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九年级数学上册期末试卷培优测试卷

九年级数学上册期末试卷培优测试卷一、选择题1.如图,矩形ABCD 的对角线交于点O ,已知CD a =,DCA β∠=∠,下列结论错误的是( )A .BDC β∠=∠B .2sin aAO β=C .tan BC a β=D .cos aBD β=2.已知34a b=(0a ≠,0b ≠),下列变形错误的是( ) A .34a b = B .34a b =C .43b a = D .43a b =3.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图像如图所示,则下列结论正确的个数有( ) ①c >0;②b 2-4ac <0;③ a -b +c >0;④当x >-1时,y 随x 的增大而减小.A .4个B .3个C .2个D .1个 4.若关于x 的一元二次方程x 2-2x -k =0没有实数根,则k 的取值范围是( ) A .k >-1 B .k≥-1C .k <-1D .k≤-15.在Rt △ABC 中,∠C=90°,BC=4,AC=3,CD ⊥AB 于D ,设∠ACD=α,则cosα的值为( ) A .45B .34C .43D .356.已知点O 是△ABC 的外心,作正方形OCDE ,下列说法:①点O 是△AEB 的外心;②点O 是△ADC 的外心;③点O 是△BCE 的外心;④点O 是△ADB 的外心.其中一定不成立的说法是( ) A .②④B .①③C .②③④D .①③④7.小广,小娇分别统计了自己近5次数学测试成绩,下列统计量中能用来比较两人成绩稳定性的是( ) A .方差 B .平均数 C .众数 D .中位数 8.方程2x x =的解是( )A .x=0B .x=1C .x=0或x=1D .x=0或x=-1 9.数据3、4、6、7、x 的平均数是5,这组数据的中位数是( )A .4B .4.5C .5D .610.如图,分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心,以边长为半径画弧,得到的封闭图形是莱洛三角形,若AB=2,则莱洛三角形的面积(即阴影部分面积)为( )A .3π+B .3π-C .23π-D .223π-11.在△ABC 中,∠C =90°,tan A =13,那么sin A 的值是( ) A .12B .13C .1010D .31012.如图,点P (x ,y )(x >0)是反比例函数y=kx(k >0)的图象上的一个动点,以点P 为圆心,OP 为半径的圆与x 轴的正半轴交于点A ,若△OPA 的面积为S ,则当x 增大时,S 的变化情况是( )A .S 的值增大B .S 的值减小C .S 的值先增大,后减小D .S 的值不变二、填空题13.如图,在半径为3的⊙O 中,直径AB 与弦CD 相交于点E ,连接AC ,BD .若AC =2,则cosD =________.14.二次函数23(1)2y x =-+图象的顶点坐标为________.15.如图,△ABC 周长为20cm ,BC=6cm,圆O 是△ABC 的内切圆,圆O 的切线MN 与AB 、CA 相交于点M 、N ,则△AMN 的周长为________cm.16.抛物线2(-1)3y x =+的顶点坐标是______.17.某一时刻,一棵树高15m ,影长为18m .此时,高为50m 的旗杆的影长为_____m . 18.在▱ABCD 中,∠ABC 的平分线BF 交对角线AC 于点E ,交AD 于点F .若AB BC =35,则EFBF的值为_____.19.一天,小青想利用影子测量校园内一根旗杆的高度,在同一时刻内,小青的影长为2米,旗杆的影长为20米,若小青的身高为1.60米,则旗杆的高度为__________米.20.如图,O 的直径AB 与弦CD 相交于点53E AB AC ==,,,则tan ADC ∠=______.21.如图,已知△ABC是面积为3的等边三角形,△ABC∽△ADE,AB=2AD,∠BAD=45°,AC与DE相交于点F,则△AEF的面积等于_____(结果保留根号).22.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,对称轴为直线x=1,则不等式ax2+bx+c>0的解集是_____.23.如图,已知PA,PB是⊙O的两条切线,A,B为切点.C是⊙O上一个动点.且不与A,B重合.若∠PAC=α,∠ABC=β,则α与β的关系是_______.24.