2
l x y z
l
lx
ly
lz
u l
( 2 , 3,1)
u u u cos lx cos ly cos lz x y z ( 2 , 3,1)
( 2 , 3,1)
2 xyz cos lx x 2 z cos ly x 2 y cos lz 3 4 5 112 12 4 12 50 50 50 50
a x jz x jz H e x j H 0 sin( ) e ez H 0 cos( ) e A/m a a
• 求瞬时坡印廷矢量和平均坡印廷矢量
a 2 2x j 2 z a 2 2 2 x j 2 z S E H ex j H 0 sin( )e ez 2 H 0 sin ( )e 2 a a
解：设线电流与z重合且电流方向为Z轴正方向， 选取一半径为r圆形闭合回路l，圆心在z轴 上，且l包围的面与z轴垂直，其方向如图所示。 根据题意，圆上任意点的磁感应强度大小相等， 方向与l相同，根据真空中安培环路定理，有
B(r ) dl 0I 总
l
Il
r
l
左边 2r B（r）
jkz jkz j / 2 E ex je exe ex cos(t kz / 2)
• 4.11 在横截面为aXb的矩形金属波导中，电 磁场的复矢量为 a x • E e j H sin( ) e V /m
jz
y0Fra biblioteka1 0 1 0 1
8
y
0 8.854 1012
0 4 10
7
1
0
2
• 解：因为点p在边界上，根据边界条 件 D D ，而介质2为理想导体，其内部 t z c 电场为0，所以 D E E • （2）根据 得 • （3）根据 J e H e H e 3.1 10 A / m
第二章作业 2.1 已知无限长线电荷密度为
l ，求真空中任意点的电场强度。 z
er
解：如图选如图所示圆柱体表面为高斯面，圆柱中心轴与 线电荷重合，设圆柱半径为r,高为h，因为电荷密度为 e 无限长的线电荷，则电场方向垂直Z轴向外，即 r 方 向，如图所示。 根据真空中积分形式的高斯定理
上式中 右边 / 0dV / 0dS Ss / 0
V
所以
S
E e x s /2 0 E -e x s /2 0
x0 x0
S为长方体包含的面电荷 面积（与长方体上下底 面相等）
2.3 已知无限长线电流
Il
，求真空中任意点的磁感应强度。 z
右边 0I l
B (r )
0I l 2r
B(r)
0I l e 2r
2.4 已知一同轴线内导体半径为a，外导体内半径为b，同轴线内外导体间 材料为空气，同轴线上电流密度为 J J 0ez ，求同轴线电缆产生的 磁感 应强度。 解：设z轴与同轴线中心轴重合，选取一半径为r圆 形闭合回路l，圆心在z轴上，且l包围的面与z轴垂直， 其方向如图所示。 根据题意，圆上任意点的磁感应 强度大小相等，方向与l相同，根据真空中安培环路 定理，有 B(r ) dl 0I 总
l
z
l
当r<a时
左边 2r B（r）
右边 0J 0r 2
B(r)
0r
2
B(r)
0r
2
e
当a<r<b时
左边 2r B（r）
右边 0J 0a 2
0a 2 B(r) 2r
0a 2 B(r) e 2r
右边 0
当r>b时
0x d
0
U0
2
0
2
( x)
0 x3 Ax B 6
• 根据题意，(0) 0 • 代入得
A
(d) U0
B0
U 0 0d 2 d 6
( x)
0 x 3 U 0 0d 2 ( )x 6 d 6
x2 U d 2 E ( 0 0 0 )ex 2 d 6
S
E dS / 0 dv
V
l
上式中
左边 E dS E dS E dS s 上底面积 s下底面积 s 侧面积 E dS E 2rh
s 侧面积
上式中 右边 / 0dV / 0dl hl / 0
x
2.2 已知无限大面电荷密度为
S
S
左边 E dS E dS E dS s 上底面积 s下底面积 s 侧面积 E dS E dS 2 E S上地面积
s 上底面积 s 下底面积
化简得
E s /2 0
k为常矢量
ry rx rz x y z r 3 （1） x y z x y z
（2）
r
x
ex
y
ey
z x
ez
ex
y
ey
z
ez
rx
ry
rz
x
y
z
ex (z ) ez (y ) ez (x ) ez (x ) e x (y ) e y (z ) 0 y x z y z x
• •
将下列电场瞬时形式写成复数形式， 或将复数形式写成瞬时形式。
• • • •
1. 2. 3. 4.
jkz E ex cos(t kz) exe
jkz E exe ex cos(t kz)
E ey sin(t kz) ey cos(t kz / 2) ey e jkz j / 2
11 14 17
AB arccos(
11 238
)
(5) (6)
ex ey A C Ax Ay Cx Cy
AAB A cos( AB )
11 17
ez ex ey Az 1 2 Cz 5 0
3 4e x 0 15e y 10ez (2) e y 0 4e x 13e y 10ez 2
V
所以
l
E 2rh h l / 0 E l /（2r 0） E e r l /（2r 0）
上式中
，求真空中任意点的电场强度。 解：设面电荷平面与x=0的平面重合，选长方体表面为高斯面， x 长方体底面与面电荷平行，且上下底面到面电荷的距离相等， 设距离为r，如图所示。由于面电荷无线大，则距离电荷平面 相等处其电场大小相等且x>0时，电场方向为 ex ，x<0时， r 电场方向为 - e 根据高斯定理 S E dS V / 0 dv r
（3） 设 于是
k kxex kyey kzez
k r kx rx kyry kz rz k xx k y y k zz
(k x x k y y k zz ) (k x x k y y k zz ) (k x x k y y k zz ) (k r ) ex ey ez x y z k xe x k y e y k zez k
3
s
n
1
y
1
z
• 3.7 两块无限大的导体平板分别置于x=0和 x=d处，板间充满电荷，其体电荷密度为 ， 两极板的电位分别为0和U0,如图所示，求两 导体板之间的电位和电场强度。 Y • 解：在x=0到x=d的空间中充满 电荷，电位函数满足一维泊松 X o d x d 方程，所以 dx 图1 其通解为
' x y z x y z
x y z R
52 (3) 2 (1) 2
35
•
所以与X、y、z轴的夹角分别为
x arccos
5 35
y arccos
3 35
z arccos
1 35
1.11
• 已知标量函数 u x yz ，求u在点（2,3,1）处 3 4 5 e e e e 沿着指定方向 的方向导数 50 50 50 e • 解：根据题意，指定方向 与X、Y、Z轴夹 4 5 cos cos 角的余弦值分别为 cos 3 50 50 50
1n 2n
s
s
1n
1 1n
1 y
5 0 20 cos(2 108 2.58 ) 80.6 1011 / m 2
E dt e x 3.1 10 3 A / m
B E t
H
1
1
t
( 6 ns , 2, 0, 0.3 )
左边 2r B（r）
B(r) 0
B(r) 0
因为内导体电流方向沿z正 方向，外导体电流方向沿z 负方向，且内外导体电流 大小相等，所以流过l包围 的面元的总电流为0。
• 2.31 媒质1的电参数为 5 、 3 、 0 ； 媒质2为理想导体。设y=0为理想导体表面， E e 20 cos(2 10 t 2.58z ) V /m y>0的区域内的电场强度为 • 试计算t=6ns时，（1）点p（2，0，0.3）处 的面电荷密度 s ；（2）点P处的H ；（3） y en 点P处的面电流密度 J s 。
