Q=0.036m3/s，水柱的来流速度V=30m/s，若被截取的流量
Q=0.012m3/s，试确定水柱作用在板上的合力R和水流的偏
转角
（略去水的重量及粘性）。 解：设水柱的周围均为大气压。由于不计重力，因此由伯努利方程可知
由连续方程
取封闭的控制面如图，并建立 坐标，设平板对射流柱的作用力为 （由于不考虑粘性，仅为压力）。由动量定理
<<
,
<<
以及与水箱A中流出的流量相比，从B中吸出的流量为小量。） 解：（1）在
及
的假定下，本题可看作小孔出流 由Torricelli定理
处为基准，对水箱 自由液面及最小截面
建立总流伯努利方程 其中
， 故 要使最小截面处压强
低于大气压即为负值必须使 由连续方程
得 故
得此时的条件应为 （2）若从水槽中吸出水时，需具备的条件为 或者 将 代入
时，
例如，当 则
【4.18】 如图,锅炉省煤气的进口处测得烟气负压 h1=10.5mmH2O，出口负压h2=20mmH2O。如炉外空气 ρ=1.2kg/m3，烟气的密度ρ'= 0.6 kg/m3，两测压断面高度 差H=5m，试求烟气通过省煤气的压强损失。 解：本题要应用非空气流以相对压强表示的伯努利方程形式。 由进口断面1至出口断面2列伯努利方程
即 或者 ，
由于 将上述不等式代入
得 【4.14】 如图，一消防水枪，向上倾角
水管直径D=150mm，压力表读数p=3m水柱高，喷嘴直径 d=75mm，求喷出流速，喷至最高点的高程及在最高点的 射流直径。 解：不计重力，对压力表截面1处至喷咀出口2处列伯努利方程
其中
得
式得
另外，由连续方程 得 上式代入
） 若
， 处的截面面积各为 及 ，由连续方程
得 将上式代入（ ）式
得
则文丘里管中的流量
倘若阀门C关闭，阀门D开启时，真空容器内的压强减至
水 则
银柱时，
即
此时流量
【4.11】
如图，一呈上大下小的圆锥形状的储水池，底部 有一泄流管，直径d=0.6m，流量因数μ＝0.8，容器内初始 水深h=3m，水面直径D=60m，当水位降落1.2m后，水面直 径为48m，求此过程所需时间。 解：本题按小孔出流，设某时刻
式中 其它同上 则
以此 代入上述动量定理式中解得
【.1】 【4.20】 下部水箱重224N，其中盛水重897N，如 果此箱放在秤台上，受如图所示的恒定流作用。问 秤的读数是多少。
解：水从上、下水箱底孔中出流速度由Torricelli定理得
流量 而流入下水箱时的流速，由伯努利方程
式中 ，
则 设封闭的控制面如图，设下水箱中水受到重力为 ,水箱对其作用力为 ,并建立坐标轴
当叶片喷咀均固定时，设流体受到叶片的作用力为
由动量定理
方向：
即
得
叶片受到射流对其作用力大小为
，方向与
方向相反。
(2)当控制体在作匀速运动时，由于固结于控制体上的坐
标系仍是惯性
系，在动量定理中只要将相对速度代替
绝对速度即可。
现当叶片以
速度后退，此时射流相对于固结于叶片上的控制面的
相
对速度为
，因此叶片受到的力大小为
由动量定理 即 即 因此秤的读数 水箱自重+流体对水箱的作用力
因此 设最高点位置为
，则根据质点的上抛运动有
射流至最高点时，仅有水平速度
，列喷咀出口处2至 （在大气中压强均为零）。
最高点处3的伯努利方程
得 或者水平速度始终是不变的 由连续方程，最高点射流直径 为
故
【4.15】
如图，水以V=10m/s的速度从内径为50mm的喷管
中喷出，喷管的一端则用螺栓固定在内径为100mm水管的
其中
，
， 则 管内体积流量
(2)以管口2处为基准，对自由液面1处及管内最高点 列1流
线伯努利方程。则 其中
, , , ,
即 9 807
即 点的真空压强
(3)当
不变，
点
增大时，当
点的压强
等于水的汽化压强时，
此时
点发生水的汽化，管内的流动即中止。查表，在常温下
（15
℃）水的汽化压强为1 697
（绝对压强）以管口2为基准，列
式中
【4.19】
故
得
如图,直径为d1=700mm的管道在支承水平面上分 支为d2=500mm的两支管，A—A断面的压强为70kN/m2，管 道流量Q=0.6m3/s，两支管流量相等。（1）不计水头损 失，求支墩受的水平推力；（2）若水头损失为支管流速水 头的5倍，求支墩受的水平推力。（不考虑螺栓连接的作 用） 解：(1)在总管上过流断面上平均流速为
解：以右箱出口处4为基准，对右箱自由液面3到出口处4列流 线伯努利方程
