分式运算中的常用技巧与方法1
在分式运算中，若能认真观察题目结构特征，灵活运用解题技巧，选择恰当的运算方法，常常收到事半功倍的效果。

现就分式运算中的技巧与方法举例说明。

一、 整体通分法
例1．化简：
21
a a --a-1
分析 将后两项看作一个整体，则可以整体通分，简捷求解。

解：
21
a a --a-1=
21
a a --(a+1)=
21a a --(1)(1)1
a a a -+-=
22(1)
1a a a ---=11
a - 二、 逐项通分法
例2．计算
1
a b
--1a b
+-
22
2b a b +-
344
4b a b -
分析：注意到各分母的特征，联想乘法公式，适合采用逐项通分法
解：1a b
--
1a b
+-
22
2b a b +-
344
4b a b -=
22
()()
a b a b a b +----
22
2b a b +-
344
4b a b -
=222b a b --222b a b +-
344
4b a b -=
222244
2()2()
b a b b a b a b +----
344
4b a b -
=
344
4b a b --
344
4b a b -=0
三、 先约分，后通分
例3．计算：
2262a a a a
+++
22444
a a a -++
分析：分子、分母先分解因式，约分后再通分求值计算
解：
2262a a a a
+++
22444a a a -++=(6)(2)a a a a +++2
(2)(2)(2)a a a +-+=62a a +++22a a -+=242
a a ++=2 四、 整体代入法
例4．已知1x
+1y =5求2522x xy y
x xy y -+++的值 解法1：∵
1x
+
1y
=5∴xy ≠0,.所以
2522x xy y
x xy y
-+++=
225112y x y x
-+++=
11
2()5112x y x y
+-++=25552
⨯-+=57 解法2：由1x +1y =5得，x y
xy +=5, x+y=5xy ∴2522x xy y x xy y -+++=2()5()2x y xy x y xy
+-++=25552xy xy xy xy ⨯-+=57xy xy =57 五、运用公式变形法
例5．已知a 2-5a+1=0，计算a 4+4
1a
解：由已知条件可得a ≠0,∴a+1a
=5 ∴a 4+4
1a =(a 2+2
1a )2-2=[(a+1a
)2-2]2-2=(52-2)2
-2=527 六、设辅助参数法
例6．已知b c a += a c b
+=
a b c
+，计算：()()()
a b b c c a abc +++
解：设b c a
+= a c
b
+=
a b
c
+=k ，则b+c=ak ；a+c=bk ；
a+b=ck ；
把这3个等式相加得2(a+b+c)= (a+b+c)k 若a+b+c=0，a+b= -c,则k= -1 若a+b+c ≠0，则k=2
()()()
a b b c c a abc
+++=
ak bk ck abc
⋅⋅=k
3
当k=-1时，原式= -1 当k=2时，原式= 8 七、应用倒数变换法
例7．已知
21
a a a -+=7，求
2
421
a a a ++的值
解：由条件知a ≠0,∴21
a a a -+=17,即a+1a =8
7
∴4221
a a a ++=a 2+2
1a +1=(a+1a )2
-1=1549 ∴
2
421
a a a ++=4915
八、取常数值法
例8．已知：xyz ≠0,x+y+z=0,计算y z x ++x z y ++x y z
+ 解：根据条件可设x=1,y=1,z=-2.
则y z x ++x z y ++x y
z
+=-3.当然本题也可以设为其他合适的常数。

九、把未知数当成已知数法
例9．已知3a-4b-c=0,2a+b-8c=0,计算:
222
a b c ab bc ac
++++
解：把c 当作已知数，用c 表示a,b 得,a=3c, b=2c ∴
222a b c ab bc ac
++++=
221411c c =1411
. 十、巧用因式分解法
例10．已知a+b+c=0，计算
2
22a a bc
++
2
22b b ac
++
2
22c c ab
+
解:∵a+b+c=0, ∴a=-b-c,b=-a-c,c=-a-b ∴2a 2+bc=a 2+a 2+bc=a 2+a(-b-c)+bc=(a-b)(a-c) 同理可得2b 2+ac=(b-c)(b-a),2c 2+ab=(c-a)(c-b)
2
22a a bc
++
2
22b b ac
++
2
22c c ab
+=
2
a
(a-b)(a-c)
+
2
b (b-c)(b-a)
+
2
c (c-a)(c-b)
=2
a
(a-b)(a-c)
-
2
b (a-b)(b-c)
+
2
c (c-a)(c-b)
=
222a ()()()
()()()
b c b a c c a b a b a c b c ---+---- =22222a ()()()()b c b a b c c a c b
a b a c b c --++----=
2a ()()()()
()()()
b c a b c b c bc b c a b a c b c --+-+----
=2()()()()()
b c a ab ac bc a b a c b c ---+---=()()()()()()
a b a c b c a b a c b c ------=1。