2022-2021学年宁夏银川市唐徕回民中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={x∈R|x≥﹣2}，集合B={x∈R|x＜3}，则A∩B=（）A．[﹣2，3）B．（﹣2，3]C．（﹣∞，﹣2]∪（3，+∞）D．（﹣∞，+∞）2．（5分）设全集U={x∈N*|x＜10}，已知A={1，2，4，5}，B={1，3，5，7，9}，则集合∁U（A∪B）的真子集个数为（）A．2B．3C．4D．83．（5分）设f（x）=|x﹣1|﹣|x|，则=（）A．B．0C．D．14．（5分）=（）A．B．C．D ．5．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=log2x+3，则=（）A．1B．﹣1 C．0D ．6．（5分）设M={x|x2+4x≤0}，则函数f（x）=﹣x2﹣6x+1的最值状况是（）A．最小值是1，最大值是9 B．最小值是﹣1，最大值是10C．最小值是1，最大值是10 D．最小值是2，最大值是97．（5分）已知幂函数y=f（x ）图象经过点，则f（3）=（）A．3B．C．D ．8．（5分）函数y=的定义域是（）A．[1，+∞）B．C．D ．9．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，f（x）在x∈[0，+∞）上为增函数，且f（﹣3）=0，则不等式f（2x﹣1）＜0的解集为（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）C．（﹣∞，2）D．（﹣1，+∞）10．（5分）设a=log0.73，b=2.3﹣0.3，c=0.7﹣3.2，则a，b，c的大小关系是（）A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞b＞c11．（5分）已知函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（）A．[，1）B．（1，3）C．（0，1）D．（0，3）12．（5分）已知a＞0，a≠1，f（x）=x2﹣a x．当x∈（﹣1，1）时，均有f（x ）＜，则实数a的取值范围是（）A．（0，]∪[2，+∞）B．[，1）∪（1，2]C．（0，]∪[4，+∞）D． [，1）∪（1，4]二、填空题（每题5分，共计20分）13．（5分）设函数f（x）=3x，若g（x）为函数f（x ）的反函数，则=．14．（5分）（lg5）2+lg2×lg50=．15．（5分）已知函数f（x）是定义在R的奇函数，设F（x）=f（x）+3，且F（x）的最大值为M，最小值为m，则M+m=．16．（5分）已知函数f（x）=若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围为．三、解答题（本题包括六道小题共计70分）17．（10分）（1）设集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|x﹣a＞0}，若A∩B=A，求a的范围；（2）设集合M={x∈R|ax2﹣3x﹣1=0}，若集合M中至多有一个元素，求a的范围．18．（12分）设函数f（x）=|x+2|+|x﹣1|（1）在如图所示直角坐标系中画出函数f（x）的图象；（2）若方程f（x）﹣2a+4=0有解，求实数a的范围．19．（12分）设f（x）=，（1）推断函数f（x）的奇偶性；（2）证明函数f（x）在[2，+∞）单调递增．20．（12分）设函数f（x）=x2﹣2ax+3，（1）若函数f（x）在区间[﹣2，3]是单调函数，求实数a的范围；（2）求函数f（x）在区间[﹣2，3]的最小值．21．（12分）设，（1）求函数f（x）的定义域；（2）证明：对于任意非零实数都有f（x）＞0．22．（12分）已知函数f（x）满足f（log a x）=，其中a＞0且a≠1（1）解不等式f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）﹣4的值恒为负数，求a的范围．2022-2021学年宁夏银川市唐徕回民中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={x∈R|x≥﹣2}，集合B={x∈R|x＜3}，则A∩B=（）A．[﹣2，3）B．（﹣2，3]C．（﹣∞，﹣2]∪（3，+∞）D．（﹣∞，+∞）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：由题意全集U=R，集合A={x∈R|x≥﹣2}，集合B={x∈R|x＜3}，依据交集的定义计算A∩B．解答：解：∵A={x∈R|x≥﹣2}，集合B={x∈R|x＜3}，∴集合A∩B={x|﹣2≤x＜1}，故选A．点评：此题主要考查不等式及集合的交集运算，集合间的交、并、补运算是高考中的常考内容，要认真把握，并确保得分．2．（5分）设全集U={x∈N*|x＜10}，已知A={1，2，4，5}，B={1，3，5，7，9}，则集合∁U（A∪B）的真子集个数为（）A．2B．3C．4D．8考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出A∪B，用列举法表示全集，求出∁U（A∪B），写出其全部真子集得答案．解答：解：∵A={1，2，4，5}，B={1，3，5，7，9}，∴A∪B={1，2，3，4，5，7，9}，又全集U={x∈N*|x＜10}={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，∴∁U（A∪B）={6，8}，则集合∁U（A∪B）的真子集为：∅，{6}，{8}，个数为3．故选：B．点评：本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了集合的真子集，是基础题．