半角模型例题已知，正方形ABCD 中，∠EAF 两边分别交线段BC 、DC 于点E 、F ，且∠EAF ﹦45° 结论1：BE ﹢DF ﹦EF结论2：S △ABE ﹢S △ADF ﹦S △AEF 结论3：AH ﹦AD结论4：△CEF 的周长﹦2倍的正方形边长﹦2AB 结论5：当BE ﹦DF 时，△CEF 的面积最小 结论6：BM 2﹢DN 2﹦MN 2结论7：三角形相似，可由三角形相似的传递性得到 结论8：EA 、FA 是△CEF 的外角平分线 结论9：四点共圆 结论10：△ANE 和△AMF 是等腰直角三角形（可通过共圆得到） 结论11：MN ﹦√22EF （可由相似得到）结论12：S △AEF ﹦2S △AMN （可由相似的性质得到） 结论5的证明：设正方形ABCD 的边长为1 则S △AEF ﹦1﹣S 1﹣S 2﹣S 3﹦1﹣12x ﹣12y ﹣12(1﹣x)(1﹣y) ﹦12﹣12xy所以当x ﹦y 时，△AEF 的面积最小结论6的证明：将△ADN 顺时针旋转90°使AD 与AB 重合 ∴DN ﹦BN ′易证△AMN ≌△AMN ′ ∴MN ﹦MN ′在Rt △BMN ′中，由勾股定理可得： BM 2﹢BN ′2﹦MN ′2 即BM 2﹢DN 2﹦MN 2结论7的所有相似三角形：△AMN ∽△DFN△AMN ∽△BME△AMN ∽△BAN△AMN ∽△DMA△AMN ∽△AFE结论8的证明：因为△AMN ∽△AFE ∴∠3＝∠2因为△AMN ∽△BAN ∴∠3＝∠4 ∴∠2＝∠4 因为AB ∥CD ∴∠1＝∠4 ∴∠1＝∠2结论9的证明：因为∠EAN ﹦∠EBN ＝45°∴A 、B 、E 、N 四点共圆（辅圆定理：共边同侧等顶角）同理可证C 、E 、N 、F 四点共圆 A 、M 、F 、D 四点共圆 C 、E 、M 、F 四点共圆**必会结论-------- 图形研究正方形半角模型已知：正方形ABCD ，E 、F 分别在边BC 、CD 上，且︒=∠45EAF ，AE 、AF 分别交BD 于H 、G ，连EF .一、全等关系（1）求证：①EF BE DF =+；②DG 2﹢BH 2﹦HG 2；③AE 平分BEF ∠，AF 平分DFE ∠. 二、相似关系（2）求证：①DG CE 2=；②BH CF 2=；③HG EF 2=. （3）求证：④DH BG AB ⋅=2；⑤HG BG AG ⋅=2；⑥21=⋅CF DF CE BE . 三、垂直关系（4）求证：①EG AG ⊥；②FH AH ⊥；③BEAB HCF =∠tan . （5)、和差关系求证：①BE DG BG 2=-；②DH DF AD 2=+； ③||2||DG BH DF BE -=-.例1、在正方形ABCD 中，已知∠MAN ﹦45°，若M 、N 分别在边CB 、DC 的延长线上移动，①.试探究线段MN 、BM 、DN 之间的数量关系. ②.求证：AB=AH.例2、在四边形ABCD 中，∠B+∠D ﹦180°，AB=AD ，若E 、F 分别在边BC 、CD 上，且满足EF=BE +DF. 求证：∠EAF ＝12∠BAD例3、在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=2∠DAE=120°，若BD=5，CE=8，求DE 的长。
例4、请阅读下列材料：已知：如图1在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 分别为线段BC 上两动点，若45DAE ∠=︒．探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把AEC ∆绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABE '∆，连结E D '， 使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；（2）当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．图1ABCDE图2AB CDE例5、探究：（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45°，试判断BE 、DF 与EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果： ；（2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=21∠BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（3）在（2）问中，若将△AE F 绕点A 逆时针旋转，当点分别E 、F 运动到BC 、CD 延长线上时， 如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明..练习巩固1：如图，在四边形ABCD 中，∠B ﹦∠D ﹦90°，AB ﹦AD ，若E 、F 分别在边BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝12∠BAD . 求证：EF=BE +DF.