初中数学备课组 教师 班级初三 学生日期月 日 上课时间 教学内容：二次函数的解析式二次函数内涵丰富，变化多端，它有三种形式的解析式：一般式，配方式和分解式•本节要讨论的是：怎样根据 不同的已知条件解析式的选取 ；在不同的几何背景下怎样寻找确定解析式的条件 ；怎样根据二次函数的图像特征确定解析式的系数特征二次函数解析式的三种形式1. 一般式： 2y -ax 2 bx • c(a = 0),图像顶点坐标为(一卫，里兰 —),对称轴是直线x —2a 4a 2a 2.配方式： 2y 二a(x - m) - k(a = 0),图像顶点坐标为(-m, k),对称轴是直线x 二-m3.分解式：y =a(x-X i )(x-X 2),图像与x 轴的交点坐标是 A(X i ,0), B(X 2,0),对称轴是直线x=? 例1如图3-2-1,已知二次函数的图像与工轴两交点之间的距海是4个单位，且顶点sy q,求此二欢函数的解析式.M 方迭T 一般式)：V •二次函数的图像顶点M 为〔一1,4)t A 对称釉是貢线工=一｝・设宜线x —— 1与工轴交点为N *则N<—0).又设二次函数图像与皇轴交点的塑拯是4(^, 0)、Eg 0)’由丨A& | ~ 4« *'» A/V = NE = 2山1 h —1 — 2 —— 3*Xj = -1+2 =h 点仏H 的坐标分别是A(-a. 0). B<1, 0).设二次歯数的解析式为y =尬十+屁+“将久 & M 的坐 扳优人，得I 所我解析式为y = — — 2疋+ &ffi J - i -10,方法二£配方式h先求点A或点B的坐标，同方法一・V二次函数图像的顶点坐标为(」1‘ 4), A设解析式为y = a(x+W+^将B仃,0)坐标代入得3 + 4二0,解得a =亠L/•所求解析式为$ - - Q + lf +4*方法三(分解式)：先求点A或点B的坐标，同方法一*•:二次憾数图像与丁轴交点的坐标是A(-3,0)、B(b 0),A设解析式为y = aCr + 3)(工一1几将顶点坐标(一1.4)代入，得一4a = 4r =-L:.所求解析式为y =—Q + —1).化为一般式，得y=-^十2工+ 3.点评选择何种形式的解析式吳根攥题目的条件而定•①巳知田像所经过的三点坐标丫用一般，丸y = at' +屁+百(a 0) ♦建立关于a、b、c的三元一次方稅组求解j②已知图像顶点坐标或对称轴*用配方式y^a(r + m)l+k (a#0>*③已知图像与工轴的两金交点坐标是A<Z| * 0》、B(T2丫0) *用分解戎y = a(z —Jr】)(鼻一％》•对于本题来说、用配方式或分解式校为简捷.◎举-反三i根据已知条件，选择适当形式的解析式是求解二次函数解析式的关键.1 -1根据下列条件，分别求出函数的解析式.(D已知二次函数的图像经过点AW, -D> B(I, 0). C(-h 2)t(2)已知抛物线的顶点为(1, -3人且与，轴交于点(0, l)i⑶ 已知抛物线经过A(—3* 0). B(5, 0人C(0.^3)三点.解(1)设二次菌数解析式为y = ai2 +bx + “由图像过点A(0・—1)*得疋=…1»又由于其图橡过点(1, 0). (一1, 2片可得a + A = 114 I冶…A = 3 r因此，所求二次函数的解析式是y K 2#-工一1.(2)因为拋物线的顶点为(1，一3),所以可设函数的解析式为> -a (z - 1)?- 3. 又由于抛物线与，轴交于点(0, 可以得到1’(0-厅-3,得口-饥因此，所求二次雷数的解析式是y = 4 Q - l)z十3,即y j 4^-8x + L(3)圉为抛物线与工轴交于点A(-3, 0). B($»0),所以设二次歯数的解析式为y = a(x 4-3) <JC—5)*又由于抛物线与y轴交于点(0* —3),町以得到一3 = a(C + 3)(0 —5),解得皿=]・o[ 1 7因此，所求二次函数的解析式捷y = —(jr + 3)(x —5),即y =三* —-'X — 3・5 b □1 -2求分别满足以下条件的二次歯数的解析式・(1) 苗数图像的对称轴是直线x = 一 2,与/轴的一个交点坐标是(一5, °),与y 轴的交 点坐标是(山|)；(2) 函数图像经过(一 1」)、＜0, I)两点，且歯数图像最高点的纵坐标为扌・解(1) V (-5, 0＞关于对称轴乂=7 的对称点是(h 0), .r.设解折式为 y = a(jr + s )(x —1)*将(0,寺)代人•得一5。
