4． 复数项级数与复变函数项级数、绝对收敛与一致收敛、逐项积分与逐项求导、
幂级数与泰勒（Taylor）展式、罗朗（Laurent）展式、解析函数的孤立奇点
与唯一性、最大摸原理、解析函数孤立奇点的分类与在无穷远点的性质、施瓦
尔兹（Schwarz）引理
基本要求：熟悉复数项级数和复函数项级数的基本性质，掌握复函数项级数的
专业必修课
授课对象 （Audience）
数学系本科生
授课语言
(Language of
中文
Instruction) *开课院系 （School） 先修课程
（Prerequisite） 授课教师
数学系 数学分析课程网址来自（Instructor）
(Course Webpage) 复变函数是数学分析的一门后继课程，也是全日制大学数学系本科生必修的一
典型的复积分和实积分；掌握幅角原理及儒歇定理。(A4,A5,B2,B3,B7,C2,C4)
6． 共形映射、分式线形变换与某些初等函数构成的共形映射、黎曼映照定理与边
界对应原理
基本要求：熟悉单叶解析函数和共形映射的概念，了解解析变换的保域性和保角性；
熟悉分式线形映射（变换）的性质，了解分式线性变换群，会用分式线形映射与一
门专业基础课，通常放在大学二年级数学分析的主要内容学习完之后开设。复变函
数论（又称复分析）是经过数个世纪发展起来的一门数学学科，且很多方面发展得
相当成熟，结果也相当丰富。通过学习，可以使学生更进一步感受数学之美。同时
复变函数论也是和实际相联系的一门学科，一些平面上（甚至更广）的实际问题可
*课程简介（Description） 以用复变函数建立模型并加以解决。本课程属于数学基础课程，和数学分析有一些 相通之处，但也有着本质的不同。推广与创新是数学乃至科学研究中的一个很通用
（Liouville）定理与代数基本定理
基本要求：熟悉复变函数积分的定义和基本性质，掌握 Cauchy（积分）定理、Cauchy
（积分）公式、解析函数的无穷可微性、Cauchy 不等式、Liouville 定理、Morera
定理、以及解析函数与调和函数的关系。(A4,A5,B2,B3,B7,C2,C4)
课程教学大纲（course syllabus）
*学习目标(Learning Outcomes)
*教学内容、进度安排
1． 复数及其表示、复平面与复球面、曲线与区域
基本要求：熟悉复数、复平面、扩充复平面与复球面的概念，了解各类区域和曲线
的概念。(A4,A5,B2,B3,C2)
2． 复变函数的极限与连续性、导数与柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）条件、共轭
的模式，学习复变函数这门课程正是体验这种模式、培养这种研究能力的一个方法。
复变函数的基本内容包括：复变函数的极限与连续性、导数与积分、级数、留数、
共形映射、解析延拓等。
Complex Analysis is a continuation of Mathematical Analysis (Calculus). The theory extends and develops Calculus from the real domain to the complex domain. In *课程简介（Description） this course we will introduce the following contents for undergraduates: limits and continuity of functions of one complex variable, analytic functions and complex integration, complex series, residues, conformal mappings and analytic continuation.
复变函数课程教学大纲
课程基本信息（Course Information）
课程代码
*学时
（Course Code）
MA2132/MA205 （Credit Hours）
64
*课程名称
（中文）复变函数
（Course Name）
（英文）Complex Analysis
*学分
（Credits）
4
课程性质 (Course Type)
些初等函数所构成的映射构造某些区域间的共形映射；了解 Riemann 映照定理与边
界对应原理。(A4,B2,B3,B7,C2)
7． 解析延拓的概念与用幂级数的解析延拓、对称原理、黎曼面的概念、沿曲线的
解析延拓与单值性定理
基本要求：掌握解析开拓的概念及幂级数方法，了解 Painlevé连续开拓原理及
Riemann-Schwarz 对称原理；了解完全解析函数、Riemann 面的概念、沿曲线的解
孤立奇点（包括无穷远点）的分类以及 Schwarz 引理；了解整函数和亚纯函数的概
念以及 Picard 定理。(A4,A5,B2,B3,B7,C2,C4)
5． 留数与留数定理、幅角原理与儒歇（Rouché）定理、用留数计算某些类型的积
分
基本要求：熟悉留数的概念，会进行留数的计算；特别强调会用留数定理计算一些
Cauchy 一致收敛准则及优级数准则、内闭一致收敛和 Weierstrass 定理、幂级数
的 Abel 定理和收敛半径的计算；掌握解析函数的 Taylor 展开定理，熟悉一些常用
初等函数的 Taylor 展式；掌握解析函数的零点孤立性及唯一性定理、最大模原理；
掌握解析函数的 Laurent 展开定理，会求一些函数的 Laurent 展式，掌握解析函数
调和函数与解析函数、初等函数
基本要求：掌握复变函数的极限与连续性、可导与解析的概念，Cauchy-Riemann
方程（条件）与可导（解析）的充要条件；熟悉初等解析函数及初等多值函数。
(A4,A5,B2,B3,C2,C4)
3． 复变函数的积分、柯西定理与柯西积分公式、莫勒拉（Morera）定理、刘维尔
析开拓以及单值性定理。(A4,B2,B3,C2)
教学内容
学 教学方式 作业及要求 基本要求 考查方式
时
及要求
复数及复平面
4 课堂讲授
习题
完成要求 见考核方式
(Class Schedule