练习巩固2：如图，在五边形ABCDE 中，AB ﹦BC ﹦CD ﹦DE ﹦EA ， ∠CAD ＝12∠BAE ，求∠BAE 的度数练习巩固3：已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=，绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．（1）如图1，当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时，有BM DN MN +=．当MAN ∠ 绕点A 旋转到BM DN ≠时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM DN ，和MN 之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．练习巩固4(1)如图，在四边形ABCD 中，AB ﹦AD ，∠B ﹦∠D ﹦90°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝12∠BAD ． 求证：EF BE FD =+;(2) 如图在四边形ABCD 中，AB ﹦AD ，∠B ﹢∠D ﹦180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝12∠BAD ，(1)中的结论是否仍然成立？不用证明．(3) 如图，在四边形ABCD 中，AB ﹦AD ，∠B ﹢∠ADC ﹦180°，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且∠EAF ＝12∠BAD ，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．NMDCBANMCDBANM D CBAEFDCBAEFD CBAEFDCBA（4）如图①，将边长为4cm 的正方形纸片ABCD 沿EF 折叠（点E 、F 分别在边AB 、CD 上），使点B 落在AD 边上的点M 处，点C 落在点N 处，MN 与CD 交于点P ，连接EP ． （1）如图②，若M 为AD 边的中点，①△AEM 的周长﹦ cm ； ②求证：EP ﹦AE ﹢DP ；（2）随着落点M 在AD 边上取遍所有的位置（点M 不与A 、D 重合），△PDM 的周长是否发生变化？请说明理由．（5）.如图17，正方形ABCD ，E 、F 分别为BC 、CD 边上一点． （1）若∠EAF ﹦45º．求证：EF ﹦BE ﹢DF ．（2）若△AEF 绕A 点旋转，保持∠EAF ﹦45º，问⊿CEF 的周长是否随△AEF 位置的变化而变化？（3）已知正方形ABCD 的边长为1，如果⊿CEF 的周长为2．求∠EAF 的度数．练习巩固5、如图，已知在正方形ABCD 中，∠MAN ﹦45°，连接BD 与AM ，AN 分别交于E 、F 两点。
求证：（1）MN ﹦MB ﹢DN ；（2）点A 到MN 的距离等于正方形的边长； （3）CMN 的周长等于正方形ABCD 边长的2倍； （4）=ABCD CMN S 2ABS MN； （5）若∠MAB ﹦20°，求∠AMN ； （6）若()∠=ααMAB 045，求∠AMN ；（7）=+222EF EB DF ；（8）AEN 与AFM 是等腰三角形； （9）=AEF AMNS 1S2。
FE DCBA图17练习巩固6、在等边ABC ∆的两边AB ，AC 所在直线上分别有两点M N D ，，为ABC ∆外一点，且60MDN ∠=︒，120BDC ∠=︒，BD CD =，探究：当点M N ，分别爱直线AB AC ，上移动时，BM BN MN ，，之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．（1）如图①，当点M N ，在边AB AC ，上，且DM DN =时，BM NC MN ，，之间的数量关系式_________；此时QL=__________ （2）如图②，当点M N ，在边AB AC ，上，且DM DN ≠时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（3）如图③，当点M N ，分别在边AB CA ，的延长线上时，若AN x =，则Q =_________(用x L ，表示) 练习巩固7、如图所示，△ABC 是边长为1的等边三角形，△BDC 是顶角为120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°的∠MDN ，点M ，N 分别在AB ，AC 上，求△AMN 的周长练习巩固8、如图，在正方形ABCD 中，BE=3，EF ﹦5，DF ﹦4，求∠BAE ﹢∠DCF 为多少度。
图①M NDCBA 图②MND CBAN图③MD CBA巩固练习9、如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB﹦∠F﹦90°，∠A﹦∠E﹦30°。
△EDF 绕着边AB 的中点D 旋转，DE ，DF 分别交线段．．AC 于点M ，K ．(1)①如图2、图3，当∠CDF ﹦0° 或60°时，AM ﹢CK_______MK(填“>”，“<”或“=”)． ②如图4，当∠CDF ﹦30° 时，AM ﹢CK___MK(只填“>”或“<”)．(2)猜想：如图1，当0°＜∠CDF ＜60°时，AM ﹢CK_______MK ，证明你所得到的结论． (3)如果222AM CK MK =+，请直接写出∠CDF 的度数和AMMK 的值．。