4．求解。校核和讨论计算结果。
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——平面力系平衡方程 • 应用举例
工 程 力 学
• 例1：一种车载式起重机，车重P1= 26 kN，起重机伸 臂重P2 = 4.5 kN，起重机的旋转与固定部分共重P3 = 31 kN。尺寸如图所示。设伸臂在起重机对称面内，且放 在图示位置，试求车子不致翻倒的最大起吊重量Pmax。
(2)考虑左半部，受力分析如图
1 M 0 F a P a FAy a 0 C Ax 2 这里不需列全部方程，只需有针对性地列出必要的方程！
4个方程，4个未知量，可解。
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——刚体系统的平衡
工 程 力 学
1 3 1 FAx ( P Q ), FAy P Q 4 4 4 1 1 FBx (3Q P ), FBy ( P Q) 4 4
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——刚体系统的平衡
分析方法：
整体
求解刚体系统的平衡问题，主要依据前 面给出的平衡理论。
工 程 力 学
局部
先以系统整体为研究对象，列出平衡方程，这样的方 程中不包含内力，未知量较少，解出部分未知量后，再选 择合适的单个物体为研究对象，列出平衡方程，直到求出 所有的未知量为止。
以系统的每一个物体为研究对象，列出全部的平衡方程，
1 2 P1 2.5P2 5.5P 3.8
不翻倒的条件是：FA≥0。
1 2 P1 2.5P2 7.5 kN 因此，得到 P 5.5
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——平面力系平衡方程 • 应用举例
工 程 力 学
• 例2：如图所示是汽车制动 机构的一部分。已知司机踩 到制动蹬上的力 F=212 N ， θ = 45 。当平衡时， DA铅 直， BC 水 平 ，试求拉杆 BC 所受的力。已知EA=24 cm， DE=6 cm点E在铅直线DA上 ，又B ，C ，D都是光滑铰 链，机构的自重不计。
工 程 力 学
主 讲：谭宁 副教授 办公室：教1楼北305
平面力系平衡方程
工 程 力 学
刚体系统的平衡
静定、静不定问题 作业题
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——平面力系平衡方程
• 平面任意力系平衡方程
工 程 力 学
平面力系向作用面内任选一点O简化，一般可得一个力 和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用于简化中心 O；这个力偶的矩等于该力系对于O点的主矩。
工 程 力 学
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——刚体系统的平衡
解：(1)考虑整体,受力如图所示， 列平衡方程如下：
FAx FAy
FCy
FCx
FBx FBy
工 程 力 学
F
x
0 FAx FBx Q 0
1 1 M 0 F 2 a Q a P a0 A By 2 2 3 1 M 0 F 2 a P a Q a0 B Ay 2 2
工 程 力 学
解: (1)取AB梁，画受力图.
Q
D
此处，把分布力简化成 集中力Q，作用在D点
FAx FAy
Q q 2a
AD a
FB
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——平面力系平衡方程
• 应用举例
• 例3：已知 P, q, a, M pa; 求支座A、B处的约束力.