=*舟■，解得a ■— *・因此、所求二次隔数的解析式是$ = — 丁“ 45) (=~ 1),即* 5=—丄— -—x 十3 3 3 3 (2)如图3-2-2.根据观1)与(0, 1)两点关于直 线龙=一裆对紹又图像垠高点的函数值为召所以価数圏像& 4的顶点为何■设画数的解析式是$ = 4(工+ *)「+斗，将(0,"代入，得I §+ 丁 = 1 ■解得 a =— L J* Z-24 4 ＜ 2 -同此▼所求二次陋数曲解析式是y =—(工 + g) +〒，即眾=*— x 3 —工4 1.、 J f 4点评本题的解题羌键是充分利用二次晶数图像的轴对称性*由对称点确定对称轴方 程，或由对称轴确定对称点坐标，从而挖械出新的条件.顶点是抛物线中的特殊点，起到^一个顶俩無的作用•住下面的题目中，是否隐1 -3巳知抛物线$ =卅+此十贮与工轴只有~个公共点A<2» Q■它与y 轴的交点 为及(1) 求叽r 的值#(2) 如图3-2-3,点M 为线段AE 的中点，求图像经过(X Al.A 三点曲二次函数的解析式.解⑴Y 拋物线匀工轴只有〜个公共点(纭0),即为頂点, & =1…；抛物线的表达式是y = Q — 2>2,W y =护一4直十仁 得血=—4 * £ n 4*<2〉将x = 0代人y = # — 4工十4,得y = 4，二抛物线与y 仙的交点E 的坐麻为(5 4人又匚点A 的坐擁为(氛0几•： AB 中点M 的坐标为<1*2).'：。
、A 关于直线工=】对弥，点M 在直线工=1上，化M 是所求抛物线的顶点. 设函数的解析式是yz 5-【尸+氛将W, 0)代人，得a + 2 = 0,解得凸=一玄 丙此'二次甬数的解析式Jft y g —2 <x — 1 )2 +氛即y R —滋‘ + 4工点评樓携團像的赫從，介析条件的柞用，見濡捕定解析式形式的逸魏，世能事芈功馆. 直取轉&(1)几何背景下的二次函数解析式二次函数与直线经常出现在同一个坐标平面上□例环解例2在坐标平闻上，0为原点，已知点A(2, 2)，点伏C在 丁轴上,EC N 趴AB = AC,直线AE 交工軸于点D仃》求点G D 的墮标『(2)求图像经过A 、C\ D 三点的二次亟数的解析式. 解(1〕如图37-4,作AE 丄y 轴于E,得AE = OE^2. EB wEC =丄/3C 齐 4’0C = EC -0E =2,齐 C©-2).08 = 2 OE 4- EC =5 6 , :* D(3f 0).⑵设二次函数的解析式为 汁占+虹+“将A (签— 0)三点塑标代人，得(4 + %+亡严 2»■ * c =—2» 解得 a ==—■盒L9a +3 占+『=0*4 * 14因此，所求二次函数的解析式为/ ― 护 +亍花一 2-V AE // x 轴" t OD I t = AE BO B£ 即空=2,得OD = 3T 2 4点评在坐标平面上含有几何5?景的条件下Y要求析戎，一離是先根据几何图序的条件求由相关点的豎标，再用待定系般法求圉数解析式，这是一类典型的数形结會问题, 对知识的蛭合能力有一定的妥求.£3举一反三“三点确定一个二次曲数的解析式”这句话对不对？请看下面的问题・2-1巳知乎面直角坐标系中两点A(l, 2〉和B(0, 3),点C在d轴上，线段AC的长是2施⑴求点C的坐标；(2>如果一个二次函数的图像经过A、B、C三点*求这个二次函数杓解析式・解(1)没CS* 0)・»I •Z ACl f 2)t AC = 2^2, A (工一1卩 +公=<2V2)\解得百=3严=一1・A点C的坐标为(3, 0)或(一几0).(2)当点C的坐标为(3, 0)时•设图像过A、E* C三点的二次函数的第析式为y = fa + fr + r =2 T“d +处+c a工0),将A.