若把一根长200cm的铁丝分成两部分,分别围成两个正方形,则这两个正方形的面积的和最小值为_____.三、解答题25.在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,E是射线..DC上的点,连接AE,将△ADE沿直线AE 翻折得△AFE.(1)如图①,点F恰好在BC上,求证:△ABF∽△FCE;(2)如图②,点F在矩形ABCD内,连接CF,若DE=1,求△EFC的面积;(3)若以点E、F、C为顶点的三角形是直角三角形,则DE的长为.26.已知二次函数y=x2-2x+m(m为常数)的图像与x轴相交于A、B两点.(1)求m的取值范围;(2)若点A、B位于原点的两侧,求m的取值范围.27.已知函数y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)的图像经过点A(-1,0)、B(0,2).(1)b=(用含有a的代数式表示),c=;(2)点O是坐标原点,点C是该函数图像的顶点,若△AOC的面积为1,则a=;(3)若x>1时,y<5.结合图像,直接写出a的取值范围.28.如图,已知直线l切⊙O于点A,B为⊙O上一点,过点B作BC⊥l,垂足为点C,连接AB、OB.(1)求证:∠ABC=∠ABO;(2)若AB=10,AC=1,求⊙O的半径.29.九(3)班组织了一次经典朗读比赛,甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表:甲789710109101010乙10879810109109(1)计算乙队的平均成绩和方差;(2)已知甲队成绩的方差是1.4分2,则成绩较为整齐的是哪个队?30.如图,某数学兴趣小组为测量一棵古树BH和教学楼CG的高,先在点A处用高1.5米∠为45︒,此时教学楼顶端点G恰好在视线DH 的测角仪测得古树顶端点H的仰角HDE∠为60︒,点A、上,再向前走7米到达点B处,又测得教学楼顶端点G的仰角GEFB、C点在同一水平线上.(1)计算古树BH的高度;(2)计算教学楼CG 的高度.(结果精确到0.1米,参考数据:2 1.4≈,3 1.7≈). 31.计算: (1)()28233+--(2)()13127+3.14+2π-⎛⎫- ⎪⎝⎭32.如图,AB 是⊙O 的弦,OP OA ⊥交AB 于点P ,过点B 的直线交OP 的延长线于点C ,且BC 是⊙O 的切线.(1)判断CBP ∆的形状,并说明理由; (2)若6,2OA OP ==,求CB 的长;(3)设AOP ∆的面积是1,S BCP ∆的面积是2S ,且1225S S =.若⊙O 的半径为6,45BP =tan APO ∠.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【解析】 【分析】根据矩形的性质得对角线相等且互相平分,再结合三角函数的定义,逐个计算即可判断. 【详解】解:∵四边形ABCD 是矩形,∴AC=BD,AO=CO,BO=DO, ∠ADC=∠BCD=90°∴AO=CO=BO=DO, ∴∠OCD=∠ODC=β,A 、BDC DCA β∠=∠=∠,故A 选项正确;B 、在Rt △ADC 中,cos ∠ACD=DCAC , ∴cos β=2a AO,∴AO=2cos a ,故B 选项错误;C 、在Rt △BCD 中,tan ∠BDC=BC DC , ∴ tan β=BCa∴BC=atan β,故C 选项正确; D 、在Rt △BCD 中,cos ∠BDC=DCDB , ∴ cos β=a BD∴cos a BD β=,故D 选项正确.故选:B. 【点睛】本题考查矩形的性质及三角函数的定义,掌握三角函数的定义是解答此题的关键. 2.B解析:B 【解析】 【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各项分析判断即可得解. 【详解】 解:由34a b=,得出,3b=4a, A.由等式性质可得:3b=4a ,正确; B.由等式性质可得:4a=3b ,错误; C. 由等式性质可得:3b=4a ,正确; D. 由等式性质可得:4a=3b ,正确. 故答案为:B. 【点睛】本题考查的知识点是等式的性质,熟记等式性质两内项之积等于两外项之积是解题的关键.3.C解析:C 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系,由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系,然后根据抛物线与x 轴交点及x=-1时二次函数的值的情况进行推理,进而对所得结论进行判断. 