复变函数论复变函数：若在复数平面上存在一个点集E ，对于E 中的每一点z ，按照一定的规律，有一个或多个复数值w 与之相对应，则说在点集E 上定义了一个复变函数，记作：)(z f w =，点集E 叫作函数的定义域令：iv u z f w +==)(，并将iy x z +=代入，则有：),(),()()(y x iv y x u z f w iv u z f w iyx z +==⇒⎭⎬⎫+==+=初等复变函数：指数函数：)sin (cos y i y e e e e e x iy x iy x z +===+ 三角函数： ()iz iz e e i z --=21sin , z z z cos sin tan =, zzz sin cos cot = 1）因为z z sin )2sin(=+π，z z cos )2cos(=+π，所以z sin ，z cos 具有实周期π2 2）z sin ，z cos 为无界函数。

3）212121sin sin cos cos )cos(z z z z z z μ=±212121sin cos cos sin )sin(z z z z z z ±=± 1cos sin 22=+z z 双曲线函数：()z z e e shz --=21 ， ()z z e e chz -+=21 ， chzshzthz =对数函数： iArgz z Lnz iv u w +==+=ln 幂函数：为复常数）（αααααArgzi z Lnz e e e z ln == 一般指数函数：为复常数）（αααααziArg z zLn z e e e ln == 复变函数的导数：设函数)(z f w =是在区域E 上定义的单值函数，对于E 上的某点z ，如果极限zz f z z f z w z z ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim00存在，则称函数)(z f w =在点z 处可导，此极限叫作函数)(z f w =在点z 处的导数，表示为:)()()()(lim lim00z f dzz df z z f z z f z w z z '==∆-∆+=∆∆→∆→∆复变函数可导的充要条件：复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导的充要条件是偏导数x y x u ∂∂),(，y y x u ∂∂),(，xy x v ∂∂),(，y y x v ∂∂),(存在、连续，并且满足柯西-黎曼条件，即：y y x v x y x u ∂∂=∂∂),(),(，xy x v y y x u ∂∂-=∂∂),(),( 解析函数(全纯函数，正则函数)：如果函数)(z f 在0z 点及其邻域内处处可导，那么称)(z f 在0z 点解析。

如果)(z f 在区域E 内每一点都解析，那么称)(z f 在E 内解析，或称()f z 为E 内的一个解析函数。

注：)(z f 在某点0z 解析⇒在该点可导⇒该点连续⇒该点有极限区域解析⇔区域可导，即解析函数是函数在一个区域上的性质，而不是在一些孤立点上的性质。

解析函数在定义域内的和、差、积、商（分母不为零）仍然为解析函数. ● 设给定二元调和函数),(y x u ，作为解析函数iv u z f +=)(的实部，由柯西-黎曼条件可求出相应的虚部，进而确定这个解析函数。

设二元函数),(y x v 的全微分式为：dy yvdx x v dv ∂∂+∂∂= 考虑柯西-黎曼条件可得：dy xu dx y u dv ∂∂+∂∂-= ),(y x v 的三种计算方法：（1） 曲线积分法：全微分的线积分与路径无关，可选取特殊路径积分，使积分容易求出（2） 凑全微分显式法：把dy xudx y u dv ∂∂+∂∂-=凑成全微分的显式，求出),(y x v 。

（3） 不定积分法例题. 已知解析函数)(z f 的实部22),(y x y x u -=，求虚部和这个解析函数容易验证22),(y x y x u -=为调和函数：022),(),(2222=-=∂∂+∂∂yy x u x y x u 由柯西-黎曼条件可得：y y y x u x y x v 2),(),(=∂∂-=∂∂ x xy x u y y x v 2),(),(=∂∂=∂∂ 所以有：xdy ydx dy yvdx x v dv 22+=∂∂+∂∂=(1) 曲线积分法：图1取如图1所示的积分路径，可求出积分C xy C xdy ydx C xdy ydx xdy ydx v y x x y x x x +=++=++++=⎰⎰⎰2222222),()0,(),()0,()0,()0,0(其中C 为积分常数。