枳C三点坐标代人，得* = 3*〔9直 + 36 + c = 0.. ・八■解得氐=0,方=—1* c =3,这与a 0 T盾、舍去.当点C的坐标为(一1, 0)时■设图像过A、B、C三点的二次西数的解析式为y^ax2+2-2已知抛物线y=皿‘ +4" +占(a H 0)与工轴的一个交点为缸一1* 0人(D求抛物线与尤轴的另一个交点E的坐标扌(2)设°是抛物线与y轴的交点*C是抛物线上的~点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9,求此拋物线的表达式.M (1)'•*对称轴为•上=—訂*即工=—2,A(—1* 0)关2a于x=-2对称点的坐标是(一3復0), A B的坐标为(一3’ 0). ⑵*•*拋物线与工轴的交点为(一1, 0)、(—3. 0)»•:设拋物线的表达式为y = a(x + l)(x + 3).:*当上=0时Q =3鮎D(0t 3a) t D关于龙=-2的对称点是C(-4, 3a), A CD= 4・:、~ 石AE * OD = y (4 + 2) I 3a I = 9*解得0 =±= 1 时如图3-2-6)因此.所求抛物线的衷达式是j —x! +4r + 3或y =—x z—4x —3,点评解题it程中民复利用二次函牧田像的对称性•一般地，如果横坐樁分別为心和工2的两点A、B关，再缆工=Hi灯棘，那么一一-=m.又已知百*则龙工=2撷一工|, 81此在A* 23两点中，可以从其中一点的坐标求出它的对称点的坐标（纵坐标不变）* 在二次函数的图像中渗透三角比运算，是常见的代数与三角的综合问题.—3如图3-2-7>在道角坐标系xOy中"拋物线『= 加云一6a込+ 6与y轴的公共点为A,第一象限点B、C在此抛物线Jt,AB 〃上轴，ZAOB = ZCO J»0C工2尽<1）求点C的坐标$（2）求抛物线的顶点坐标.解（1）当兀=0时小◎ 6* ：・A（0»6）.* AiS 〃龙轴，二点£的纵坐标为6. 6 =：2a X2—6az + 6. 丫盘H 0, •；刊=0,匕二3.代点B的坐标为（3,6）. 图3-2-7 化OB = J衣鼻6更=3岳，sinZAOB工磐="V5如图3-2-8,ii点C作CD丄£轴，垂足为DV ZAOB = ZCOD. CD = OC • sinZCOD = OC • sin ZAO B=2A/5•=2TVs:.OD = 二CD© = J20 - 4 = 4. A C(4, 2)-(2) •:点C在此抛物线上，将(4,刀代入y = 2应<一弘戈+图3-2-86、得a = *, / 3 < 33矗抛物线为y=—卫十3^ + 6,即)=一(工〜牙)+了・A抛物线的顶点坐标为& y）.ij—< 6a 3 点评也可以利用公丸工=-議束出枫物践的对艦袖，冲直—厂无，即工=空，得点A（0. 6》关于直錢工=¥的对■称恵为（3, 6）・£三.解析式系数特征的确定根据两散图像的特征来确定系数S筑S以及由g右、亡组成的代数式的符号*魁对二次函数解析式的进一步解读.例例3已知二次函数y^az2+br^c (a 0)的图像如图3 7-9所示点确定以下各誥的符号’S 扒c,於一4w、a + b + c-r a —b + c + 一乩ff T函数图像开口向上d>0.丫肘称轴在丫緬右侧…；一?>久色<山臨b<0・ 2a aT函数图像与y轴的交点左原点下方*二c<0.V函数图像与玄轴有两个交点,b3- 4ac > 0.V Sx- 1时函数值为负，-戊+占+芒<0・V当工=一1时函数值为正*几厲一力+匸：>6•:对隸轴左直线工=1的左侧二一刍VI.Ju又V a > 0, A -b<2a.即滋 + b > 0.V ^ > 0,J < Or ；* 2a-A> 0,点评粮提二次團敎圍像的大敷荫呪可祸判斷系张5 X占及其右关的一些代歎式的苻号，其中尤其是利别式沪一4“的41号：举一反三二次函数系数特征的题目常以选择题的形式出现，在一道题目中，要判断几个系数及其代数式的符号情况，要综合考虑，有时还要分类讨论。