数值排序： 按代数值排序
二向应力状态分析——解析法 §7—2 二向应力状态分析 解析法
例题1 一点处的平面应力状态如图所示。 例题1：一点处的平面应力状态如图所示。 已知
1 1 σα = (σ x +σ y ) + (σ x −σ y ) cos 2α −τ xy sin 2α 2 2 1 τα = (σ x −σ y ) sin 2α +τ xy cos 2α 2
(σα −
σ x +σ y
2
) +τ
2
2
α
=(
σ x −σ y
2
)2 +τ 2 xy
这个方程恰好表示一个圆， 这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆
上式值为零， 设α＝α0 时，上式值为零，即
− (σ x −σ y ) sin 2α0 − 2τ xy cos 2α0 = 0
(σ − y ) x σ −2 sin2α+τ cos2α = −2τ0 = 0 0 xy 0 α 2
即α＝α0 时，切应力为零
12
二向应力状态分析——解析法 §7—2 二向应力状态分析 解析法
n
y
σx
α
τ yx
τ xy
σx α
τa
τ xy
σa
dA
x
σy
n
τ yx
σy
t
t
∑F = 0
∑F =0
8
二向应力状态分析——解析法 §7—2 二向应力状态分析 解析法
列平衡方程
σx α
τa
n
∑F = 0
n
τ xy
σa
dA
σ α dA + τ xy (dA cos α ) sin α − σ x (dA cos α ) cos α + τ yx (dA sin α ) cos α − σ y (dA sin α ) sin α = 0
σ x −σ y
代入 σα 表达式可知
σ 1 方向：α 0 = 15 .5o 方向： 主应力 σ 3 方向：α 0 = 105 .5o 方向： 主应力
17
二向应力状态分析——解析法 §7—2 二向应力状态分析 解析法
（3）主单元体： 主单元体：
σy
τ xy
α
σ3
σ1
15.5°
σx
18
二向应力状态分析——图解法 §7-3 二向应力状态分析 图解法
单位：MPa
23
二向应力状态分析——图解法 §7-3 二向应力状态分析 图解法
解：(一)使用解析法求解 一 使用解析法求解
σ x = 80MPa,
σ y = −40MPa
τ x = −60MPa, α = 30° σ x +σ y σ x −σ y σα = + cos 2α − τ x sin 2α
第七章 应力状态分析 强度理论
1
目第七章 录
应力状态分析
强度理论
应力状态的概念 二向应力状态分析——解析法 二向应力状态分析 解析法 二向应力状态分析——图解法 二向应力状态分析 图解法 三向应力状态 广义胡克定律 复杂应力状态下的应变能密度 复杂应力状态下的应变能密度 强度理论概述 四种常见的强度理论及强度条件
τα
2 2 = 102 MPa σ x −σ y = sin 2α + τ x cos 2α 2 = 22.0MPa
24
二向应力状态分析——图解法 §7-3 二向应力状态分析 图解法
σ max
105 σ x −σ y = ± +τ 2 = MPa x 2 2 −65 σ min σ 1 = 105MPa, σ 2 = 0, σ 3 = −65MPa
tan 2α0 = − 2τ xy
σ x −σ y
由上式可以确定出两个相互垂直的平面， 由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别 为最大正应力和最小正应力所在平面。 为最大正应力和最小正应力所在平面。 所以，最大和最小正应力分别为： 所以，最大和最小正应力分别为：
σmax = σ x +σ y
2 1 + 2 1 − 2
sin 2α + τ xy cos 2α
= −58 .3MPa
15
二向应力状态分析——解析法 §7—2 二向应力状态分析 解析法
（2）主应力、主平面 主应力、 σ x +σ y σx −σ y 2 2 σ max = + ( ) +τ xy 2 2
σy
τ xy
α
= 68 .3MPa
σ x σ = σ x + σ y − (σx −σ y )2 +τ 2 min xy 2 2
y
σy
H
τ
n
H (σa ,τa ) c
2 α
2α0
τ yx
τ xy α x σx
o
D (σx ,τxy)
A A1
B1 B
(σy ,τyx)
D/
σ
σ x +σ y
2
22
二向应力状态分析——图解法 §7-3 二向应力状态分析 图解法