【详解】解:由图象可知,a <0,c >0,故①正确;抛物线与x 轴有两个交点,则b²-4ac>0,故②错误;∵当x=-1时,y>0,即a-b+c>0, 故③正确;由图象可知,图象开口向下,对称轴x >-1,在对称轴右侧, y 随x 的增大而减小,而在对称轴左侧和-1之间,是y 随x 的增大而减小,故④错误.故选:C.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系:二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a 共同决定对称轴的位置:当a与b同号时,对称轴在y轴左;当a与b异号时,对称轴在y轴右.常数项c决定抛物线与y轴交点:抛物线与y轴交于(0,c).抛物线与x轴交点个数由判别式确定:△=b2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.4.C解析:C【解析】试题分析:由题意可得根的判别式,即可得到关于k的不等式,解出即可.由题意得,解得故选C.考点:一元二次方程的根的判别式点评:解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程,当时,方程有两个不相等实数根;当时,方程的两个相等的实数根;当时,方程没有实数根.5.A解析:A【解析】【分析】根据勾股定理求出AB的长,在求出∠ACD的等角∠B,即可得到答案.【详解】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=3,∴2222AB AC BC345=++=,∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠C=90°,∴∠A+∠ACD=∠A+∠B,∴∠B=∠ACD=α,∴4cos5BCcos BABα===.故选:A.【点睛】此题考查解直角三角形,求一个角的三角函数值有时可以求等角的对应函数值.6.A解析:A【解析】【分析】根据三角形的外心得出OA=OC=OB,根据正方形的性质得出OA=OC<OD,求出OA=OB=OC=OE≠OD,再逐个判断即可.【详解】解:如图,连接OB、OD、OA,∵O为锐角三角形ABC的外心,∴OA=OC=OB,∵四边形OCDE为正方形,∴OA=OC<OD,∴OA=OB=OC=OE≠OD,∴OA=OC≠OD,即O不是△ADC的外心,OA=OE=OB,即O是△AEB的外心,OB=OC=OE,即O是△BCE的外心,OB=OA≠OD,即O不是△ABD的外心,故选:A.【点睛】本题考查了正方形的性质和三角形的外心.熟记三角形的外心到三个顶点的距离相等是解决此题的关键.7.A解析:A【解析】【分析】根据方差的意义:体现数据的稳定性,集中程度,波动性大小;方差越小,数据越稳定.要比较两位同学在五次数学测验中谁的成绩比较稳定,应选用的统计量是方差.【详解】平均数,众数,中位数都是反映数字集中趋势的数量,方差是反映数据离散水平的数据,也就会说反映数据稳定程度的数据是方差 故选A 考点:方差8.C解析:C 【解析】 【分析】根据因式分解法,可得答案. 【详解】 解:2x x =, 方程整理,得,x 2-x=0 因式分解得,x (x-1)=0, 于是,得,x=0或x-1=0, 解得x 1=0,x 2=1, 故选:C . 【点睛】本题考查了解一元二次方程,因式分解法是解题关键.9.C解析:C 【解析】 【分析】首先根据3、4、6、7、x 这组数据的平均数求得x 值,再根据中位数的定义找到中位数即可. 【详解】由3、4、6、7、x 的平均数是5, 即(3467)55++++÷=x 得5x =这组数据按照从小到大排列为3、4、5、6、7,则中位数为5. 故选C 【点睛】此题考查了平均数计算及中位数的定义,熟练运算平均数及掌握中位数的定义是解题关键.10.D解析:D 【解析】【分析】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成,其面积=三块扇形的面积相加,再减去两个等边三角形的面积,分别求出即可.【详解】过A作AD⊥BC于D,∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC=BC=2,∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°,∵AD⊥BC,∴BD=CD=1,33∴△ABC的面积为12BC•AD=1232⨯3S扇形BAC=2602360π⨯=23π,∴莱洛三角形的面积S=3×23π﹣3﹣3,故选D.