§17.2分式的运算一、分式的乘除法1、法则：（1）乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

（意思就是，分式相乘，分子与分子相乘，分母与分母相乘）。

用式子表示：bd ac d c b a =•（2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，再与被除式相乘。

用式子表示： 2、应用法则时要注意：（1）分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法则相同，即“同号得正，异号得负，多个负号出现看个数，奇负偶正”；（2）当分子分母是多项式时，应先进行因式分解，以便约分；（3）分式乘除法的结果要化简到最简的形式。

二、分式的乘方1、法则：根据乘方的意义和分式乘法法则，分式的乘方就是把将分子、分母分别乘方，然后再相除。

用式子表示：（其中n 为正整数，a ≠0）2、注意事项：（1）乘方时，一定要把分式加上括号；（2）在一个算式中同时含有乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有bcad c d b a d c b a =•=÷n n n b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛多项式时应先因式分解，再约分；（3）最后结果要化到最简。

三、分式的加减法（一）同分母分式的加减法1、法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

用式子表示：2、注意事项：（1）“分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减，各个分子都应有括号；当分子是单项式时括号可以省略，但分母是多项式时，括号不能省略；（2）分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。

（二）异分母分式的加减法1、法则：异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式后，再加减。

用式子表示：bd bc ad bdbc bd ad d c b a ±=±=±。

2、注意事项：（1）在异分母分式加减法中，要先通分，这是关键，把异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法。

（2）若分式加减运算中含有整式，应视其分母为1，然后进行通分。

（3）当分子的次数高于或等于分母的次数时，应将其分离为整式与真分式之和的形式参与运算，可使运算简便。

四、分式的混合运算1、运算规则：分式的加、减、乘、除、乘方混合运算，先乘方，再乘除，最后算加减。

遇到括号时，要先算括号里面的。

2、注意事项：（1）分式的混合运算关键是弄清运算顺序；（2）b c a b c b a ±=±有理数的运算顺序和运算规律对分式运算同样适用，要灵活运用交换律、结合律和分配律；（3）分式运算结果必须化到最简，能约分的要约分，保证运算结果是最简分式或整式。

例计算：（1）()212242-⨯-÷+-a a a a ； （2）222---x x x ； （3）xx x x x x 2421212-+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+ 【分类解析】一、分式运算的几种技巧1、先约分后通分技巧例 计算2312+++x x x +4222--x xx分析：不难发现，两个分式均能约分，故先约分后再计算解：原式=)2)(1(1+++x x x +)2)(2()2(+--x x x x =21+x +2+x x =21++x x2、分离整数技巧例 计算233322+-+-x x x x -657522+-+-x x x x -3412+-x x分析：两个分式的分子、分母不能约分，如把分子突出分母，分离整数方法可使计算化简。

解：原式=231)23(22+-++-x x x x -651)65(22+-++-x x x x -3412+-x x =1+2312+-x x -1-6512+-x x -3412+-x x =)2)(1(1--x x -)3)(2(1--x x -)3)(1(1--x x =)3)(2)(1()2()1(3--------x x x x x x =)3)(2)(1(----x x x x =-)3)(2)(1(---x x x x3、裂项相消技巧例 计算)1(1+x x +)3)(1(2++x x +)6)(3(3++x x 分析：此类题可利用)(1m n n +=m 1（n 1-m 1）裂项相消计算。

解：原式=（x 1-11+x ）+22（11+x -31+x ）+33（31+x -61+x ） =x 1-61+x =)6(6+x x练习：4、分组计算技巧例 计算21-a +12+a -12-a -21+a分析：通过观察发现原式中第一、四项分母乘积为a 2-4，第二项、第三项分母乘积为a 2-1，采取分组计算简捷。

解：原式=（21-a -21+a ）+（12+a -12-a ） =442-a +142--a =)1)(4(1222--a a练习：5、分式求值问题全解1）字母代入法例1. b=a+1,c=a+2,d=a+3,求da d d cbc c b a bd a a +++++++++的值. 【解析】 仔细观察已知条件，虽然出现的字母很多，但都可以用一个字母代替： a=a,b=a+1,c=a+2,d=a+3所以可以用一个字母代替其它字母来实现代数式的化简da d d cbc c b a bd a a +++++++++ =3332122113+++++++++++++++++++a a a a a a a a a a a a a a =32363233132++++++++++a a a a a a a a =)2(32)1(31323+++++++++a a a a a a a =31311++=35 【探讨】 当已知条件中不同的字母都可以用一个字母表示时，第一个要想到的方法就是字母带入法，因为最后的结果一定是由有理数或者某个字母表示，所以用这种方法能不能得到正确结果就在于自己的分式化简能力了。

