并非把结论写全。

小结：
（1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图
（2）正方形的性质：
①正方形对边平行。

②正方形四边相等。

③正方形四个角都是直角。

④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

典型例题精讲
例1．如图，折叠正方形纸片ABCD，先折出折痕BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，使2
AD ，求AG．
【解析】：作GM⊥BD，垂足为M．
由题意可知∠ADG=GDM ， 则△ADG ≌△MDG ． ∴DM=DA=2． AC=GM 又易知：GM=BM ．
而BM=BD-DM=22-2=2（2-1）， ∴AG=BM=2（2-1）．
例 2 ．如图，P 为正方形ABCD 内一点，10PA PB ==，并且P 点到CD 边的距离也等于10，求正方形ABCD 的面积
【解析】：过P 作EF AB ⊥于F 交DC 于E ． 设PF x =，则10EF x =+，1(10)2
BF x =+． 由222PB PF BF =+． 可得：2221
10(10)4
x x =++． 故6x =．
216256ABCD S ==．
例 3. 如图，E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的一点，AM EF
⊥，•垂足为M，AM AB
=+，为什么
=，则有EF BE DF
【解析】：要说明EF=BE+DF，只需说明BE=EM，DF=FM即可，而连结AE、AF．只要能说明△ABE≌△AME，△ADF≌△AMF即可．
理由：连结AE、AF．
由AB=AM，AB⊥BC，AM⊥EF，AE公用，
∴△ABE≌△AME．
∴BE=ME．
同理可得，△ADF≌△AMF．
∴DF=MF．
∴EF=ME+MF=BE+DF．
例4．如下图E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且45
∠=，试说
EAF︒
明EF BE DF
=+。

【解析】：将△ADF旋转到△ABC，则△ADF≌△ABG ∴AF=AG，∠ADF=∠BAG，DF=BG
∵∠EAF=45°且四边形是正方形，
∴∠ADF﹢∠BAE=45°
∴∠GAB﹢∠BAE=45°
即∠GAE=45°
∴△AEF≌△AEG（SAS）
∴EF=EG=EB﹢BG=EB﹢DF
例5. 如图，在正方形ABCD的BC、CD边上取E、F两点，使45
∠=，AG EF
EAF
=
⊥于G. 求证：AG AB
【解析】：欲证 AG=AB，就图形直观来看，
应证Rt△ABE与Rt△AGE全等，但条件不够.
∠EAF=45°怎么用呢
显然∠1＋∠2=45°，若把它们拼在一起，问题就解
决了.
【证明】：把 △AFD 绕A 点旋转90°至△AHB.
∵∠EAF=45°，∴∠1＋∠2=45°. ∵∠2=∠3，∴∠1＋∠3=45°. 又由旋转所得 AH=AF ，AE=AE. ∴ △AEF ≌△AEH.
例6.(1) 如图1,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边BC ,
CD 上,AE ,BF 交于点O ,90AOF ︒∠=.
求证：BE CF =.
(2) 如图2,在正方形ABCD 中,点E ,H ,F ,G 分别在边AB ,
BC ,CD ,DA 上,EF ,GH 交于点O ,90FOH ︒∠=,4EF =.
求GH 的长.
1.已知点E ,H ,F ,G 分别在矩形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 上，
EF ,GH 交于点O ,90FOH ︒∠=,4EF =. 直接写出下列两题的答案：
①如图3,矩形ABCD 由2个全等的正方形组成,求GH 的长；
②如图4,矩形ABCD 由n 个全等的正方形组成,求GH 的长(用n 的代数
式表示).
【解析】
(1) 证明：如图1，∵ 四边形ABCD 为正方形，
∴ AB =BC ,∠ABC =∠BCD =90°， ∴ ∠EAB +∠AEB =90°. ∵ ∠EOB =∠AOF ＝90°,
∴ ∠FBC +∠AEB =90°，∴ ∠EAB =∠FBC ， ∴ △ABE ≌△BCF ， ∴ BE =CF ．
(2) 解：如图2,过点A作AM如图6，点A在线段BG上，四边形ABCD与DEFG 都是正方形，•其边长分别为3cm和5cm，则CDE
cm．
∆的面积为________2
(6) (7)
2．你可以依次剪6张正方形纸片，拼成如图7所示图形．•如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③的面积相等，•那么正方形⑤的面积为________．
3.如图9，已知正方形ABCD的面积为35平方厘米，E、F分别为边AB、BC 上的点．AF、CE相交于G，并且ABF
∆的面积
∆的面积为14平方厘米，BCE
为5平方厘米，•那么四边形BEGF的面积是________．
4.如图，A、B、C三点在同一条直线上，2
=。

分别以
AB BC
AB、BC为边作正方形ABEF和正方形BCMN，连接FN，
EC。

（3）主要识别方法：
1：对角线相等的菱形是正方形
2：对角线互相垂直的矩形是正方形
3：四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形
4：一组邻边相等的平行四边形是正方形
5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。

不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。

正方形的中点四边形是正方形。

典例精讲
例1. 已知：如图，P是正方形ABCD内点，15
∠=∠=．
PAD PDA︒求证：PBC
∆是正三角形．
【证明】：如下图做△DGC使与△ADP全等，
可得△PDG为等边△，从而可得
△DGC≌△APD≌△CGP,
得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150
所以∠DCP=300 ，从而得出△PBC 是正三角形
例2. 如图，分别以ABC ∆的AC 和BC 为一边，在ABC ∆的外侧作正方形ACDE 和正方形
CBFG ，点P 是EF 的中点．
求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．
【证明】：过E,C,F 点分别作AB 所在直线的高EG ，CI ，FH 。

可得PQ=
2EG
FH。

由△EGA ≌△AIC ，可得EG=AI ，
由△BFH ≌△CBI ，可得FH=BI 。

从而可得PQ=
2
AI BI
=
2
AB
， 从而得证。

例4. 如图，四边形ABCD 为正方形，DE AC ∥，AE AC =，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE CF =．
【证明】：顺时针旋转△ADE，到△ABG，连接CG.
由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350
从而可得B，G，D在一条直线上，可得△AGB ≌△CGB。

推出AE=AG=AC=GC，可得△AGC为等边三角形。

∠AGB=300，既得∠EAC=300，从而可得∠A
EC=750。

又∠EFC=∠DFA=450+300=750.
可证：CE=CF。

例6. 设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF AP
∠．
⊥，CF平分DCE 求证：PA PF
=．
【证明】：作FG⊥CD，FE⊥BE，可以得出GFEC为正方形。

，可得Y X Z
X=Z ，得出△
既得AF=
213(
1)4
2
= 23=
4
23
2
= 2(31)2 = 2
(31)2
=
62
2。

例8. P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA a =，2PB a =，3PC a =，求正方形的边长．
【证明】顺时针旋转△ABP 900 ，可得如下图：
既得正方形边长L = 2
2
22(2)(
)2
2
a = 5
22a 。

A
C
B
P
D
【双基训练】
1.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O，
四边形BEFD是菱形，若正方形的边长为6，则菱形的面积为
________．
2.如图，ABCD是正方形，E为BF上一点，四边形AFEC•恰是一个菱形，•则EAB
=________．
【纵向应用】
3.如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，90
∠=，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
AEF︒
（1）证明：BAE FEC
∠=∠；
（2）证明：AGE ECF
∆≅∆；
（3）求AEF
∆的面积．
【横向拓展】
4.如图，四边形ABCD是正方形，ABE
∆是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60︒得到BN，连接EN、AM、CM.
⑴求证：AMB ENB
∆≅∆；
⑵①当M点在何处时，AM CM
+的值最小；。