【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算,能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键.11.C解析:C【解析】【分析】根据正切函数的定义,可得BC,AC的关系,根据勾股定理,可得AB的长,根据正弦函数的定义,可得答案.【详解】tan A=BCAC=13,BC=x,AC=3x,由勾股定理,得AB10x,sin A=BCAB=1010,故选:C.【点睛】本题考查了同角三角函数的关系,利用正切函数的定义得出BC=x,AC=3x是解题关键.12.D解析:D【解析】【分析】作PB⊥OA于B,如图,根据垂径定理得到OB=AB,则S△POB=S△PAB,再根据反比例函数k的几何意义得到S△POB=12|k|,所以S=2k,为定值.【详解】作PB⊥OA于B,如图,则OB=AB,∴S△POB=S△PAB.∵S△POB=12|k|,∴S=2k,∴S的值为定值.故选D.【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义:在反比例函数y=kx图象中任取一点,过这一个点向x轴和y轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.二、填空题13.【解析】试题分析:连接BC,∴∠D=∠A,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∵AB=3×2 =6,AC=2,∴cosD=cosA===.故答案为.考点:1.圆周角定理;2.解直角三角形解析:1 3【解析】试题分析:连接BC,∴∠D=∠A,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∵AB=3×2=6,AC=2,∴cosD=cosA=ACAB=26=13.故答案为13.考点:1.圆周角定理;2.解直角三角形.14.【解析】【分析】二次函数(a≠0)的顶点坐标是(h ,k ).【详解】解:根据二次函数的顶点式方程知,该函数的顶点坐标是:(1,2). 故答案为:(1,2).【点睛】本题考查了二次函数的性解析:()1,2【解析】【分析】二次函数2()y a x h k =-+(a≠0)的顶点坐标是(h ,k ).【详解】解:根据二次函数的顶点式方程23(1)2y x =-+知,该函数的顶点坐标是:(1,2). 故答案为:(1,2).【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数的三种形式,解答该题时,需熟悉二次函数的顶点式方程2()y a x h k =-+中的h ,k 所表示的意义. 15.8【解析】【分析】先作出辅助线,连接切点,利用内切圆的性质得到BE=BF,CE=CG,ME=MH,NG=NH,再利用等量代换即可解题.【详解】解:∵圆O 是△ABC 的内切圆,MN 是圆O 的切线解析:8【解析】【分析】先作出辅助线,连接切点,利用内切圆的性质得到BE=BF,CE=CG,ME=MH,NG=NH,再利用等量代换即可解题.解:∵圆O 是△ABC 的内切圆,MN 是圆O 的切线,如下图,连接各切点,有切线长定理易得,BE=BF,CE=CG,ME=MH,NG=NH,∵△ABC 周长为20cm, BC=6cm,∴BC=CE+BE=CG+BF=6cm,∴△AMN 的周长=AM+AN+MN=AM+AN+FM+GN=AF+AG,又∵AF+AG=AB+AC-(BF+CG)=20-6-6=8cm故答案是8【点睛】本题考查了三角形内接圆的性质,切线长定理的应用,中等难度,熟练掌握等量代换的方法是解题关键.16.(1,3)【解析】【分析】根据顶点式:的顶点坐标为(h ,k )即可求出顶点坐标.【详解】解:由顶点式可知:的顶点坐标为:(1,3).故答案为(1,3).【点睛】此题考查的是求顶点坐标,解析:(1,3)【解析】【分析】根据顶点式:2()y a x h k =-+的顶点坐标为(h ,k )即可求出顶点坐标.【详解】解:由顶点式可知:2(-1)3y x =+的顶点坐标为:(1,3).故答案为(1,3).【点睛】此题考查的是求顶点坐标,掌握顶点式:2()y a x h k =-+的顶点坐标为(h ,k )是解决此题的关键.【解析】【分析】设旗杆的影长为xm,然后利用同一时刻物高与影长成正比例列方程求解即可.