3．（5分）设f（x）=|x﹣1|﹣|x|，则=（）A．B．0C．D．1考点：函数的概念及其构成要素．分析：由于f （）=|﹣1|﹣||=0，再将f （）=0代入f[f （）]即可得到答案．解答：解：∵f （）=|﹣1|﹣||=0，∴f[f （）]=f（0）=1﹣0=1．故选D．点评：本题主要考查已知函数解析式求函数值的问题．这里将已知值代入即可得到答案．4．（5分）=（）A．B．C．D ．考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：留意到﹣m≥0，=﹣（﹣m ）•（﹣m ）从而化简得到．解答：解：由题意，﹣m≥0，则=﹣（﹣m ）•（﹣m ）=﹣（﹣m ）=﹣．故选D．点评：本题考查了指数幂的运算，属于基础题．5．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=log2x+3，则=（）A．1B．﹣1 C．0D ．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由已知条件利用奇函数的性质得当x＜0时，f（x）=﹣log2（﹣x）﹣3，由此能求出．解答：解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=log2x+3，∴当x＜0时，f（x）=﹣log2（﹣x）﹣3，∴=﹣﹣3=2﹣3=﹣1．故选：B．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，留意奇函数性质的合理运用．6．（5分）设M={x|x2+4x≤0}，则函数f（x）=﹣x2﹣6x+1的最值状况是（）A．最小值是1，最大值是9 B．最小值是﹣1，最大值是10C．最小值是1，最大值是10 D．最小值是2，最大值是9考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：利用二次不等式求出集合M，然后通过配方法将解析式进行化简后，求出对称轴x=﹣3，则由开口向下得到在定义域上的单调性，再求出函数的最值，即求出函数的值域．解答：解：由题意知M={x|x2+4x≤0}={x|﹣4≤x≤0}，f（x）=﹣x2﹣6x+1=﹣（x+3）2+10，又∵﹣4≤x≤0，∴函数f（x）在区间[﹣4，﹣3]上是增函数，在区间（﹣3，0]上是增函数，∴当x=﹣3时，函数的最大值f（﹣3）=10；当x=0时，函数的最小值f（0）=1，∴函数f（x）的值域是[1，10]．故选：C．点评：本题考查了求二次函数在定区间上的值域，一般用配方法对解析式化简求出图象的对称轴，由依据二次函数的性质推断出在定义域上的单调性，再求出函数的最值，即求出函数的值域．7．（5分）已知幂函数y=f（x ）图象经过点，则f（3）=（）A．3B．C．D ．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：函数的性质及应用．分析：先设幂函数f（x）=xα，把点利用指数的运算性质求出α的值，再求出f（3）的值．解答：解：设幂函数f（x）=xα，由于幂函数f（x ）图象经过点，所以，解得α=，即f（x）=，所以f（3）===，故选：D．点评：本题考查幂函数的概念，函数的值，以及指数的运算性质，属于基础题．8．（5分）函数y=的定义域是（）A．[1，+∞）B．C．D ．考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：要使函数有意义，则需，解出它们，即可得到定义域．解答：解：要使函数有意义，则需即有解得，，定义域为（，1]．故选C．点评：本题考查函数的定义域的求法，留意对数的真数必需大于0，偶次根式被开方式非负，考查运算力量，属于基础题．9．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，f（x）在x∈[0，+∞）上为增函数，且f（﹣3）=0，则不等式f（2x﹣1）＜0的解集为（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）C．（﹣∞，2）D．（﹣1，+∞）考点：函数单调性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：定义在R上的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，且f（3）=0，f（2x﹣1）＜0，可得f（|2x ﹣1|）＜f（3），再利用单调性即可得出．解答：解：∵定义在R上的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，且f（﹣3）=0，∴f（3）=0，f（x）=f（|x|），∴f（|2x﹣1|）＜f（3），∴|2x﹣1|＜3，解得﹣1＜x＜2．∴不等式f（x）＜0的解集是（﹣1，2）．故选：A．点评：本题考查了函数的奇偶性、单调性及运用，考查运算力量，属于中档题．10．（5分）设a=log0.73，b=2.3﹣0.3，c=0.7﹣3.2，则a，b，c的大小关系是（）A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞b＞c考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数函数与指数函数的单调性即可得出．解答：解：∵a=log0.73＜0，0＜b=2.3﹣0.3＜1，c=0.7﹣3.2＞1．∴c＞b＞a．故选：B．点评：本题考查了对数函数与指数函数的单调性，属于基础题．11．（5分）已知函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（）A．[，1）B．（1，3）C．（0，1）D．