解：我们用曲线 h(t) 在 t t0 ，t1 ，t2 处的切线斜率，刻画曲线 h(t) 在上述三 个时刻附近的变化情况.
（1）当 t t0 时，曲线 h(t) 在 t t0 处的切线 l0 平行于 t 轴， h(t0 ) 0 .这时， 在 t t0 附近曲线比较平坦，几乎没有升降.
（2）当 t t1 时，曲线 h(t) 在 t t1 处的切线 l1 的斜率 h(t1) 0 .这时，在 t t1 附近曲线下降，即函数 h(t) 在 t t1 附近单调递减.
的斜率 k0
，即
k0
lim
Δx0
f
(x0
Δx) Δx
f
(x0 )
f
(x0 )
.这就是导
数的几何意义.
例 3 如图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间 变化的函数 h(t) 4.9t2 4.8t 11的图象.根据图象，请描述、比较曲线 h(t) 在 t t0 ，t1 ，t2 附近的变化情况.
Δt Δt 0
Δt 0
同理可得 v(6) 6 .
在第 2 s 与第 6 s 时，汽车的瞬时加速度分别是 2 m/s2 与 6 m/s2 .说明 在第 2 s 附近，汽车的速度每秒大约增加 2 m/s ；在第 6 s 附近，汽车的速 度每秒大约减少 6 m/s .
2. 导数的几何意义
思考：如图，观察函数 y f (x) 的图象，平均变化率 Δy f (x0 Δx) f (x0 )
Δy Δx
有极限，则称
y
f
(x)
在
x
x0
处可导，并把这个确定的值叫做
y f (x) 在 x x0 处的导数（也称为瞬时变化率），记作 f (x0 ) 或 y xx0 ，
即
f
(x0 )
Δy lim Δx0 Δx
lim
Δx0
f
(x0
Δx) Δx
f
(x0 )
.
例 1 设 f (x) 1 ，求 f (1) . x
Δx0
Δx
1. f x x2 在 x 1处的导数为( B )
A. 2x
B.2
C. 2 x
D.1
解析： lim
y
lim
f (1 x)
f (1)
1 2x (x)2 lim
1
lim(2 x) 2 .
x x0
x0
x
x0
x
x0
故选 B.
2. 曲线 y x2 3x 在点 A2,10 处的切线的斜率 k 是( D )
割线 P0 P 的斜率 k
f
(x) x
f (x0 x0
)
.记
Δx
x
x0
，当点
P
沿着曲线
y f (x) 无限趋近于点 P0 时，即当 Δx 0 时， k 无限趋近于函数
y f (x) 在 x x0 处的导数.因此，函数 y f (x) 在 x x0 处的导数 f (x0 )
就是切线
P0T
Δx
Δx
表示什么？瞬时变化率
f
(x0 )
lim Δy Δx0 Δx
lim
Δx0
f
(x0
Δx) Δx
f
(x0 )
表示什么？
容易发现，平均变化率 Δy Δx
f (x0
Δx) Δx
f (x0 )
表示割线 P0 P 的斜率.
如下图，在曲线 y f (x) 上任取一点 P(x ，f (x)) ，如果当点 P(x ，f (x)) 沿着曲线 y f (x) 无限趋近于点 P0 (x0 ，f (x0 )) 时，割线 P0 P 无限趋近于一个 确定的位置，这个确定位置的直线 P0T 称为曲线 y f (x) 在点 P0 处的切线.
解：在第 2 s 和第 6 s 时，汽车的瞬时加速度就是 v(2) 和 v(6) .
根据导数的定义，
Δy v(2 Δt) v(2) (2 Δt)2 6(2 Δt) 60 (22 6 2 60) Δt 2 ，
Δt
Δt
Δt
所以 v(2) lim Δy lim(Δt 2) 2 .
解：
f
(1)
lim
Δx0
f
(1 Δx) Δx
f
(1)
1 lim 1 Δx Δx0 Δx
1
lim
Δx0
1
1 Δx
1 .
例 2 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设 t s 时汽车的速度（单 位： m/s ）为 y v(t) t2 6t 60 ，求汽车在第 2 s 与第 6 s 时的瞬时加 速度，并说明它们的意义.
从求函数 y f (x) 在 x x0 处导数的过程可以看到，当 x x0 时，
f (x0 ) 是一个唯一确定的数.这样，当 x 变化时， y f (x) 就是 x 的函数，
我们称它为 y f (x) 的导函数（简称导数）. y f (x) 的导函数有时也记
作 y ，即 f (x) y lim f (x Δx) f (x) .
第五章 一元函数的导数及其应用
5.1 导数的概念及其意义 5.1.2 导数的概念及其几何意义
学习目标： 1. 理解导数的概念及其几何意义； 2. 掌握用导数的概念求简单函数在某点处的导数及曲线的切线问题. 教学重点： 导数的概念及利用导数概念求导数、导数的几何意义及其应用. 教学难点： 导数的概念及其几何意义的理解.
上节课研究了两类变化率问题：一类是物理学中的问题，涉及平 均速度和瞬时速度；另一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切 线斜率.这两类问题都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率” 的思想方法；问题的答案也有一样的表示形式.下面我们用上述思 想方法研究更一般的问题.
1. 导数的概念
对于函数 y f (x) ，设自变量 x 从 x0 变化到 x0 x ，相应地，函数值
（3）当 t t2 时，曲线 h(t) 在 t t2 处的切线 l2 的斜率 h(t2 ) 0 .这时，在 t t2 附近曲线下降，即函数 h(t) 在 t t2 附近也单调递减.
从图中可以看出，直线 l1 的倾斜程度小于直线 l2 的倾斜程度，这说明曲线 h(t) 在 t t1 附近比在 t t2 附近下降得缓慢.
y 就从 f (x0 ) 变化到 f (x0 Δx) .这时， x 的变化量为 Δx ， y 的变化量为
Δy
f (x0 Δx)
f
(x0
)
.我们把比值
Δy Δx
，即
Δy Δx
f (x0 Δx) Δx
fHale Waihona Puke (x0 ) 叫做函数 y f (x) 从 x0 到 x0 x 的平均变化率.
如果当 Δx 0 时，平均变化率 Δy 无限趋近于一个确定的值，即 Δx