【详解】解:设旗杆的影长BE为xm,如图:∵AB∥CD∴△ABE∽△DCE∴,由题意知AB解析:60【解析】【分析】设旗杆的影长为xm,然后利用同一时刻物高与影长成正比例列方程求解即可.【详解】解:设旗杆的影长BE为xm,如图:∵AB∥CD∴△ABE∽△DCE∴AB DCBE CE=,由题意知AB=50,CD=15,CE=18,即,501518x=,解得x=60,经检验,x=60是原方程的解,即高为50m的旗杆的影长为60m.故答案为:60.【点睛】此题主要考查比例的性质,解题的关键是熟知同一时刻物高与影长成正比例.18..【解析】【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质,得出边的关系,进而利用相似三角形的性质求解.【详解】解:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD ∥BC ,∴∠AFB =∠EBC ,∵B 解析:38. 【解析】【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质,得出边的关系,进而利用相似三角形的性质求解.【详解】解:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD ∥BC ,∴∠AFB =∠EBC ,∵BF 是∠ABC 的角平分线,∴∠EBC =∠ABE =∠AFB ,∴AB =AF , ∴35AB AF BC BC ==, ∵AD ∥BC ,∴△AFE ∽△CBE , ∴35AF EF BC BE ==, ∴38EF BF =; 故答案为:38.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质,解题的关键是熟知平行四边形的性质、角平分线的性质及相似三角形的判定定理.19.16【解析】【分析】易得△AOB ∽△ECD ,利用相似三角形对应边的比相等可得旗杆OA 的长度.【详解】解:∵OA ⊥DA ,CE ⊥DA ,∴∠CED=∠OAB=90°,∵CD∥OE,∴∠C解析:16【解析】【分析】易得△AOB∽△ECD,利用相似三角形对应边的比相等可得旗杆OA的长度.【详解】解:∵OA⊥DA,CE⊥DA,∴∠CED=∠OAB=90°,∵CD∥OE,∴∠CDA=∠OBA,∴△AOB∽△ECD,∴CE OA16OA,DE AB220==,解得OA=16.故答案为16.20.【解析】分析:由已知条件易得△ACB中,∠ACB=90°,AC=3,AB=5,由此可得BC=4,结合∠ADC=∠ABC,即可由tan∠ADC=tan∠ABC=求得所求的值了.详解:∵AB是解析:3 4【解析】分析:由已知条件易得△ACB中,∠ACB=90°,AC=3,AB=5,由此可得BC=4,结合∠ADC=∠ABC,即可由tan∠ADC=tan∠ABC=ACBC求得所求的值了.详解:∵AB是O的直径,∴∠ACB=90°,又∵AC=3,AB=5,∴4=,∴tan ∠ABC=34AC BC =, 又∵∠ADC=∠ABC , ∴tan ∠ADC=34. 故答案为:34. 点睛:熟记“圆的相关性质和正切函数的定义”解得本题的关键.21.【解析】【分析】如图,过点F 作FH ⊥AE 交AE 于H ,过点C 作CM ⊥AB 交AB 于M ,根据等边三角形的性质可求出AB 的长,根据相似三角形的性质可得△ADE 是等边三角形,可得出AE 的长,根据角的和差解析:34- 【解析】【分析】如图,过点F 作FH ⊥AE 交AE 于H ,过点C 作CM ⊥AB 交AB 于M ,根据等边三角形的性质可求出AB 的长,根据相似三角形的性质可得△ADE 是等边三角形,可得出AE 的长,根据角的和差关系可得∠EAF=∠BAD=45°,设AH =HF =x ,利用∠EFH 的正确可用x 表示出EH 的长,根据AE=EH+AH 列方程可求出x 的值,根据三角形面积公式即可得答案.【详解】如图,过点F 作FH ⊥AE 交AE 于H ,过点C 作CM ⊥AB 交AB 于M ,∵△ABC CM ⊥AB ,∴12×AB×CM ,∠BCM =30°,BM=12AB ,BC=AB ,∴AB ,∴12AB 解得:AB =2,(负值舍去)∵△ABC ∽△ADE ,△ABC 是等边三角形,∴△ADE 是等边三角形,∠CAB=∠EAD=60°,∠E=60°,∴∠EAF+∠FAD=∠FAD+BAD=60°,∵∠BAD=45°,∴∠EAF =∠BAD =45°,∵FH ⊥AE ,∴∠AFH=45°,∠EFH=30°,∴AH=HF,设AH=HF=x,则EH=xtan30°=33x.∵AB=2AD,AD=AE,∴AE=12AB=1,∴x+33x=1,解得x=33 33-=+.