导数的概念及其几何意义
教学目标：
1.了解平均变化率与割线之间、瞬时变化率与切线之间的关系,通过函数的图象理解导数的几何意义.
2.了解导函数的概念,会求导函数.
3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.
重点
本课重点是求曲线上某点处的切线方程.
难点：
本课难点是准确理解函数在某点处与过某点的切线方程.
教学过程：
1导函数的概念
（1）定义式： . （2）f ′(0x )与f ′(x)的区别：f ′(0x )是一个确定的数，f ′(x)是随x 的变化而变化的一个函数.
2.函数y=f(x)在点0x 处的导数的几何意义
（1）几何意义：是曲线y=f(x)在点P(0x ,f(0x ))处的切线的
斜率
（2）相应的切线方程：y-f(0x )=f ′(0x )(x-0x )
特别明确：
1.曲线在某点处的切线与曲线的公共点是否只有一个？
提示：不一定.曲线在某点处的切线只是一个局部概念，是该点处割线的极限情况，在其他地方可能还有公共点.
2.导数与切线有何联系？
提示：函数y=f(x)在x=处的0x 导数f ′(0x )是曲线f(x)在x=0x 处的切线的斜率，即k=f ′(0x ).
例1一条水管流过的水量y(单位：m 3)是时间s)(单位：x 的函数x x f y 3)(==求函数)(x f y =在2=x 处的导数)2(f '并解释它的实际意义.
解当x 从2变到x x ∆+时函数值32⨯从变到)2(3x ∆+函数值y 关于x 的平均变化率为
()()()x 0f x x f x y f x lim x
∆→+∆-'='=∆
)/(3323)2(3)2()2(3s m x
x x x x f x f =∆∆=∆⨯-∆+=∆-∆+ 当x 趋于2时平均变化率趋于3所以s m f /3)2(3='
导数)2(f '表示当时2=x 水量的瞬时变化率，即水流的瞬时速度，也就是如果水管中的水以s x 2=是的瞬时速度流动的话，每经过1s 水管中流过的水量为33m 的食品
么他每时可以生产保持这一生产速度，那也就是说，如果的时候，其生产速度为表示该工人上班后工作食品
可以生产生产速度，那么他每时就是说，如果保持这一，也工作效率）为的时候其生产速度（即表示该工人上班后工作解试解释它们的实际意义
和处的导数分别为和在假设函数的函数工作时间是其单位：生产的食品量上班后开始连续工作，一名食品加工厂的工人例 3.5kg 3.5kg/h 3h 3.5(3)f 4kg kg/h 41h 4(1)f :, 3.5(3)f 4(1)f 3x 1x f(x)y f(x).y x kg)y(2='='='='====[][][][][][]l (-2,4)x y 4
-2x x y x 4)(4)2(x)2-x 2-2-)2(5.35
.0)2()5.1(5.0)2()5.1(31
)2()1(1)2()1(22
)2(02f(-2)-f(0).5.1-2-1-2-0,2-x 2,1,0.5x 12x y 2,x y 2,1,0,5x )1(2
,x f(x)y 32022
2222
22
22
200,0200202处的切线为在点曲线处的导数为在趋于零，知函数令（上的平均变化率为
，在区间化率分别为
在这些区间上的平均变，，，，相应为时区间）解（处的导数
在）求函数（上的平均变化率，
在区间求分别对已知函数例=-==∆∆+-=∆∆+∆-=∆--∆+∆+=-=---=----=---=----=--=∆+=∆-==∆+==∆-===x x
x x x x y f f f f x x x x x x x
（四）小结:
利用导数的几何意义求曲线的切线方程的方法步骤：（可让学生归纳）
①求出函数)(x f y =在点0x 处的导数)(0x f '
②得切线方程))(()(00x x x f x f y -'=-
注：点))(,(00x f x 是曲线上的点
（五）作业
第63页第3,4,5，题。