第六章 理想流体动力学 6-1平面不可压缩流体速度分布为Vx=4x+1；Vy=-4y.(1) 该流动满足连续性方程否? (2) 势函数φ、流函数ψ存在否?（3）求φ、ψ 解：（1）由于044=-=∂∂+∂∂yVyx Vx ，故该流动满足连续性方程 （2）由ωz =21(y Vx x Vy ∂∂-∂∂)=)44(21+-＝0, 故流动有势，势函数φ存在，由于该流动满足连续性方程， 流函数ψ存在，. （3）因 Vx yx ∂∂=∂∂=ψϕ=4x+1 Vy=y∂∂φ=-x ∂∂ψ=-4y d φ=x∂∂φdx+y ∂∂φdy=Vxdx+Vydy=(4x+1)dx+(-4y)dyφ=⎰d φ=⎰x∂∂φdx+y ∂∂φdy=⎰Vxdx+Vydy=⎰ (4x+1)dx+(-4y)dy=2x 2-2y 2+x d ψ=x∂∂ψdx+y ∂∂ψdy=-Vydx+Vxdy=4ydx+(4x+1)dyψ=⎰d ψ=⎰x∂∂ψdx+y ∂∂ψdy=⎰-Vydx+Vxdy=⎰ 4ydx+(4x+1)dy=4xy+y6-2 平面不可压缩流体速度分布:Vx=x 2-y 2+x; Vy=-(2xy+y).(1) 流动满足连续性方程否? (2) 势函数φ、流函数ψ存在否? (3)求φ、ψ . 解：（1）由于x Vx ∂∂+x Vy∂∂=2x ＋1－（2x ＋1）＝0，故该流动满足连续性方程，流动存在. (2）由ωz =21(y Vx xVy ∂∂-∂∂)=))2(2(21y y ---＝0, 故流动有势，势函数φ存在，由于该流动满足连续性方程，流函数ψ也存在.（3）因 Vx=x∂∂φ =y ∂∂ψ= x 2-y 2+x, Vy=y ∂∂φ=-x ∂∂ψ=-(2xy+y).d φ=x∂∂φdx+y ∂∂φdy=Vxdx+Vydy=(x 2-y 2+x )dx+(-(2xy+y).)dyφ=⎰d φ=⎰x∂∂φdx+y ∂∂φdy=⎰Vxdx+Vydy =⎰ (x 2-y 2+x )dx+(- (2xy+y))dy=33x -xy 2+(x 2-y 2)/2 d ψ=x∂∂ψdx+y ∂∂ψdy=-Vydx+Vxdyψ=⎰d ψ=⎰x∂∂ψdx+y ∂∂ψdy=⎰-Vydx+Vxdy =⎰(2xy+y)dx+ (x 2-y 2+x)dy=x 2y+xy-y 3/36-3平面不可压缩流体速度势函数 φ=x 2-y 2-x,求流场上A(-1,-1),及B(2,2)点处的速度值及流函数值 解: 因 Vx=x ∂∂φ =y ∂∂ψ=2x-1，V y ＝y x y 2-=∂∂-=∂∂ψφ，由于x Vx ∂∂+xVy ∂∂＝0，该流动满足连续性方程，流函数ψ存在d ψ=x∂∂ψdx+y ∂∂ψdy=-Vydx+Vxdyψ=⎰d ψ=⎰x∂∂ψdx+y ∂∂ψdy=⎰-Vydx+Vxdy=⎰2ydx+(2x-1)dy=2xy-y在点(-1,-1)处 Vx=-3; Vy=2; ψ=3 在点(2,2)处 Vx=3; Vy=-4; ψ=66-4已知平面流动流函数ψ=x+y,计算其速度、加速度、线变形率εxx,εyy, 求出速度势函数φ.解： 因 Vx=x∂∂φ=y ∂∂ψ= 1Vy=y∂∂φ=-x ∂∂ψ=-1d φ=x∂∂φdx+y ∂∂φdy=Vxdx+Vydyφ=⎰d φ=⎰x∂∂φdx+y ∂∂φdy=⎰Vxdx+Vydy=⎰dx+(-1)dy=x-yyv x v y yy xxx ∂∂=∂∂=εε, a x=0=∂∂+∂∂+∂∂=y Vx Vy x Vx Vx t Vx dt dVx ； a y =0=∂∂+∂∂+∂∂=yVyVy x Vy Vx t Vy dt dVy 6-5一平面定常流动的流函数为(,)x y y ψ=+试求速度分布，写出通过A （1，0），和B （2.解：1x v y ψ∂==∂, y v xψ∂=-=∂平面上任一点处的速度矢量大小都为2=，与x 和正向夹角都是060=。