其中
，
则
以左箱出口处2为基准，对左箱自由液面1到出口处2列流线
伯
努利方程
其中
，
，
故
流入右 等，即
当流动处于恒定流动时，应有右箱出口处的流量和左水箱 水箱的流量及补充入左水量的流量均相
即
或者
且左水箱需补充的流量为
【4.8】
本题要注意的是左水箱的水仅是流入右水箱，而不能从1-4直 接列一条流线。
其中 ，
即
由连续性原理，由于 故
又 由于 故 由于
故
流经管路的体积流量
（2）以管口为基准，该处总水头等于
，由于不计粘性损失，因此各截面上总水头均等于
【4.9】
。 如图，在水箱侧壁同一铅垂线上开了上下两个小孔，若两股 射流在O点相交,试证明
。 解： 列容器自由液面0至小孔1及2流线的伯努利方程，可得到 小孔处出流速度
方向： 即
方向：
即
故
代入
式
即作用在板上合力大小为
，方向与
方向相反
【4.17】
一水射流对弯曲对称叶片的冲击如图所示，试就下
面两种情况求射流对叶片的作用力：（1）喷嘴和叶片都固
定；（2）喷嘴固定，叶片以速度
后退。 解：(1)射流四周均为大气压，且不计重力，由伯努利方程， 各断面上的流速均相同。取封闭控制面如图，并建立 坐标，
时，水面已降至
处， 则由托里拆利公式，泄流管处的出流速度为
储水池锥度为 ，因此当水面降至 处时，水面的直径为
由连续方程 在
时间内流出的水量等于液面下降的水量 故
由于 故
本题从总的过程是非恒定流，若应用非恒定流的伯努利方程很 复杂，为此将整个过程微分，每个微分时间内作为恒定流来处 理，然后应用积分的方法来求解。 【4.12】 如图，水箱通过宽B=0.9m，高H=1.2m的闸门往外泄 流，闸门开口的顶端距水面h=0.6m。试计算（1）闸门开 口的理论流量；（2）将开口作为小孔处理时所引起的百分 误差。 解：（1）由图
（
）
计算题
【4.6】
如图，设一虹吸管a=2m,h=6m,d=15cm。试求：
（1）管内的流量；（2）管内最高点S的压强；（3）若h不
变，点S继续升高（即a增大，而上端管口始终浸入水
内），问使吸虹管内的水不能连续流动的a值为多大。
解：(1)以水箱底面为基准，对自由液面上的点1和虹吸管下端 出口处2建立1-2流线伯努利方程，则
点的伯 努利方程，
， ， ， ，
【4.7】
其中
（大气绝对压强） 即
本题要注意的是伯努利方程中两边的压强计示方式要相同，由 于 为绝对压强，因此出口处也要绝对压强。 如图，两个紧靠的水箱逐级放水，放水孔的截面积分别为A1 与A2，试问h1与h2成什么关系时流动处于恒定状态，这时 需在左边水箱补充多大的流量。
由于
，故本题应按大孔出流来处理，将大孔口，沿水
平
方向分割成许多小孔，然后对于每一小孔
按Torricelli定理
出流速度
，小孔面积
理论出流量为
总出流量
（2）当按小孔出流处理时， 出流量
两者引起的相对误差为
【4.13】
今想利用水箱A中水的流动来吸出水槽B中的 水。水箱及管道各部分的截面积及速度如图所示。试求 （1）使最小截面处压强低于大气压的条件；（2）从水槽B 中把水吸出的条件。（在此假定
。此公式称托里拆利公式（Toricelli），它在形式上与初始速 度为零的自由落体运动一样，这是不考虑流体粘性的结果。
由
公式，分别算出流体下落
距离所需的时间，其中
经过
及
时间后，两孔射流在某处相交，它们的水平距离相
等，
即
， 其中
，
， 因此
即
【4.10】 如图，
Venturi管A处的直径d1=20cm，B处的直径
d2=2cm。当阀门D关闭，阀门C开启时测得U型压力计中水
银柱的差h=8mm，求此时Venturi管内的流量。又若将阀门
C关闭，阀门D开启，利用管中的射流将真空容器内的压强
减至100mm（水银柱）时，管内的流量应为多大。
解：由于本题流体是空气，因此忽略其重力。
从A至B两过流断面列总流伯努利方程
因此 （
第4章 理想流体动力学
选择题
【.1】 【4.1】 如图等直径水管，A—A为过流断面，B—B 为水平面，1、2、3、4为面上各点，各点的运
；（
）
。
解：对于恒定渐变流过流断面上的动压强按静压强的分布规 律，即 ，故在同一过流断面上满足
（ ） 【4.2】 伯努利方程中
表示（ ）单位重量流体具有的机械能；（
法兰上，如不计损失，试求作用在连接螺栓上的拉力。
解：由连续方程
故
对喷管的入口及出口列总流伯努利方程