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安徽大学2006—2007学年第二学期
《 复变函数 》考试试卷（A 卷）
（时间120分钟）
院/系 专业 姓名 学号
一：填空题（每小题3分，共15分）
1．设vi u z f +=)(为复变函数，其中),(y x u u =，).(y x v v =，则)(z f
满足R C -条件，是指_____________。

2．设区域D 的边界为围线C ，函数)(z f 在D 内解析，在C D D +=上连续，则解析函数)(z f 可有积分表达式为______________。

3．以无穷远点为n 阶极点的整函数的表达式为______________。

4．函数z
w e =将区域0Im z π<<映照成区域___________。

5．若n n n z c z z z f )1()3)(1(1)(02-=-+=∑∞=，则)(z f 在1=z 处的泰勒级数展开的半径为________ 。

二、计算与解答（每小题15分，共45分）
1． 计算22sin (1)z z dz z z =-⎰ 2、验证233),(xy x y x u u -==是复平面上的调和函数，并求一个以),(y x u 为实部的解析函数)(z f ，
使得i f =)0(。

3．求出一个从上半单位圆盘到上半平面的保形变换。

三、证明题（每小题15分，共30分）
1．设)(z f 是单位圆盘D 上的解析函数，D D f ⊂)(，且∃D a ∈，0)(=a f 。

试证：z
a a z z f --≤
1)(，D z ∈ 2．若)(z f 在围线C 内部除可能有极点外解析且连续到C ，在C 上1)(<z f 。

证明：1)(=z f
在C 内部根的个数等于)(z f 在C 的内部的极点个数。

四、探讨题（共10分）
设函数)(
z f 在1<z 内除可能有极点外是解析的，在边界1=z 上连续，
且当1=
z 时，1)(=z f 。

试给出函数)(z f 的表达式。

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四、探讨题（共10分）
设函数)(z f 在1<z 内除可能有极点外是解析的，在边界1=z 上连续， 且当1=z 时，1)(=z f 。

试给出函数)(z f 的表达式。