A 点处流函数值为3-•301-=+，通过A 点的流线方程为y +=样可以求解出通过B 点的流线方程也是y +=6-6平面不可压缩流体速度势函数 φ=ax(x 2-3y 2),a<0,试确定流速及流函数,并求通过连接A(0,0)及B(1,1)两点的连线的直线段的流体流量. 解： 因 Vx=x∂∂φy ∂∂=ψ=a(3x 2-3y 2) Vy=y∂∂φ=-x ∂∂ψ=-6axy d ψ=x∂∂ψdx+y ∂∂ψdy=-Vydx+Vxdy=6axydx+a(3x 2-3y 2)dyψ=⎰d ψ=⎰x∂∂ψdx+y ∂∂ψdy=⎰-Vydx+Vxdy=⎰6axydx+a (3x 2-3y 2)dy =3a x 2y-ay 3在A(0,0)点 ψA =0； B （1,1）点ψB =2a ，q=ψA-ψB =-2a. 6-7 证明以下两流场是等同的，(Ⅰ)φ=x 2+x-y 2, (Ⅱ)ψ=2xy+y. 证明:对 (Ⅰ)φ=x 2+x-y2Vx=x ∂∂φ=2x+1 Vy=y∂∂φ=-2y 对 (Ⅱ) ψ=2xy+yVx y∂∂=ψ=2x+1 Vy=-x∂∂ψ=-2y 可见φ与ψ代表同一流动.6-8 已知两个点源布置在x 轴上相距为a 的两点，第一个强度为2q 的点源在原点，第二个强度为q 的点源位于（a, 0）处，求流动的速度分布（q >0）。
解: 两个流动的势函数分别为2/122)ln(22y x q +π及2/122))ln(2y a x q+-π, 合成流动的势函数为=φ2/122)ln(22y x q +π+2/122))ln((2y a x q+-π,(x x v x ∂∂=∂∂=φ2/122)ln(22y x q +π+2/122))ln((2y a x q +-π)=2222)(2y a x ax q y x x q+--++ππ y y v y ∂∂=∂∂=φ(2/122)ln(22y x q +π+2/122))ln((2y a x q+-π)=2222)(2ya x yq y x y q+-++ππ 6-9 如图所示，平面上有一对等强度为)0(>ΓΓ的点涡，其方向相反，分别位于（0，h ），（0，-h ）两固定点处，同时平面上有一无穷远平行于x 轴的来流v ∞，试求合成速度在原点的值。
解: 平面上无穷远平行于x 轴的来流v ∞, 上,下两点涡的势函数分别为x v ∞，)/)arctan((2x h y -Γ-π, )/)arctan((2x h y +Γπ, 因而平面流动的势函数为x v ∞)/)arctan((2x h y -Γ-π+ )/)arctan((2x h y +Γπ, 22)(2h y x h y v x v x -+-Γ+=∂∂=∞πφ 22)(2h y x h y +++Γ-π,=∂∂=y v y φ22)(2h y x x -+Γ-π+22)(2h y x x++Γπ,将原点坐标(0,0)代入后可得hv v x πΓ-=∞, 0=y v . 6-10 如图，将速度为v ∞的平行于x 轴的均匀流和在原点强度为q 的点源叠加，求叠加后流场中驻点位置。
解: 均匀流和在原点强度为q 的点的势函数分别为x v ∞及22ln 2y x q+π, 因而平面流动的势函数为=φx v ∞+22ln 2y x q+π, 222y x x q v x v x ++=∂∂=∞πφ, =∂∂=y v y φ222yx yq +π,令0,0==y x v v , 得到∞-=v q x π2,0=y . 6-11如图，将速度为v ∞的平行于x 轴的均匀流和在原点强度为q 的点源叠加，求叠加后流场中驻点位置, 及经过驻点的流线方程.解: 先计算流场中驻点位置.均匀流和在原点强度为q 的点的势函数分别为x v ∞及22ln 2y x q+π, 因而平面流动的势函数为=φx v ∞+22ln 2y x q+π, 222y x x q v x v x ++=∂∂=∞πφ, =∂∂=y v y φ222y x y q +π,令0,0==y x v v , 得到∞-=v qx π2,0=y .此即流场中驻点位置. 均匀流和在原点强度为q 的点的流函数分别为y v ∞, )arctan(2xyq π,因而平面流动的流函数为=ψy v ∞+)arctan(2xyq π, 在驻点0=ψ, 因而经过驻点的流线方程为y v ∞+)arctan(2xy q π=06-12 一强度为10的点源与强度为-10的点汇分别放置于（1，0）和（-1，0），并与速度为25的沿x 轴负向的均匀流合成，求流场中驻点位置。
解: 均匀流, 点源与点汇的势函数分别为-x 25,5.022))1ln((210y x +-π, 5.022))1ln((210y x ++-π, 因而平面流动的势函数为=φx 25-+22)1(ln 210y x +-π-22)1(ln 210y x ++π22)1(121025y x x x v x +--+-=∂∂=πφ22)1(1210y x x +++-π, =∂∂=y v y φ22)1(210y x y +-π22)1(210y x y++-π 令0,0==y x v v , 得到15/2+±=πx ,0=y .此即流场中驻点位置.。