（0，3）考点：函数单调性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，则有，解出它们，即可得到取值范围．解答：解：函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，则有即有，解得a＜1．故选A．点评：本题考查函数的单调性的运用，留意分段函数的分界点，考查运算力量，属于中档题．12．（5分）已知a＞0，a≠1，f（x）=x2﹣a x．当x∈（﹣1，1）时，均有f（x ）＜，则实数a的取值范围是（）A．（0，]∪[2，+∞）B．[，1）∪（1，2]C．（0，]∪[4，+∞）D． [，1）∪（1，4]考点：指、对数不等式的解法．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：由题意可知，a x＞x2﹣在（﹣1，1）上恒成立，令g（x）=a x，m（x）=x2﹣，结合图象，列出不等式组，解不等式组，求出a的取值范围．解答：解：若当x∈（﹣1，1）时，均有f（x ）＜，即a x＞x2﹣在（﹣1，1）上恒成立，令g（x）=a x，m（x）=x2﹣，由图象知：若0＜a＜1时，g（1）≥m（1），即a≥1﹣=，此时≤a＜1；当a＞1时，g（﹣1）≥m（1），即a﹣1≥1﹣=，此时a≤2，此时1＜a≤2．综上≤a＜1或1＜a≤2．故选：B．点评：本题考查不等式组的解法，将不等式关系转化为函数的图象关系是解决本题的关键．，体现了数形结合和转化的数学思想．二、填空题（每题5分，共计20分）13．（5分）设函数f（x）=3x，若g（x）为函数f（x ）的反函数，则=．考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）=3x，若g（x）为函数f（x）的反函数，可得g（x）=log3x．代入即可得出．解答：解：∵函数f（x）=3x，若g（x）为函数f（x）的反函数，∴g（x）=log3x．∴==．故答案为：．点评：本题考查了反函数的求法、对数的运算性质，属于基础题．14．（5分）（lg5）2+lg2×lg50=1．考点：对数的运算性质．专题：计算题．分析：由式子的特点把50拆成5与10的乘积，则lg50=lg10+lg5，再利用lg5+lg2=1进行化简求值．解答：解：（lg5）2+lg2×lg50=（lg5）2+lg2×（lg10+lg5）=（lg5）2+lg2+（lg5）（lg2）=lg5（lg5+lg2）+lg2=1．故答案为：1．点评：本题考查了对数的运算性质的应用，一般是把真数拆成两数积或商的形式，或是把多个对数合成一个对数；以及等式“lg2+lg5=1”的利用．15．（5分）已知函数f（x）是定义在R的奇函数，设F（x）=f（x）+3，且F（x）的最大值为M，最小值为m，则M+m=6．考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得g（x）的最大最小值分别为M﹣3，m﹣3，由奇函数的性质可得（M﹣3）+（m﹣3）=0，变形可得答案．解答：解：∵函数y=f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），又F（x）=F（x）+3的最大值为M，最小值为m，所以F（x）的最大最小值分别为M﹣3，m﹣3，由奇数的性质可得（M﹣3）+（m﹣3）=0，解得M+m=6，故答案为：6点评：本题考查函数的奇偶性，涉及函数的最值问题，属基础题．16．（5分）已知函数f（x）=若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围为（﹣2，1）．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；二次函数的性质．专题：计算题．分析：先依据二次函数的解析式分别争辩分段函数在各自区间上的单调性，从而得到函数f（x）的单调性，由此性质转化求解不等式，解出参数范围即可．解答：解：函数f（x），当x≥0 时，f（x）=x2+4x，由二次函数的性质知，它在[0，+∞）上是增函数，当x＜0时，f（x）=4x﹣x2，由二次函数的性质知，它在（﹣∞，0）上是增函数，该函数连续，则函数f（x）是定义在R 上的增函数∵f（2﹣a2）＞f（a），∴2﹣a2＞a解得﹣2＜a＜1实数a 的取值范围是（﹣2，1）故答案为：（﹣2，1）点评：本题是奇偶性与单调性结合的一类最主要的题型，利用单调性将不等式f（2﹣a2）＞f（a）转化为一元二次不等式，求出实数a 的取值范围，属于中档题．三、解答题（本题包括六道小题共计70分）17．（10分）（1）设集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|x﹣a＞0}，若A∩B=A，求a的范围；（2）设集合M={x∈R|ax2﹣3x﹣1=0}，若集合M中至多有一个元素，求a的范围．考点：交集及其运算；元素与集合关系的推断．专题：集合．分析：（1）分别求解二次不等式和一次不等式化简集合A，B，然后结合A∩B=A求得a的范围；（2）分a=0和a≠0争辩，当a≠0时，由△≤0求解a的取值范围．解答：解：（1）A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={x|x＞a}∵A∩B=A，故A⊆B，∴a≤﹣1；（2）当a=0时明显符合题意．当a≠0时，由题意，△≤0，即9+4a≤0，解得．综上，点评：本题考查了交集及其运算，考查了集合关系的运用，体现了数学转化思想方法，是基础题．18．（12分）设函数f（x）=|x+2|+|x﹣1|（1）在如图所示直角坐标系中画出函数f（x）的图象；（2）若方程f（x）﹣2a+4=0有解，求实数a的范围．考点：函数图象的作法；函数的零点．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：（1）化简，作出其图象；（2）由图象可得，2a﹣4≥3，从而解得．