半角模型例题已知，正方形ABCD 中，∠EAF 两边分别交线段 BC 、DC 于点 E 、F ，且∠EAF﹦45 结论 1：BE ﹢DF ﹦EF结论 2：S △ABE ﹢S △ADF ﹦ S △AEF结论 3：AH ﹦AD结论4：△CEF 的周长﹦2倍的正方形边长﹦2AB结论5：当 BE ﹦DF 时，△CEF 的面积最小结论 6：BM 2﹢DN 2﹦MN 2结论 7：三角形相似，可由三角形相似的传递性得到 结论8：EA 、FA 是△CEF 的外角平分线结论 9：四点共圆 结论10：△ANE 和△AMF 是等腰直角三角形（可通过共圆得到） 结论 11：MN ﹦√2EF （可由相似得到）结论 12：S△AEF﹦2S△AMN（可由相似的性质得到） 结论5 的证明：设正方形 ABCD 的边长为 1则 S △ AEF ﹦ 1 ﹣ S 1 ﹣ S 2 ﹣ S 3﹦ 1 ﹣ x ﹣ y ﹣ (1 ﹣ x)(1 ﹣ y)11结论6 的证明：将△ADN 顺时针旋转 90°使 AD 与 AB 重合∴DN﹦BN ′易证△AMN≌△AMN ′ ∴MN﹦MN ′ 在 Rt △ BMN ′中，由勾股定理可得： BM 2﹢BN ′2﹦MN ′2 即 BM 2﹢ DN 2 ﹦ MN 2所以当 x ﹦y 时，△AEF 的面积最小结论7 的所有相似三角形：△AMN∽△DFN △AMN∽△BME △AMN∽△BAN △AMN∽△DMA △AMN∽△AFE结论8 的证明：因为△AMN∽△AFE∴∠3＝∠2因为△AMN∽△BAN∴∠3＝∠4∴∠2＝∠4因为AB∥CD∴∠1＝∠4∴∠1＝∠2结论9 的证明：因为∠EAN﹦∠EBN＝45° ∴A、B、E、N 四点共圆（辅圆定理：共边同侧等顶角）同理可证 C、E、N、F 四点共圆 A、M、F、D 四点共圆 C、E、M、F 四点共圆**必会结论 ---- 图形研究正方形半角模型已知：正方形ABCD，E、F分别在边BC、CD上，且EAF = 45，AE、AF分别交BD于H、G，连EF.一、全等关系（1）求证：① DF + BE = EF；②DG2﹢BH2﹦HG2；③ AE平分BEF，AF平分DFE .二、相似关系（2）求证：①CE = 2DG；②CF = 2BH；③ EF = 2HG.（3）求证：④ AB2=BG DH；⑤AG2= BG HG；⑥ BE DF =1. CECF 2三、垂直关系（4）求证：① AG⊥EG；② AH⊥FH；③ tan HCF = AB.BE （5）、和差关系求证：① BG - DG = 2BE；② AD + DF = 2DH；③|BE-DF|= 2|BH-DG|.例 1 、在正方形 ABCD 中，已知∠ MAN ﹦ 45 °，若 M 、 N 分别在边 CB、DC 的延长线上移动，① . 试探究线段 MN 、 BM 、 DN 之间的数量关系 .② . 求证： AB=AH.例 2 、在四边形 ABCD 中，∠ B+ ∠ D ﹦180 °，AB=AD ，若E 、F 分别在边 BC、CD 上，且满足 EF=BE +DF.求证：∠EAF＝1∠BAD例 3 、在△ ABC 中， AB=AC ，∠ BAC=2 ∠ DAE=120 °，若 BD=5 ，CE=8，求 DE 的长。