∴S△AEF=12×1×33-=334-.故答案为:334-.【点睛】本题考查了相似三角形的性质,等边三角形的性质,锐角三角函数,根据相似三角形的性质得出△ADE是等边三角形、熟练掌握等边三角形的性质并熟记特殊角的三角函数值是解题关键.22.﹣1<x<3【解析】【分析】先求出函数与x轴的另一个交点,再根据图像即可求解.【详解】解:∵抛物线的对称轴为直线x=1,而抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0),∴抛物线与x轴的另一个解析:﹣1<x<3【解析】【分析】先求出函数与x轴的另一个交点,再根据图像即可求解.【详解】解:∵抛物线的对称轴为直线x =1,而抛物线与x 轴的一个交点坐标为(3,0),∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(﹣1,0),∵当﹣1<x <3时,y >0,∴不等式ax 2+bx +c >0的解集为﹣1<x <3.故答案为﹣1<x <3.【点睛】此题主要考查二次函数的图像,解题的关键是求出函数与x 轴的另一个交点.23.或【解析】【分析】分点C 在优弧AB 上和劣弧AB 上两种情况讨论,根据切线的性质得到∠OAC 的度数,再根据圆周角定理得到∠AOC 的度数,再利用三角形内角和定理得出α与β的关系.【详解】解:当点解析:αβ=或180αβ+︒=【解析】【分析】分点C 在优弧AB 上和劣弧AB 上两种情况讨论,根据切线的性质得到∠OAC 的度数,再根据圆周角定理得到∠AOC 的度数,再利用三角形内角和定理得出α与β的关系.【详解】解:当点C 在优弧AB 上时,如图,连接OA 、OB 、OC ,∵PA 是⊙O 的切线,∴∠PAO=90°,∴∠OAC=α-90°=∠OCA ,∵∠AOC=2∠ABC=2β,∴2(α-90°)+2β=180°,∴180αβ+︒=;当点C 在劣弧AB 上时,如图,∵PA 是⊙O 的切线,∴∠PAO=90°,∴∠OAC= 90°-α=∠OCA ,∵∠AOC=2∠ABC=2β,∴2(90°-α)+2β=180°,∴αβ=.综上:α与β的关系是180αβ+︒=或αβ=. 故答案为:αβ=或180αβ+︒=. 【点睛】本题考查了切线的性质,圆周角定理,三角形内角和定理,等腰三角形的性质,利用圆周角定理是解题的关键,同时注意分类讨论.24.1250cm2【解析】【分析】设将铁丝分成xcm 和(200﹣x )cm 两部分,则两个正方形的边长分别是cm ,cm ,再列出二次函数,求其最小值即可.【详解】如图:设将铁丝分成xcm 和(200﹣解析:1250cm 2【解析】【分析】设将铁丝分成xcm 和(200﹣x )cm 两部分,则两个正方形的边长分别是4x cm ,2004x -cm ,再列出二次函数,求其最小值即可. 【详解】如图:设将铁丝分成xcm 和(200﹣x )cm 两部分,列二次函数得:y =(4x )2+(2004x -)2=18(x ﹣100)2+1250,由于18>0,故其最小值为1250cm2,故答案为:1250cm2.【点睛】本题考查二次函数的最值问题,解题的关键是根据题意正确列出二次函数.三、解答题25.(1)证明见解析;(2)513;(3)53、5、155(345)【解析】【分析】(1)利用同角的余角相等,证明∠CEF=∠AFB,即可解决问题;(2)过点F作FG⊥DC交DC与点G,交AB于点H,由△FGE∽△AHF得出AH=5GF,再利用勾股定理求解即可;(3)分①当∠EFC=90°时; ②当∠ECF=90°时;③当∠CEF=90°时三种情况讨论解答即可.【详解】(1)解:在矩形ABCD中,∠B=∠C=∠D=90°由折叠可得:∠D=∠EFA=90°∵∠EFA=∠C=90°∴∠CEF+∠CFE=∠CFE+∠AFB=90°∴∠CEF=∠AFB在△ABF和△FCE中∵∠AFB=∠CEF,∠B=∠C=90°△ABF∽△FCE(2)解:过点F作FG⊥DC交DC与点G,交AB于点H,则∠EGF=∠AHF=90°在矩形ABCD中,∠D=90°由折叠可得:∠D=∠EFA=90°,DE=EF=1,AD=AF=5∵∠EGF=∠EFA=90°∴∠GEF+∠GFE=∠AFH+∠GFE=90°∴∠GEF=∠AFH在△FGE和△AHF中∵∠GEF=∠AFH,∠EGF=∠FHA=90°∴△FGE∽△AHF∴EFAF=GFAH∴15=GFAH∴AH=5GF在Rt△AHF中,∠AHF=90°∵AH2+FH2=AF2∴(5 GF)2+(5-GF)2=52∴GF=5 