2） 设值代入法例2. 已知cz b y a x ==，求证：22a x ca bc ab zx yz xy =++++ 【解析】这道题也可以用字母代入法，可以得到x ab y =，x ac z =，代入后分式的分子分母中有分式，化简麻烦。

我们用一种新的代入方式，考虑到a x 、b y 、c z 连等，让它们都等于k 则 x=ak y=bk z=ck代入得cabc ab zx yz xy ++++=ca bc ab ckak bkck akbk ++++ =2k ca bc ab ca bc ab ++++ =222a x k =【探讨】 当遇到连等式，可以采用以下三种方式来运用这个条件设cz b y a x == 则（1）x ab y =，x ac z = （2）设k cz b y a x === 则x=ak y=bk z=ck （3）设k c z b y a x === 则k c b a z y x =++++ 其中0≠++c b a 3） 整式代入法例3. 已知：113a b -=，求分式232a ab b a ab b+---的值. 【解析】如果用字母代入法，要用b 代替a 本来就比较复杂，会增加我们化简的负担。

将条件化简成乘积形式，得 3=-aba b ，再将分式稍化简变为ab b a ab b a --+-)(3)(2，可以发现分子分母中只有(a-b)和ab 这两项，所以可以用ab 代替b-aab a b 3=-43336)(3)(2232=--+-=--+-=---+ab ab ab ab ab b a ab b a b ab a b ab a 【探讨】用整式代入法，能够很大程度地化简代数式，比字母代入法更优越，但要善于观察代数式的组成部分，比如这题，代数式就含有ab 和a-b 这两项，刚好条件也适当变形能得到a-b 与ab 的关系，题目很快就解出来了。

4） 变形代入法这类题是用代入法最需要技巧的，我们分以下五类题型来分析怎么变形再代入。

例4（方程变形）. 已知a+b+c=0,a+2b+3c=0,且abc ≠0，求2ab bc ca b++的值. 【解析】 对已知条件作形变往往要比对代数式做形变简单得多，因为代数式比条件复杂，而且给代数式做形变漫无目的，往往得不到想要的结果。

这道题已知条件是两个等式，三个字母，所以我们可以用一个字母表示其它字母，对已知条件变形得到方程组a+b+c=0 b=-2c==>a+2b+3c=0 a=c用c 代替a 、b 代入到分式中，能很快求解出来2ab bc ca b ++=434222222-=+--c c c c例5（非负变形）. 已知：2286250a b a b +-++=，求22222644a ab b a ab b ---+的值. 【解析】观察已知条件，有平方项，所以可以化成平方的形式0)3()4(25682222=++-=++-+b a b a b a其中0)4(2≥-a 0)3(2≥+b 所以2)4(-a =0 2)3(+b =0得3,4-==b a再带入原式很容易求出解。

例6（对应变形）. 证明：若a+b+c=0,则2222222221110.b c a c a b a b c ++=+-+-+- 【解析】这题可以用整式代入法，比如用-b-c 代替a ，但是代数式a 的符号和位置在三个分式中不同，如果用22)(c b a +=代入得到的分母截然不同，增大化简的难度。

如果将代数式三个分式的分母化成相同的形式，反而化简方便，比如：用a=-b-c 代入222a c b -+中的a ，得到-2bc用b=-a-c 代入222b a c -+中的b ，得到-2ac用c=-a-b 代入222c b a -+中的c ，得到-2ab原式=02212121=-++=-+-+-abcc b a ab ac bc 例7（倒数变形）. 已知,,,0.xy xz yz a b c abc x y x z y z ===≠+++且求证abac bc abc x -+=2 【解析】已知条件是y x xy +的形式，不能化简，如果颠倒分子分母，将a y x xy =+改写成 yx xy y x a 111+=+=的形式，使得x 、y 相互独立，简化已知条件。

写出变化后的形式y x a 111+=，z x b 111+=，zy c 111+= xz x y x z y c 2)11()11(111-+++=+= =xb a 211-+所以cb a x 1112-+= =abcab ac bc -+ 则ab ac bc abc x -+=2，得证。

例8（归类变形）. 已知ac c b b a 111+=+=+，且a 、b 、c 互不相等，求证：1222=c b a 【解析】已知条件有三个字母，两个方程，若用a 表示b 、c ，能不能求出b 、c 的代数式都是问题。