数形结合处理二次方程根的分布问题的一般方法设f(x)=a x 2+bx+c(a ≠0),则f(x)=0即一元二次方程的实根分布问题，可依照三个二次间的关系按下述步骤解决：⑴画出符合题设要求（即f(x)=0的实根分布情形）的所有不同类型的抛物线；⑵分析概括上述抛物线的图形特征并将它转化为相应的不等式组（分别从开口方向， 与x 轴的交点，对称轴，端点与特殊点位置等角度综合考虑）； ⑶简化上述不等式组并求解，以得到原问题的解答。

附:有关二次方程a x 2+bx+c=0(a ≠0)实根分布问题的数与形对应结论（设f(x)=a x 2+bx+c)设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象a>0a<0得出的结论()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a表二：（两根与k 的大小比较）分布情况两根都小于k 即 k x k x <<21,两根都大于k 即 k x k x >>21,一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（0>a ）得出的结论()020bk a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020bk a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f大致图象（0<a ）得出的结论()020bk a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020bk a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论（不讨论a ）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f akkk表三：（根在区间上的分布）分布情况两根都在()nm,内仅一根在()nm,内(另一根不为m,n）两根分别()nm,与()qp,内，两根分别在区间()nm,外大致图象（0 > a）得出的结论()()2f mf nbm na∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅nfmf()()()()f mf nf pf q⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩()()f mf n<⎧⎪⎨<⎪⎩大致图象（0 < a）得出的结论()()2f mf nbm na∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅nfmf()()()()f mf nf pf q⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩()()f mf n>⎧⎪⎨>⎪⎩综合结论（不讨论a ）()()>0<-<2f m f nbm na⎧⎪>⎪⎨⎪⎪⎩()()0<⋅nfmf()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<qfpfnfmf()()>0f m f n对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：1︒ 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n < 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。

如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m，由213m<<得223m <<即为所求；2︒ 方程有且只有一解，且这个解在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。

如方程24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。

分析：①由()()300f f -< 即()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0∆=即()2164260m m -+=得出1m =-或32m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故32m =不满足题意；综上分析，得出15314m -<<-或1m =-例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求m 的取值范围。

解：由 ()()2100m f +< 即 ()()2110m m +-<，从而得112m -<<即为所求的范围。

例2已知实数a 、b 、c 满足22211a b ca b c a b c ⎧>>⎪++=⎨⎪++=⎩，求a b+的取值范围.解：由已知得1a b c +=-且222222()()(1)(1)22a b a b c c ab c c +-+---===-.所以,a b 是一元二次方程22(1)()0x c x c c --+-=的两根. 由a b c >>知 问题可转化为方程22(1)()0x c x c c --+-=的二根都大于c . 令()f x =22(1)()x c x c c --+-，则有：m2212()0(1)4()0c c f c c c c -⎧>⎪⎪>⎨⎪∆=--->⎪⎩即 22123203210c c c c c c ->⎧⎪->⎨⎪--<⎩，求得103c -<<，因此4(1,)3a b +∈.例3已知点(0,4)A 、(4,0)B .若抛物线21y x m x m =-++与线段AB (不包括端点A 及B )有两个不同的交点，则m 的取值范围是 (1997上海数学竞赛) 解： 显然直线AB 的方程为1(04)44xy x +=<<即4y x =-将它代入抛物线方程并整理得2(1)(3)0x m x m +-+-=. 设2()(1)(3)f x x m x m =+-+-问题转化函数()y f x =的图象和x 轴在0到4之间有两个不同的交点 即方程2(1)(3)0x m x m +-+-=在(0,4)上有两个不相等的实根. 所以2(1)4(3)0(0)30(4)164(1)3010 4.2m m f m f m m m ⎧∆=--->⎪=->⎪⎪⎨=--+->⎪-⎪<<⎪⎩解得m 的取值范围是1733m <<.根的分布练习题题1：已知二次函数()()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围。

题2：已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。

题3：已知二次方程()22340mx m x +-+=只有一个正根且这个根小于1，求实数m 的取值范围。

题4：已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的范围 (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m 的范围附练习题答案： 题1：122m -<<:；题2：0322m <<-或322m >+；题3：13m <-；题4解 (1)条件说明抛物线f (x )=x 2+2mx +2m +1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内画出示意图，得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧->-<∈-<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<+=>=-<+=65,21,21056)2(,024)1(,02)1(,012)0(m m R m m m fm f f m f∴2165-<<-m(2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<≥∆>>10,0,0)1(,0)0(m f f ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<--≤+≥->->⇒.01,2121,21,21m m m m m 或(这里0<－m <1是因为对称轴x =－m 应在区间(0，1)内通过) 解之得1-<<1-22m 。

21-1oyx1oyx。