信号与系统
Signals and Systems
普通高等教育“十一五”国家级规划教材 《信号与系统》
陈后金，胡健，薛健 高等教育出版社， 2007年
离散时间信号与系统的复频域分析
离散时间信号的复频域分析 离散时间LTI系统的复频域分析 离散时间系统函数与系统特性 离散时间系统的模拟
离散时间信号的复频域分析
z 4, 求x[k ]
解： m=n，由多项式除法可得
X
(z)

1

(1
2z
2 1 ) 21
4z
1
G(z)
G(z)

A (1 2z 1)2

B 1 2z 1

C 1 4z 1
A

(1 2z1)2 G(z)
z2

2 1 4z1

2
B

1 (2)
d[G(z)(1 2z 1)2 ] dz 1
解：
X
(
z
)

1

(
1 z/
a)
2
X
1
(
z)

1
1 z
2
x1[k
]

s
in
[π 2
(k

1)]u[k
]
由指数加权性质
x[k] ak cos(π k)u[k] 2
例：X (z)
1 (1 2z1)(1 z1 z2 ) ,
z
0
求x[k]。
解：
A
Bz 1 C
X (z) 1 2z1 1 z1 z2
B, C用待定系数法求
1 z 1 z 2 1 2 cos(π / 3)z 1 z 2
A=4/3, B=2/3, C= 1/3;
x[k ]
{4
(2)k

2sin(
π 3
k)

sin[
π 3
(k
1)] }u[k ]
3
3sin(π / 3) 3sin(π / 3)
六、单例:
X (z)

2z 2 0.5z z 2 0.5z 0.5
z 1, 求x[k]
解： 将X(z)化为z的负幂，可得
X
(
z)

1

2 0.5z
0.5 z 1 1 0.5
z
2

1
A z
1

1

B 0.5z
1
A

(1
z 1)
X
(z)
z 1
部分分式法
X
(z)

B(z) A(z)

b0 b1z1 bm zm 1 a1z1 an zn
1. m<n，分母多项式无重根
n
X (z)
i 1
ri 1 pi z 1
各部分分式的系数为
ri (1 pi z1) X (z) z pi
六、单边z反变换
C (1 4z1)G(z) z4 8
X (z)
1
2 (1 2z1)2

1

4 2
z
1

1

8 4
z
1
进行z反变换，得
x[k] [k] [2(k 1)2k 4 2k 8 4k ]u[k]
例：X (z)
z2 z2 a2
,
z
a, 求x[k]
解：
X(z)有一对共轭复根，复根时部分分式展开, 可以直接利用
sin(0k
)u[k
]Z
1

sin 0 z 1 2z 1 cos 0

z
2
sin[0 (k
1)]u[k]Z 1
sin 0 2z1 cos 0

z 2
例：X (z)
z2 z2 a2
,
z
a, 求x[k]
Res[X (z)zk1]z1 (z 1)X (z)zk1 z1
2z 0.5 z k z 0.5
1
z 1
Res[
X
(
z)z
k
]1 z0.5

2 0.5z1 1 0.5z1
z1 1
B

(1
0.5z1) X (z)
z 0.5

2 0.5z1 1 z1
z0.5 1
将X(z)进行z反变换，可得
x[k] Z 1{X (z)} u[k] (0.5)k u[k]
例
:
X
(z)

1
8z 1 20 z 2 16 z 3 (1 2z 1)2 (1 4z 1)
部分分式法
X
(z)

B(z) A(z)

b0 b1z1 bm zm 1 a1z1 an zn
2. m<n，分母多项式在z=u处有l阶重极点
nl
X (z)
i 1
1
ri pi z 1

l 1 i0
qi (1 uz1)li
1
di
qi (u)i i! d(z1)i
(1 uz1)l X (z)
zu ,
i 0,l 1
六、单边z反变换
部分分式法
X
(z)

B(z) A(z)

b0 b1z1 bm zm 1 a1z1 an zn
3. mn
mn
X (z)
i 1
ki zi

B1(z 1) A(z 1)
多项式
Re s[ X z p
( z ) z k 1 ]

(n
1 dn1(z p)n
1)!

dz n1
X
(z) z p
例：X (z)

2z2 0.5z z2 0.5z 0.5 ,
z
1,用留数法求x[k]。
解：
X(z)z k1在z=1, z=0.5有两个一阶极点，其留数为
留数法
x[k] 1
n
X (z)zk1dz Re s[ X (z)zk1]
2πj c
i1 z pi
若X(z)z k1在z = pi处有一阶极点，则该极点的留数为
Re s[ X (z)zk1]
z pi
(z
zi ) X (z)zk1
z zi
若X(z)z k1在z = p处有一阶极点，则该极点的留数为

z2

1 2
d dz 1
1
2 4 z 1
z2 4
例
:
X
(z)

1
8z 1 20 z 2 16 z 3 (1 2z 1)2 (1 4z 1)
z 4, 求x[k ]
解：
G(z)

A (1 2z 1)2

B 1 2z 1

C 1 4z 1
所以
由离散时间Fourier变换到z变换
单边z变换及其收敛域 常用单边序列的z变换 单边z变换的性质 单边z反变换
六、单边z反变换
x[k] 1 X (z)zk1dz
2πj c
C为X(z) 的ROC中的一闭合曲线。
计算方法： 幂级数展开和长除法 部分分式展开 留数计算法
六、单边z反变换