例 4 、请阅读下列材料：已知：如图 1 在Rt ABC中，BAC = 90，AB = AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若DAE = 45．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把AEC绕点A顺时针旋转90，得到ABE，连结E D，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图 2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．例 5 、探究：（1）如图1，在正方形 ABCD中，E、F 分别是 BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，试判断 BE、DF 与EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；（2）如图 2，若把（1）问中的条件变为“在四边形 ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E、F 分别是边BC、CD上的点，且∠EAF= 1∠BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证2明，若不成立，请说明理由；（3）在（2）问中，若将△AEF绕点 A逆时针旋转，当点分别 E、F运动到 BC、CD延长线上时，如图3 所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明..练习巩固 1：如图，在四边形 ABCD 中，∠B﹦∠D﹦90°，AB﹦AD，若E、在边 BC、CD 上的点，且∠EAF＝1∠BAD .求证：EF=BE +DF.练习巩固 2：如图，在五边形 ABCDE 中，AB﹦BC﹦CD﹦DE﹦EA，∠CAD＝1∠BAE，求∠BAE 的度数练习巩固 3：已知：正方形ABCD中，MAN = 45o，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线)于点 M、N．(1)如图1，当MAN绕点A旋转到BM = DN时，有BM + DN = MN ．当MAN绕点A旋转到BM DN时，如图 2，请问图 1 中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；(2)当MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．练习巩固4(1)如图，在四边形ABCD 中，AB﹦AD，∠B﹦∠D﹦90°，E、F分别是边 BC 、 CD 上的点，且∠ EAF ＝1∠ BAD ．求证：EF =BE +FD ;(2)如图在四边形ABCD 中，AB﹦AD，∠B﹢∠D﹦180°，E、F分别是边 BC 、CD 上的点，且∠ EAF ＝1∠ BAD ，(1) 中的结论是否仍然成立？不用证明．C(3)如图，在四边形 ABCD 中，AB﹦AD，∠B﹢∠ADC﹦180°，E、F 分别是边 BC、CD 延长线上的点，且∠EAF＝1∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．9）（4）如图①，将边长为4cm 的正方形纸片ABCD 沿EF 折叠（点E 、F 分别在边AB 、CD 上），使点 B 落在 AD 边上的点 M 处，点C 落在点N 处， MN 与 CD 交于点 P ，连接EP ．（1）如图②，若M 为AD 边的中点，①△AEM 的周长﹦ cm ；②求证：EP ﹦AE ﹢DP ； （2）随着落点M 在AD 边上取遍所有的位置（点M 不与A 、D 重合），△PDM 的周长是否发生变化？请说明理由．（5）.如图17，正方形 ABCD ，E 、F 分别为 BC 、CD 边上一点． （1）若∠EAF﹦45º．求证：EF ﹦BE ﹢DF ．（2）若△AEF 绕 A 点旋转，保持∠EAF﹦45º，问⊿CEF 的周长是否随 △AEF 位置的变化而变化？（3）已知正方形 ABCD 的边长为 1，如果⊿CEF 的周长为 2．求∠EAF 的度数．练习巩固 5、如图，已知在正方形ABCD 中，MAN ﹦45°，连接BD 与AM ，AN 分别交于E 、F 两点。

求证：（1）MN ﹦MB ﹢DN ；（ 2 ）点 A 到 MN 的距离等于正方形的边长；（3） V CMN 的周长等于正方形 ABCD 边长的 2倍；（ 4 ） 5W ABCD = 2AB； S V CMN = MN（5）若MAB ﹦20°，求AMN ；（6）若MAB = （0 p p 45o） ，求AMN ； （7）EF 2 =EB 2 +DF 2 ；（8）V AEN 与V AFM 是等腰三角形；5V AMNSV AEF练习巩固 6、在等边ABC 的两边AB ， AC 所在直线上分别有两点M ，N ，D 为ABC 外一点，且MDN =60，BDC =120，BD =CD ，探究：当点M ，N 分别爱直线AB ，AC 上移动时，BM ，BN ，MN 之间的数量 关系及AMN 的周长Q 与等边ABC 的周长L 的关系．1）如图①，当点M ，N 在边AB ，AC 上，且DM = DN 时，BM ，NC ，MN 之间的数量关系式 __ 此时Q = _________L（2）如图②，当点M ，N 在边AB ，AC 上，且DMDN 时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你 的猜想并加以证明； （3）如图③，当点M ，N 分别在边AB ，CA 的延长线上时，若AN = x ，则Q = ___ （用x ，L 表示）练习巩固 7、如图所示，△ABC 是边长为 1 的等边三角形，△BDC 是顶角为 120°的等腰三角形，以 D 为顶 点作一个60°的∠MDN，点 M ，N 分别在 AB ，AC 上，求△AMN 的周长练习巩固 8、如图，在正方形 ABCD 中，BE=3，EF ﹦5，DF ﹦4，求∠BAE﹢∠DCF 为多少度。

C C巩固练习9、如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB﹦∠F﹦90°，∠A﹦∠E﹦30°。

△EDF绕着边AB的中点D 旋转，DE，DF分别交线．段．AC于点M，K．(1)①如图2、图3，当∠CDF﹦0° 或60°时，AM﹢CK ______ MK(填“>”，“<”或“=”)．②如图4，当∠CDF﹦30° 时，AM﹢CK___MK(只填“>”或“<”)．(2)猜想：如图1，当0°<∠CDF<60°时，AM﹢CK _______ MK，证明你所得到的结论．(3)如果MK2+CK2= AM2，请直接写出∠CDF的度数和MK的值．AM。