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半角模型专题专练复习进程

半角模型专题专练半角模型例题已知,正方形ABCD 中,∠EAF 两边分别交线段BC 、DC 于点E 、F ,且∠EAF ﹦45° 结论1:BE ﹢DF ﹦EF结论2:S △ABE ﹢S △ADF ﹦S △AEF 结论3:AH ﹦AD结论4:△CEF 的周长﹦2倍的正方形边长﹦2AB 结论5:当BE ﹦DF 时,△CEF 的面积最小 结论6:BM 2﹢DN 2﹦MN 2结论7:三角形相似,可由三角形相似的传递性得到 结论8:EA 、FA 是△CEF 的外角平分线 结论9:四点共圆结论10:△ANE 和△AMF 是等腰直角三角形(可通过共圆得到) 结论11:MN ﹦√22EF (可由相似得到)结论12:S △AEF ﹦2S △AMN (可由相似的性质得到) 结论5的证明:设正方形ABCD 的边长为1 则S △AEF ﹦1﹣S 1﹣S 2﹣S 3﹦1﹣12x ﹣12y ﹣12(1﹣x)(1﹣y) ﹦12﹣12xy所以当x ﹦y 时,△AEF 的面积最小结论6的证明:将△ADN 顺时针旋转90°使AD 与AB 重合 ∴DN ﹦BN ′易证△AMN ≌△AMN ′ ∴MN ﹦MN ′在Rt △BMN ′中,由勾股定理可得: BM 2﹢BN ′2﹦MN ′2 即BM 2﹢DN 2﹦MN 2结论7的所有相似三角形:△AMN ∽△DFN △AMN ∽△BME △AMN ∽△BAN △AMN ∽△DMA △AMN ∽△AFE结论8的证明:因为△AMN ∽△AFE∴∠3=∠2因为△AMN ∽△BAN ∴∠3=∠4 ∴∠2=∠4 因为AB ∥CD ∴∠1=∠4 ∴∠1=∠2结论9的证明:因为∠EAN ﹦∠EBN =45°∴A 、B 、E 、N 四点共圆(辅圆定理:共边同侧等顶角)同理可证C 、E 、N 、F 四点共圆 A 、M 、F 、D 四点共圆 C 、E 、M 、F 四点共圆**必会结论-------- 图形研究正方形半角模型已知:正方形ABCD ,E 、F 分别在边BC 、CD 上,且︒=∠45EAF ,AE 、AF 分别交BD 于H 、G ,连EF .一、全等关系(1)求证:①EF BE DF =+;②DG 2﹢BH 2﹦HG 2;③AE 平分BEF ∠,AF 平分DFE ∠. 二、相似关系(2)求证:①DG CE 2=;②BH CF 2=;③HG EF 2=. (3)求证:④DH BG AB ⋅=2;⑤HG BG AG ⋅=2;⑥21=⋅CF DF CE BE . 三、垂直关系(4)求证:①EG AG ⊥;②FH AH ⊥;③BEAB HCF =∠tan . (5)、和差关系求证:①BE DG BG 2=-;②DH DF AD 2=+; ③||2||DG BH DF BE -=-.例1、在正方形ABCD 中,已知∠MAN ﹦45°,若M 、N 分别在边CB 、DC 的延长线上移动,①.试探究线段MN 、BM 、DN 之间的数量关系. ②.求证:AB=AH.例2、在四边形ABCD 中,∠B+∠D ﹦180°,AB=AD ,若E 、F 分别在边BC 、CD 上,且满足EF=BE +DF.求证:∠EAF =12∠BAD例3、在△ABC 中,AB=AC ,∠BAC=2∠DAE=120°,若BD=5,CE=8,求DE 的长。