(2) 凑全微分显式法：)2(22xy d xdy ydx dy yvdx x v dv =+=∂∂+∂∂= 所以有; C xy v +=2 (3) 不定积分法： x y y x v 2),(=∂∂，y xy x v 2),(=∂∂ 把x 视为参数，x yy x v 2),(=∂∂对y 积分可得：)(2)(2x xy x xdy v ϕϕ+=+=⎰ 对)(2x xy v ϕ+=求偏导数)(2x y v xϕ'+=∂∂与y xy x v 2),(=∂∂向比较可得：C x x =⇒=')(0)(ϕϕ 所以由)(2)(2x xy x xdy v ϕϕ+=+=⎰可得：C xy v +=2所以有：iC z C xy i y x y x iv y x u z f +=++-=+=222)2()(),(),()(可把2*+=z z x ,i z z y 2*-=代入上式求出复变函数积分:复变函数的积分归结为两个实变函数的曲线积分：⎰⎰⎰⎰++-=++=lllldy y x u dx y x v i dy y x v dx y x u idy dx y x iv y x u dz z f ),(),(),(),())](,(),([)(若曲线l 由参数方程)(t x x =，)(t y y =，21t t t ≤≤给出则有dt t y i dt t x dt t z idy dx dz )()()('+'='=+=，可得积分的计算公式dtt y t y t x u t x t y t x v i dt t y t y t x v t x t y t x u dtt y i t x t y t x iv t y t x u dtt z t y t x iv t y t x u idy dx y x iv y x u dz z f t t t t t t t t ll})()](),([)()](),([{)}()](),([)()](),([{)]()()]}[(),([)](),([{)()]}(),([)](),([{))](,(),([)(21212121⎰⎰⎰⎰⎰⎰'+'+'-'='+'+='+=++=高阶导数公式设)(z f 在区域E 内是解析的，在闭区域E 上是连续的，l 为E 的边界，对于区域E 内的任一点z ，)(z f 可以求导任意多次，第n 阶导数可表示为：ζζζπd z f i n z f l n n ⎰+-=1)()()(2!)(上式可看作在柯西公式⎰-=l d zf i z f ζζζπ)(21)(对z 求n 次导，其中等式右边在积分号内对zf -ζζ)(关于z 求n 次导。

幂级数： ΛΛ+-+-+=-∑∞=n n n n n z z c z z c c z z c )()()(001000其中：系数n c 和固定点0z 都是复常数，z 是一个复变量 幂级数收敛半径的比值判别法（达朗贝尔判别法）： R c c n n n =+∞→1lim幂级数收敛半径的根式判别法（柯西判别法）： []1lim-∞→=nnn c R奇点法：幂级数中心0z 到最近奇点的距离即为收敛圆的半径R 收敛圆：R z z =-0泰勒级数：定理：设函数)(z f 在区域E 上是解析的，0z 为区域E 内任一点，在区域E 内的圆R z z C <-0:中，)(z f 可以展开为泰勒级数：∑∑∞=∞=-=-=000)(00))((!1)()(n n n n nn z z z f n z z c z f 泰勒级数的收敛半径R 为0z 到区域E 的边界的最短距离 将函数展开为泰勒级数的方法 1．直接计算系数)(!10)(z f n c n n =：例题. 以00=z 为中心，将z e z f =)(展开为泰勒级数。

解：z e z f =)(的各阶导数为z n e z f =)()(，!1!1)0(!100)(0n e n z f n c z z z n n ====== 所以：∑∞==+++++=02!!!21n nn zn z n z z z e ΛΛ 2. 换元法：例题. 试分别以00=z 及10=z 为中心将函数11)(+-=z z z f 展开成Taylor 级数，并指出其收敛半径.解：利用级数∑∞==-011n n z z ，1<z 来展开)(z f 以00=z 为中心，则有：1,)(21)(12112111)(0<--=---=+-+=+-=∑∞=z z z z z z z z f n n)(z f 的奇点是1-=z ，从中心00=z 到1-=z 的距离为1，所以收敛半径1=R 。

3. 在收敛圆内逐项求导法(求积分法) 例题. 以00=z 为中心， 将函数2)1(1)(z z f -=展开为Taylor 级数 解：已知∑∞==-011n n z z ，1<z ，等式左边对z 求导，右边对z 逐项求导可得： ∑∑∞=∞=-+==-='-0112)1()1(1)11(n n n n z n nz z z ，1<z 洛朗定理：若函数)(z f 在环形区域201R z z R <-<内解析，则)(z f 可在环形区域内任一点z 展开为罗朗级数，其形式为：n n nz z cz f )()(0-=∑∞-∞=其中展开系数为： ⎰+-=l n n d z f i c ζζζπ10)()(21积分路径l 为环形区域内绕0z 的任一简单闭合曲线。

罗朗级数中nn n z z c z f )()(001-=∑∞=称为展开式的正则部分，nn n z z cz f )()(012-=∑--∞=称为主要部分。

罗朗级数n n nz z cz f )()(0-=∑∞-∞=在环形区域201R z z R <-<内绝对且一致收敛罗朗级数展开方法举例例题. 将函数2)(ze zf z=在以00=z 为中心的环形区域∞<<z 0内展开为罗朗级数。