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注意：(1)函数在一点处的导数，就是在该点的函数改变量与 自变量的改变量的比值的极限，它是一个数值，不是变数． (2)Δx是自变量x在x0处的改变量，Δx≠0，当Δx>0时,Δx→0表 示x0＋Δx从x0右边趋近于x0，反之，当Δx<0时，Δx→0表示x0 ＋Δx从x0左边趋近于x0,Δy是相应函数的改变量，Δy可正、可 负，也可以为0.
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规范解答
求过某点的曲线的切线方程
(本题满分12分)已知曲线f(x)＝2x3－3x，过点M(0,32) 作曲线f(x)的切线，求切线的方程．
[解 ] 经检验知点 M(0,32)不在曲线上， 1 1 分 设切点坐标为 N(x0,2x3 0－ 3x0)， 3 3 Δy 2 x0＋ Δx － 3x0＋ Δx－ 2x0＋ 3x0 ＝ Δx Δx 2 2 3 3 2x3 ＋ 6 x Δ x ＋ 6 x Δ x ＋ 2 Δ x － 3 x － 3Δ x － 2 x 0 0 0 0 0 ＋ 3x0 ＝ Δx
[错因与防范] 本题易错选 D.错因是忽视了分子与分母相应的 符号的一致性，在利用导数的定义求函数在某一点的导数时， Δy 中 Δx 是分子中被减数的自变量减去减数的自变量的差，要 Δx 深刻理解以防出错．
4．设函数 f(x)在点 x0 处可导，且 f′(x0)已知，求下列各式的 极限值． f x0－Δx－ fx0 (1)lim ； Δx → 0 Δx f x0＋h－fx0－ h (2)lim . h→ 0 2h f x0－Δx－ fx0 解：(1)lim Δx → 0 Δx f x0－f x0－Δx ＝－ lim ＝－f′(x0)． Δx → 0 Δx f x0＋ h－fx0－h (2)lim ＝f′(x0)． h→ 0 2h
2．已知直线l：y＝4x＋a和曲线y＝x3－2x2＋3相切 ，求切点坐标及a的值．
Δy 解 ： 设 直 线 l 与 曲 线 相 切 于 点 P(x0 ， y0) ， 则 ＝ Δx x＋ Δx 3－ 2x＋ Δx 2＋ 3－x3－ 2x2＋ 3 Δx x3＋3x2Δx＋3x Δx 2＋ Δx3－ 2x2－4xΔx－2 Δx2－x3＋ 2x2－ 3 ＝ Δx ＝ 3x2＋ 3xΔx＋(Δx)2－ 4x－ 2Δx. Δy 当 Δx 趋于 0 时， 趋于 3x2－ 4x. Δx
由导数的几何意义，得： k＝ f′ (x0)＝3x2 0－ 4x0＝ 4， 2 解得：x0＝－ 或 x0＝2. 3 2 49 ∴切点坐标为 －3， 27 或 (2,3)． 2 49 2 49 当切点为 －3， 27 时，有 ＝ 4× －3 ＋ a， 27 121 ∴ a＝ . 27 当切点为 (2,3)时，有 3＝ 4×2＋a， ∴ a＝－ 5. 121 2 49 因此，当 a＝ 时，切点为(－ ， )； 27 3 27 当 a＝－ 5 时，切点为 (2,3)．
2．曲线f(x)＝－3x2＋2在点(1,2)处的切线的斜率为
________.
利用导数求切线的方程
1 4 已知曲线 C：y＝ x 3 ＋ . 3 3 (1)求曲线 C 在横坐标为 2 的点处的切线方程． (2)在第(1)小题中的切线与曲线 C 是否还有其他的公共点？
[解 ] (1)将 x＝ 2 代入曲线 C 的方程得 y＝ 4. ∴切点 P(2,4)． 1 1 3 4 3 4 ∵ Δy＝ (2＋ Δx) ＋ － × 2 － 3 3 3 3 2 1 ＝ 4Δx＋ 2(Δx) ＋ (Δx)3， 3 Δy 1 ∴ ＝ 4＋ 2Δx＋ (Δx)2， 3 Δx 1 当 Δx 趋于 0 时，4＋2Δx＋ (Δx)2 趋于 4，所以曲线在 x＝ 2 处 3 的导数等于 4. 即切线的斜率为 4，故所求切线方程为 y－4＝ 4(x－2)，即 4x － y－ 4＝ 0.
[规范与警示]
(1) 1 是“某点处”还是“过某点”要分清，验
证是关键．
2 3
本步计算量大，是解本题的易错点(失分点)． 将 N 点代入切线方程，解高次方程求出 x0 的值是正确求解
的保障，因想不到不会做造成失分．
(2)求曲线的切线时，注意区分“求曲线 y＝f(x)上过点 M的切 线”与“求曲线 y ＝ f(x) 上在点 M 处的切线”，前者只要求切
§2 导数的概念及其几何意义 2．1 导数的概念
2．2 导数的几何意义
1．导数的概念 (1)定义：设函数 y＝ f(x)，当自变量 x1 趋于 x0 时，即 Δx 趋于 0 Δy f x1－f x0 f x0＋ Δx－ fx0 时， 如果平均变化率 ＝ ＝ 趋于一个 Δx Δx x1－x0 瞬时变化率 ， 固定的值，那么这个值就是函数 y＝f(x)在 x0 点的___________ 导数 ． 也称为 y＝ f(x)在 x0 点的 ________ (2)记法：函数 y＝ f(x)在 x0 点的导数，通常用符号 f′ (x0)表示， f x1－f x0 f x0＋Δx－fx0 lim lim x →x Δ x→ 0 x － x Δx 记作 f′ (x0)＝_______________ ＝____________________. 1 0
与导数有关的问题及导数的应用
已知 f(x)＝ x ＋2，(1)求 f′(x);(2)求 f(2).