解答：解：（1）图象如图所示，（2）由题意，2a﹣4≥3，解得．点评：本题考查了函数的图象的作法及方程与函数的关系，属于基础题．19．（12分）设f（x）=，（1）推断函数f（x）的奇偶性；（2）证明函数f（x）在[2，+∞）单调递增．考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的推断与证明．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）求函数的定义域，确定f（x）与f（﹣x）的关系即可；（2）用定义法证明单调性．解答：解：（1）f（x）=的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），又∵，∴f（x）是奇函数．（2）证明：任取x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，则=∵x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，x1x2＞4∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在[2，+∞）单调递增．点评：本题考查了函数的奇偶性与单调性的推断与证明，属于基础题．20．（12分）设函数f（x）=x2﹣2ax+3，（1）若函数f（x）在区间[﹣2，3]是单调函数，求实数a的范围；（2）求函数f（x）在区间[﹣2，3]的最小值．考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：本题（1）可以利用二次函数的单调区间与已知区间[﹣2，3]进行比较，得到参数a的取值范围，得到本题结论；（2）考虑二次函数f（x）对称轴与区间的位置关系，分类争辩争辩二次函数f（x）在区间[﹣2，3]的最小值，得到本题结论．解答：解：（1）∵函数f（x）=x2﹣2ax+3的对称轴为x=a，∴函数f（x）在区间（﹣∞，a]上单调递减；在区间[a，+∞）上单调递增．∵函数f（x）在区间[﹣2，3]是单调函数，∴a≥3或a≤﹣2．（2）①当a＜﹣2时，∵f（x）在区间[﹣2，3]是单调递增函数，∴[f（x）]min=f（﹣2）=4a+7；②当﹣2≤a＜3时，∵f（x）在区间[﹣2，a]是单调递减函数，f（x）在区间[a，3]是单调递增函数，∴[f（x）]min=f（a）=3﹣a2；③当a≥3时，∵f（x）在区间[﹣2，3]是单调递减函数，∴[f（x）]min=f（3）=12﹣6a．∴．点评：本题考查了二次函数的单调性和最值，本题难度不大，属于基础题．21．（12分）设，（1）求函数f（x）的定义域；（2）证明：对于任意非零实数都有f（x）＞0．考点：函数恒成立问题；函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）函数有意义则分母2x﹣1≠0得其定义域，（2）当x＞0时明显成立，当x＜0时，先证f（﹣x）=f（x），函数为奇函数，然后由﹣x＞0转化求解．解答：解：（1）由2x﹣1≠0得x≠0，故函数f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞）（2）证明：当x＞0时，由于2x＞1，明显f（x）＞0由于==f（x）所以，当x＜0时，﹣x＞0，故f（x）=f（﹣x）＞0综上，f（x）＞0，命题得证．点评：本题考察函数的定义域及其求法以及利用函数性质求证不等式，难点在证明中利用分类争辩和函数的奇偶性求证．22．（12分）已知函数f（x）满足f（log a x）=，其中a＞0且a≠1（1）解不等式f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）﹣4的值恒为负数，求a的范围．考点：函数恒成立问题；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）设log a x=t ，利用换元法求出，利用函数的单调性的定义，证明，g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，从而f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，然后推断函数的奇偶性，f（x）是奇函数，转化f（1﹣m）＜﹣f（1﹣m2）=f（m2﹣1）为1﹣m＜m2﹣1即m2+m﹣2＞0求解即可．（2）利用（1）转化f（2）﹣4≤0为．求解即可．解答：（本题12分）解；（1）设log a x=t，则x=a t ，所以故当a＞1时，a2﹣1＞0，设g（x）=a x﹣a﹣x，设x1，x2∈（﹣∞，+∞），且x1＜x2，由于=由于，x1＜x2且a＞1，故，所以所以，g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，从而f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，当0＜a＜1时，a2﹣1＜0，同理可证f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增又，所以f（x）是奇函数由f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0得f（1﹣m）＜﹣f（1﹣m2）=f（m2﹣1）由于f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，所以1﹣m＜m2﹣1即m2+m﹣2＞0解得m＜﹣2或m＞1（2）由上，f（2）﹣4≤0即．解得点评：本题考查函数的恒成立，函数的奇偶性以及函数的单调性的应用，不等式的解法，考查转化思想以及计算力量．。