2 1 2 2
x
x
ϕ 0 = ϕ 20
A1
ϕ 20
o
o
T
太原理工大学物理系
t
ω A2
A
两个简谐振动的相位关系 （1）相位差 ϕ 20 − ϕ10 = 2k π ( k = 0 ， 1， ) ± L 两个简谐振动的相位相同， 两个简谐振动的相位相同，合振动的振幅 相位相同
A = A1 + A2
相互加强
§3 同方向简谐振动的合成
当一个物体同时参与几个谐振动时,就需考 当一个物体同时参与几个谐振动时 就需考 虑振动的合成问题。 虑振动的合成问题。本节讨论 的简谐振动的合成, （1）同方向、同频率的简谐振动的合成 它 ）同方向、同频率的简谐振动的合成 是波的干涉的重要基础。 干涉的重要基础 是波的干涉的重要基础。 的简谐振动合成， （2）同方向、不同频率的简谐振动合成，其 ）同方向、不同频率的简谐振动合成 结论可以给出重要的实际应用。 结论可以给出重要的实际应用。
（2）相位差 ϕ 20 − ϕ10 = ( 2k + 1) π ( k = 0 ， 1， ) ± L 两个简谐振动的相位相反，合振动的振幅 两个简谐振动的相位相反， 相位相反
A = A1 − A2
一般情况下 （3）一般情况下
相互削弱
A1 + A2 > A > A1 − A2
太原理工大学物理系
二、两同方向不同频率的简谐振动的合成 设分振动 合振动
x1 = A1 cos ω1t
x2 = A2 cos ω2t
= 2 A cos(
频率相差较小
x = x1 + x2 ω1 − ω2
2
t ) cos(
ω1 + ω2
2
t)
令A(t ) = 2 A cos(
ω1 − ω2
2 ω1 + ω2 cos ωt = cos( t) 2
t)
太原理工大学物理系
合振动特点： 合振动特点： （1）合振动频率 （2）合振幅
ω=
ω1 + ω2
2
≈ ω1 ≈ ω2
2 t)
A(t ) = 2 A cos(
ω1 − ω 2
合振动的振幅在0--2A之间随 周期性变化，时强 之间随t周期性变化 合振动的振幅在 振幅 之间随 周期性变化， 时弱，合振动不是简谐振动。 时弱，合振动不是简谐振动。 合振幅时强时弱的现象称为拍 合振幅时强时弱的现象称为拍。 合振幅在单位时间内变化的次数称拍频 拍频。 合振幅在单位时间内变化的次数称拍频。 拍频
两个同方向、 频率简谐运动合成 合成后 两个同方向、同频率简谐运动合成后，仍然为 简谐运动 振动频率仍为ω 运动， 频率仍为 简谐运动，振动频率仍为ω. 太原理工大学物理系
A、ϕ0 可由旋转矢量法导出，这比用解析法方便。 、 可由旋转矢量法导出，这比用解析法方便 方便。
v A2
0
2 1
ω
v A
ϕ 20 ϕ x2
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一
两个同方向同频率简谐运动的合成 设有两个同频率的谐振动，表达式分别为： 设有两个同频率的谐振动，表达式分别为：
x1 = A1 cos( ω t + ϕ10 ) x2 = A2 cos( ω t + ϕ 20 )
合振动位移 x = x1+ x2 由 三角函数可以证明
x = A cos( ω t + ϕ 0 )
太原理工大学物理系
π
2 2
10
v ϕ 0A
x1
1
x
x
A = A + A + 2 A1 A2 cos(ϕ20 − ϕ10 ) A1 sin ϕ10 + A2 sin ϕ 20 tan ϕ 0 = A1 cos ϕ10 + A2 cos ϕ 20
太原理工大学物理系
讨论两种特殊情况
A = A + A + 2 A1 A2 cos(ϕ20 − ϕ10 ) ± ± 1）同相位 ∆ϕ = ϕ 20 − ϕ10 = 2k π (k = 0 ， 1， 2,L) ）
∆ν = ν 1 − ν 2
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拍现象
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例8 两个同方向的简谐振动曲线如图所示， 两个同方向的简谐振动曲线如图所示，求合 振动方程。 振动方程。
A1
A2
x1
x2
t
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解：由振动曲线得
ϕ10 =
π
2
ϕ 20
3π = 2
A1 > A2
合振动方程
x = ( A1 − A2 ) cos(ωt + ) 2 T π = ( A1 − A2 ) cos( t + ) 2π 2
2 1 2
x
ϕ0
x
o
T
A = A1 + A2 x = ( A1 + A2 ) cos( ω t + ϕ ) ϕ0 = ϕ20 = ϕ10 + 2k π
太原理工大学物理系
A ω
A2
A1
o
t
A = A + A + 2 A1 A2 cos(ϕ20 − ϕ10 ) ∆ ± 2）反相位 ϕ = ϕ 20 − ϕ10 = ( 2k + 1) π( k = 0 ， 1, L) x1 = A1 cos ω t x = ( A2 − A1 ) cos(ωt + π) x 2 = A 2 cos( ω t + π ) A = A1 − A2