[解 ] ∵ Δy＝ x＋ Δx＋ 2－ x＋2， x＋ Δx＋ 2－ x＋2 Δy ∴ ＝ Δx Δx ＝ Δx x＋ Δx＋ 2＋ x＋2 x＋ Δx＋2－ x＋2
＝
， x＋ Δx＋ 2＋ x＋2 Δy 1 ∴ f′ (x)＝ lim ＝ lim Δx→ 0 Δx Δx → 0 x＋ Δx＋ 2＋ x＋2 1 ＝ ， 2 x＋2 1 1 ∴ f′ (2)＝ ＝ . 2 2 ＋2 4
2 ＝ 6x2 ＋ 6 x Δ x ＋ 2(Δ x ) －3. 2 5 分 0 0 Δy 当 Δx 趋于 0 时， 趋于 6x2 0－ 3， Δx
∴切线的斜率 k＝ f′ (x0)＝6x2 0－ 3， 7 分 切线方程为 y＝ (6x2 0－ 3)x＋ 32，
2 3 9分 又点 N 在切线上，所以 2x3 0－ 3x0＝ (6x0－ 3)x0＋ 32， 解得 x0＝－2，故切线方程为 y＝21x＋32.12 分
就是当物体的运动速度方程为 v＝v(t)时，物体在时刻t＝t0时
的瞬时加速度a，即a＝v′(t0)．
3．切线的意义 如图，当Δx趋于零时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋向于点A，割
线AB将绕点A转动，最后趋于直线l，直线l和曲线y＝f(x)在点
A处“相切”，称直线l为曲线y＝f(x)在点A处的切线．该切线 的斜率就是函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)．
方法归纳 (1)利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤： ①求出函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′ (x0)； ②写出切线方程，即 y－ y0＝ f′ (x0)· (x－x0)． π 特别注意：若在点(x0，y0)处切线的倾斜角为 ，此时所求的切 2 线平行于 y 轴，所以直线的切线方程为 x＝ x0. (2)曲线的切线与曲线的交点可能不止一个．
方法归纳 求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤
1．求函数f(x)＝x2＋3在x＝2处的导数．
Δy f a＋Δx －f a 解：因为 ＝ Δx Δx a＋Δx 2 ＋3－ a2 ＋3 ＝ ＝2a＋Δx ， Δx 当Δx 趋于 0 时， 2a＋Δx 趋于 2a， 所以 f(x )在 x ＝a 处的导数等于 2a.
利用导数的定义求函数在某点处的导数 求函数y＝3x2在x＝1处的导数． (链接教材P32例1)
[解 ] ∵ Δy＝ f(1＋ Δx)－f(1)＝3(1＋ Δx)2－3＝ 6Δx＋ 3(Δx)2，∴ Δy ＝6＋3Δx， Δx 当 Δx 趋于 0 时，6＋3Δx 趋于 6，所以 f(x)在 x＝1 处的导数等 于 6.
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方法归纳
(1)f′(2)即求函数f(x)在x＝2处的导数． (2)运用定义法求导数，在解题时要注意运算技巧，遇到根式
时，常常需要进行分子(或分母)有理化．
3．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求满足f′(x)＋2＝g′(x)的x值．
解：由导数的定义知， x＋ Δx 2－ x2 Δfx f′ (x)＝ lim ＝ lim ＝ 2x， Δx→ 0 Δx Δx → 0 Δx x＋ Δx 3－ x3 Δgx 2 g′ (x)＝ lim ＝ lim ＝ 3 x . Δx → 0 Δx → 0 Δx Δx ∵ f′ (x)＋2＝ g′ (x)，∴2x＋ 2＝ 3x2. 1－ 7 1＋ 7 即 3x －2x－ 2＝ 0，解得 x＝ 或 . 3 3
y＝ 4x－4， (2)由 1 3 4 可得 (x－ 2)(x2＋ 2x－ 8)＝ 0. y＝ x ＋ ， 3 3 解得 x1＝ 2， x2＝－ 4. 从而求得公共点 P(2,4)或 M(－ 4，－20)， 即切线与曲线 C 的公共点除了切点外，还有另一公共点(－ 4， － 20)切点坐标；
而后者则很明确，切点就是M点.
1 已知曲线 y x ， 1 处的切线方程； (1)求曲线在点 P1
， 0处的切线方程； (2)求曲线过点Q1 1 (3)求满足斜率为 的曲线的切线方程. 3
易错警示
忽视导数定义中Δx与Δy的对应关系致误
2．导数的几何意义
(x0，f(x0)) 函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点_____________ 斜率 ．函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜 处的切线的________
率反映了导数的几何意义． 注意：导数的物理意义：函数S＝S(t)在点t0处的导数S′(t0)， 就是当物体的运动方程为 S＝ S(t)时，物体在时刻 t＝ t0时的瞬 时速度v，即v＝S′(t0)；函数v＝v(t)在点t0处的导数v′(t0)，
f x0－ 3Δx－ fx0 设函数 y＝f(x)在 x＝ x0 处可导， 且 lim Δx → 0 Δx ＝ 1，则 f′(x0)等于 ( C ) A． 1 1 C．－ 3 B．－ 1 1 D. 3