工 程 力 学
(2) 列平衡方程
Fx 0 F y 0 M A ( F ) 0
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——平面力系平衡方程 • 应用举例
解：取汽车及起重机为研究 对象，受力分析如图。 FA
工 程 力 学
FB
列平衡方程如下：
F 0 M B F 0
FA
FA FB P P 1P 2 P 3 0
P1 2 P(2.5 3 ) P2 2.5 FA (1.8 2 ) 0
M
B
( Fi ) 0 ，则该力系合成结果或者是作用线通过A、B
两点的一个合力，或者是平衡。 （3）又若该力系又同时满足 Fx 0, ，而x轴不得垂直于AB连线时，显然力系 不可能有合力。这就表明，只要满足以上三个方程及附加条件，该力系必平衡
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——平面力系平衡方程
• 平面任意力系平衡方程
5
——平面力系平衡方程
• 平面任意力系平衡方程
平衡方程其他形式
工 程 力 学
二矩式
M A (F ) 0 M B (F ) 0 Fx 0
x轴不得垂直于A、B的连线。
（1）若力系已满足了
M
A
(Fi ) 0，则表明力系不可能简化为一力偶，只可能是
作用线通过A点的一个合力，或者是平衡。 （2）若该力系同时满足
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——平面力系平衡方程 • 应用举例
解： (1).取制动蹬ABD作为研究 对象，画出受力图。
y
A
F
工 程 力 学
应用三力平衡汇交的条件得到 (2) 列平衡方程
F F
O
x
0 ， F F cos q F cos 0 B D y 0 ， FD sin F sin q 0
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——刚体系统的平衡
求解方法二
工 程 力 学
（1）选取研究对象：左刚架， 受力分析如图所示。
FCy
列平衡方程：
Fx 0 Fy 0 M C 0
FCx
FAx FCx 0 FAy FCy P 0 FAx a FAy a P a 0 2
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——刚体系统的平衡 FCy′
求解方法二
FCx′
工 程 力 学
（1）选取研究对象：右刚架， 受力分析如图所示。
列平衡方程：
Fx 0 Fy 0 M C 0 Q 0 FBx FCx 0 FBy FCy FBx a FBy a Q a 0 2
正确识别出二力杆，对解题有很大帮助。
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——刚体系统的平衡
例三
已知：四连杆机构 ABCD 受力 P、 Q 作用。 求 : 机构平衡时P、Q 的关系。
工 程 力 学
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——刚体系统的平衡
解：以整体为研究对象，受力分 析如图所示。
工 程 力 学
AD、BC均为二力杆
列平衡方程
33
——刚体系统的平衡
A ， B ， C ， D 处均为光滑铰链，物块重为 P ，通过 例四 绳子绕过滑轮水平地连接于杆AB的E点，各构件自重不 计，试求B处的约束力。
FAx
FAy
Q
D
FB
1 3 FAx 0 FAx 0 , FAy P qa , 4 2 FAy FB P Q 0 1 1 FB P qa 4 2 FB 4a M P 2a Q a 0
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——刚体系统的平衡
• 刚体系统：由若干个刚体连接而成的系统。
然后求解。
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——刚体系统的平衡
研究刚体系统的平衡问题需要注意以下几点： • • 分清内力和外力。 灵活选取研究对象和列写平衡方程。
工 程 力 学
• 如系统由n个物体组成，而每个物体在平面力系作用下 平衡，则有3n个独立的平衡方程，可解3n个未知量。
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——刚体系统的平衡
例一
已知：a、P、Q。求A、B 的约束反力。
解：该系统中，BC为二力杆。 以AB为研究对象，作出受力图
l
FP
MA ( F ) = 0 :
FBC d - FP 2l = 0 Fy = 0 :
工 程 力 学
l
A
C FAy
B
FBC 2 2FP
FAy - FP + FBC sin45 = 0
FAx A d
l
B
FBC
l
FP
FAy= - FP
平衡方程其他形式
工 程 力 学
三矩式
M A (F ) 0 M B (F ) 0 M C (F ) 0
A、B、C三点不得共线。 为什么呢？
7——平面力系平衡方程• 平面平行力系的平衡方程 此时，
Fx 0
自然满足。
工 程 力 学
则平面平行力系平衡方程为
FBx FBy
, FCy FCy FCx FCx
6个方程可解出6 个未知量
思考：法一和法二的不同之处在哪里？哪种方法简单？ 总结两种方法的特点。
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——刚体系统的平衡
例二
图示结构，Fp和 l 均已知，分别求两种情况下的 约束力。
工 程 力 学
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——刚体系统的平衡 第一种情 形 l
工 程 力 学
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——刚体系统的平衡
系统平衡的特点：
(1)系统整体是平衡的；
工 程 力 学
(2)物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列3个平 衡方程，整个系统可列3n个方程（设物系中有n个 物体,每个物体都受有平面一般力系作用） (3)由n个刚体组成的物系，其中n1个刚体为二力体或 受有平面力偶系作用，n2个刚体受有平面汇交力系 或平行力系作用，n3个刚体受有平面一般力系作用， 且：n = n1+n2+n3 ，则整个系统可列出m个独立的 平衡方程，且 m = n1+2n2+3n3 ，可求解m个未知量。
DE 1 OE 4
q
F
B
B
x
FD
D
已知 sin
FB 750N
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——平面力系平衡方程 • 应用举例
• 例3：已知 P, q, a, M pa; 求支座A、B处的约束力.
工 程 力 学
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——平面力系平衡方程 • 应用举例