13∴△EFC的面积为12×513×2=513;(3)解:①当∠EFC=90°时,A、F、C共线,如图所示:设DE=EF=x,则CE=3-x,∵22223534AD CD+=+=∴34∵∠CFE=∠D=90°, ∠DCA=∠DCA,∴△CEF∽△CAD, ∴CE EFCA AD=,534x=,解得5(345)-②当∠ECF=90°时,如图所示:∵AD=1AF =5,AB=3, ∴1BF =221AF AB -=4, 设1DE =x,则1E C =3-x,∵∠DCB=∠ABC=90°, 111CF E F AB ∠=∠∴11CE F ∽1BF A ,∴11111E C E F F B F A =,即345x x -=,解得:x=1E D =53; 由折叠可得 :222E F E D = ,设2E C x =,则2223E F DE x ==+,2549CF =+=, 在RT △22E F C 中,∵2222222CF CE E F +=,即9²+x²=(x+3)²,解得x=2E C =12, ∴231215DE =+=;③当∠CEF=90°时,AD=AF,此时四边形AFED 是正方形,∴AF=AD=DE=5,综上所述,DE 的长为:53、5、155(345)-. 【点睛】 本题考查了翻折的性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理,掌握翻折的性质,分类探讨的思想方法是解决问题的关键.26.(1)m <1;(2)m <0【解析】【分析】(1)根据题意可知一元二次方程有两个不相等的实数根,即b 2-4ac >0然后利用根的判别式确定取值范围;(2)由题意得:x 1x 2<0,即m <0,即可求解;【详解】解:(1)∵二次函数y =x 2-2x +m 的图象与x 轴相交于A 、B 两点则方程x 2-2x +m=0有两个不相等的实数根∴b2-4ac>0,∴4-4m>0,解得:m<1;(2)∵点A、B位于原点的两侧则方程x2-2x+m=0的两根异号,即x1x2<0∵12cx x ma==∴m<0【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系,要求学生对函数基本性质、函数与坐标轴的交点等的求解熟悉,这是一个综合性很好的题目.27.(1)a+2;2;(2)-2或6±3)8a≤--【解析】【分析】(1)将点B的坐标代入解析式,求得c的值;将点A代入解析式,从而求得b;;(2)由题意可得AO=1,设C点坐标为(x,y),然后利用三角形的面积求出点C的纵坐标,然后代入顶点坐标公式求得a的值;(3)结合图像,若x>1时,y<5,则顶点纵坐标大于等于5,根据顶点纵坐标公式列不等式求解即可.【详解】解:(1)将B(0,2)代入解析式得:c=2将A(-1,0)代入解析式得: a×(-1)2+b×(-1)+c=0∴a-b+2=0∴b=a+2故答案为:a+2;2(2)由题意可知:AO=1设C点坐标为(x,y)则111 2y⨯⨯=解得:2y=±当y=2时,242 4ac ba-=由(1)可知,b=a+2;c=2∴242(2)24a aa⨯-+=解得:a=-2当y=-2时,242 4ac ba-=-由(1)可知,b=a+2;c=2∴242(2)24a a a⨯-+=- 解得:642a =±∴a 的值为-2或642±(3)若x >1时,y <5,又因为图像过点A (-1,0)、B (0,2)∴图像开口向下,即a <0则该图像顶点纵坐标大于等于5∴2454ac b a-≥ 即242(2)54a a a⨯-+≥ 解得:8215a ≤--或8215a ≥-+(舍去)∴a 的取值范围为8215a ≤--【点睛】本题考查二次函数的性质,掌握顶点坐标公式及数形结合思想解题是本题的解题关键.28.(1)详见解析;(2)⊙O 的半径是13. 【解析】【分析】(1)连接OA ,求出OA ∥BC ,根据平行线的性质和等腰三角形的性质得出∠OBA =∠OAB ,∠OBA =∠ABC ,即可得出答案;(2)根据矩形的性质求出OD =AC =1,根据勾股定理求出BC ,根据垂径定理求出BD ,再根据勾股定理求出OB 即可.【详解】(1)证明:连接OA ,∵OB =OA ,∴∠OBA =∠OAB ,∵AC 切⊙O 于A ,∴OA ⊥AC ,∵BC ⊥AC ,∴OA ∥BC ,∴∠OBA =∠ABC ,∴∠ABC =∠ABO ;(2)解:过O 作OD ⊥BC 于D ,∵OD ⊥BC ,BC ⊥AC ,OA ⊥AC ,∴∠ODC =∠DCA =∠OAC =90°,∴OD =AC =1,在Rt △ACB 中,AB 10AC =1,由勾股定理得:BC ()22101-=3, ∵OD ⊥BC ,OD 过O ,∴BD =DC =12BC =132⨯=1.5, 在Rt △ODB 中,由勾股定理得:OB ()22131 1.52+=, 即⊙O 的半径是132. 