例4、请阅读下列材料:已知:如图1在Rt ABC ∆中,90BAC ∠=︒,AB AC =,点D 、E 分别为线段BC 上两动点,若45DAE ∠=︒.探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系.小明的思路是:把AEC ∆绕点A 顺时针旋转90︒,得到ABE '∆,连结E D ', 使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题:(1)猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式,并对你的猜想给予证明;(2)当动点E 在线段BC 上,动点D 运动在线段CB 延长线上时,如图2,其它条件不变,⑴中探究的结论是否发生改变?请说明你的猜想并给予证明.图1ABCDE图2AB CDE例5、探究:(1)如图1,在正方形ABCD 中,E 、F 分别是BC 、CD 上的点,且∠EAF =45°,试判断BE 、DF 与EF 三条线段之间的数量关系,直接写出判断结果: ;(2)如图2,若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD 中,AB =AD ,∠B +∠D =180°,E 、F 分别是边BC 、CD 上的点,且∠EAF=21∠BAD”,则(1)问中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明,若不成立,请说明理由;(3)在(2)问中,若将△AE F 绕点A 逆时针旋转,当点分别E 、F 运动到BC 、CD 延长线上时, 如图3所示,其它条件不变,则(1)问中的结论是否发生变化?若变化,请给出结论并予以证明..练习巩固1:如图,在四边形ABCD 中,∠B ﹦∠D ﹦90°,AB ﹦AD ,若E 、F 分别在边BC 、CD 上的点,且∠EAF =12∠BAD . 求证:EF=BE +DF.练习巩固2:如图,在五边形ABCDE 中,AB ﹦BC ﹦CD ﹦DE ﹦EA , ∠CAD =12∠BAE ,求∠BAE 的度数练习巩固3:已知:正方形ABCD 中,45MAN ∠=o ,绕点A 顺时针旋转,它的两边分别交CB 、DC (或它们的延长线)于点M 、N .(1)如图1,当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时,有BM DN MN +=.当MAN ∠ 绕点A 旋转到BM DN ≠时,如图2,请问图1中的结论还是否成立?如果成立,请给予证明,如果不成立,请说明理由;(2)当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时,线段BM DN ,和MN 之间有怎样的等量关系?请写出你的猜想,并证明.练习巩固4(1)如图,在四边形ABCD 中,AB ﹦AD ,∠B ﹦∠D ﹦90°,E 、F 分别是边BC 、CD 上的点,且∠EAF =12∠BAD . 求证:EF BE FD =+;NMDCBANMCDBANM D CBAEFDCBA(2) 如图在四边形ABCD中,AB﹦AD,∠B﹢∠D﹦180°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=12∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立?不用证明.(3) 如图,在四边形ABCD中,AB﹦AD,∠B﹢∠ADC﹦180°,E、F分别是边BC、CD延长线上的点,且∠EAF=12∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明.(4)如图①,将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F 分别在边AB、CD上),使点B落在AD边上的点M处,点C落在点N 处,MN与CD交于点P,连接EP.(1)如图②,若M为AD边的中点,①△AEM的周长﹦cm;②求证:EP﹦AE﹢DP;(2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合),△PDM的周长是否发生变化?请说明理由.(5).如图17,正方形ABCD,E、F分别为BC、CD边上一点.(1)若∠EAF﹦45º.求证:EF﹦BE﹢DF.(2)若△AEF绕A点旋转,保持∠EAF﹦45º,问⊿CEF的周长是否随△AEF位置的变化而变化?(3)已知正方形ABCD的边长为1,如果⊿CEF的周长为2.求∠EAF 的度数.EFDCBAEFDCBAFED CBA如图,已知在正方形ABCD 中,∠MAN ﹦45°,连接BD 与AM ,AN 分别交于E 、F 两点。

求证:(1)MN ﹦MB ﹢DN ;(2)点A 到MN 的距离等于正方形的边长; (3)V CMN 的周长等于正方形ABCD 边长的2倍; (4)=W V ABCD CMN S 2ABS MN; (5)若∠MAB ﹦20°,求∠AMN ;(6)若()∠=ααo p p MAB 045,求∠AMN ; (7)=+222EF EB DF ;(8)V AEN 与V AFM 是等腰三角形; (9)=V V AEF AMN S 1S 2。

练习巩固6、在等边ABC ∆的两边AB ,AC 所在直线上分别有两点M N D ,,为ABC ∆外一点,且60MDN ∠=︒,120BDC ∠=︒,BD CD =,探究:当点M N ,分别爱直线AB AC ,上移动时,BM BN MN ,,之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系.(1)如图①,当点M N ,在边AB AC ,上,且DM DN =时,BM NC MN ,,之间的数量关系式_________;此时QL=__________ (2)如图②,当点M N ,在边AB AC ,上,且DM DN ≠时,猜想(1)问的两个结论还成立吗?写出你的猜想并加以证明;(3)如图③,当点M N ,分别在边AB CA ,的延长线上时,若AN x =,则Q =_________(用x L ,表示)图①M NDCBA 图②MND CBAN图③MD CB A如图所示,△ABC 是边长为1的等边三角形,△BDC 是顶角为120°的等腰三角形,以D 为顶点作一个60°的∠MDN ,点M ,N 分别在AB ,AC 上,求△AMN 的周长练习巩固8、如图,在正方形ABCD 中,BE=3,EF ﹦5,DF ﹦4,求∠BAE ﹢∠DCF 为多少度。

巩固练习9、如图1,Rt△ABC≌Rt△EDF,∠ACB﹦∠F﹦90°,∠A﹦∠E﹦30°。

△EDF 绕着边AB 的中点D 旋转,DE ,DF 分别交线段..AC 于点M ,K .(1)①如图2、图3,当∠CDF ﹦0° 或60°时,AM ﹢CK_______MK(填“>”,“<”或“=”). ②如图4,当∠CDF ﹦30° 时,AM ﹢CK___MK(只填“>”或“<”).(2)猜想:如图1,当0°<∠CDF <60°时,AM ﹢CK_______MK ,证明你所得到的结论. (3)如果222AM CK MK =+,请直接写出∠CDF 的度数和AMMK 的值.。

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