【点睛】 此题主要考查切线的性质及判定,解题的关键熟知等腰三角形的性质、垂径定理及切线的性质.29.(1)9,1;(2)乙【解析】【分析】(1)根据平均数与方差的定义即可求解;(2)根据方差的性质即可判断乙队整齐.【详解】 (1)乙队的平均成绩是:1(10482793)10⨯⨯+⨯++⨯=9 方差是:222214(109)2(89)(79)3(99)110⎡⎤⨯⨯-+⨯-+-+⨯-=⎣⎦ (2)∵乙队的方差<甲队的方差∴成绩较为整齐的是乙队.【点睛】此题主要考查平均数与方差,解题的关键是熟知平均数与方差的求解公式及方差的性质.30.(1)8.5米;(2)18.0米【解析】【分析】(1)先根据题意得出DE=AB=7米,AD=BE=1.5米,在Rt△DEH中,可求出HE的长度,进而可计算古树BH的高度;(2)作HJ⊥CG于G,设HJ=GJ=BC=x,在Rt△EFG中,利用特殊角的三角函数值求出x的值,进而求出GF,最后利用 CG=CF+FG即可得出答案.【详解】解:(1)由题意:四边形ABED是矩形,可得DE=AB=7米,AD=BE=1.5米,在Rt△DEH中,∵∠EDH=45°,∴HE=DE=7米.∴BH=EH+BE=8.5米.答:古树BH的高度为8.5米.(2)作HJ⊥CG于G.则△HJG是等腰直角三角形,四边形BCJH是矩形,设HJ=GJ=BC=x.在Rt△EFG中,tan60°=73 GF xEF x+==∴7(31)2x=,∴3x≈16.45∴CG=CF+FG=1.5+16.45≈17.95≈18.0米.答:教学楼CG的高度为18.0米.【点睛】本题主要考查解直角三角形,能够数形结合,构造出直角三角形是解题的关键.31.(12;(2)6【解析】【分析】(1)将原式三项化简,合并同类二次根式后即可得到结果;(2)原式第一项利用绝对值的代数意义化简,第二项利用零指数公式化简,第三项利用负指数公式化简,合并后即可得到结果;【详解】解:(1)原式=22+3-2-3=2,(2)原式=3+1+2=6【点睛】此题考查了实数的混合运算,涉及的知识有:算术平方根和立方根,绝对值的性质,0指数和负整指数幂,熟练掌握公式及法则是解本题的关键. 32.(1)CBP ∆是等腰三角形,理由见解析;(2)BC 的长为8;(3)3tan 2APO ∠=. 【解析】【分析】(1)首先连接OB ,根据等腰三角形的性质由OA =OB 得A OBA ∠=∠,由点C 在过点B 的切线上,且OP OA ⊥,根据等角的余角相等,易证得∠PBC =∠CPB ,即可证得△CBP 是等腰三角形;(2)设BC =x ,则PC =x ,在Rt △OBC 中,根据勾股定理得到2226(2)x x +=+,然后解方程即可;(3)作CD ⊥BP 于D ,由等腰三角形三线合一的性质得1252PD BD PB ===,由1225S S =,通过证得~AOP CDP ∆∆,得出2245AOP PCD S OA S CD ∆∆== 即可求得CD ,然后解直角三角形即可求得.【详解】(1)CBP ∆是等腰三角形,理由:连接OB ,OA OB =A OBA ∴∠=∠⊙O 与BC 相切与点B ,OB BC ∴⊥,即90OBC ∠=,90OBA PBC ∠+∠=OP OA ⊥90APO A ∴∠+∠=,APO CPB ∠=∠90CPB A ∴∠+∠=CPB PBC ∴∠=∠CB CP ∴=CBP ∴∆是等腰三角形(2)设BC x =,则PC x =,在Rt OBC ∆中,6OB OA ==,2OC CP OP x =+=+,222OB BC OC +=,2226(2)x x ∴+=+,解得8x=,即BC的长为8;(3)解:作CD BP⊥于D,PC CB=1252PD BD PB∴===90PDC AOP∠=∠=,AOP CPD∠=∠,~AOP CDP∴∆∆,1225SS=,2245AOPPCDS OAS CD∆∆∴==,6OA=,35CD∴=3tan tan2APO CPB∴∠=∠=.【点睛】本题考查了切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质以及三角形相似的判定和性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用.。

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