2、符号说明
瞬时值 --- 小写
u、iBiblioteka 有效值 --- 大写U、I
最大值 --- 大写+下标
Um
相量（复数） --- 大写 + “.” U
27
作业题： P65 2.2 2.3 2.10 2.11(1) (3)
28
29
A=a+jb
5
1. 复数的图形表示 1） 复数用点表示
A1=1+j A2=-3 A3=-3-j2 A4=3-j
＋j
3
2
1
A1
A2
－ 3 － 2－ 1 0 1 2 3 ＋ 1
－1
－2
A4
A3
－3
6
2） 复数用矢量表示 任意复数在复平面内还可用其对应的矢量
来表示。
矢量的长度称为模， 用r表示； 矢量与实正半 轴的夹角称为幅角， 用θ表示。 +j 模与幅角的大小决定了该复数的唯一性。
2）画在同一个复平面上表示相量的图 称为相量图。 （课本P37）
24
【例】写出下列相量对应的正弦量。 (见课本
P37 例2.10)
•
（1） U 22045V , f 50Hz
•
(2) I 10120 A, f 100Hz
解： (1) u 220 2 sin (2 50)t 45 V 220 2 sin 314t 45 V
（2） i 10 2 sin (2 100)t 120 A 10 2 sin 628t 120 A
25
小结：1、正弦波的四种表示法
波形图 瞬时值 相量图
i
Im

t
T
u Um sin t
U
I
复数 符号法
U a jb U e j U 26
但由于在电路中I 通常表征电流强度， 因此常用
j表示虚部单位， j= 1
这样复数可表示成A=a+jb。jb称为虚数。
3
复数表示
复数可以在复平面内用图形表示， 也可以用不同形式的表达式表示。
4
复平面介绍
下图为复平面图，横轴为实轴+1，纵轴为虚轴 j = 1
A = a + j b为复数， a是A的实部，b是A的虚部， A与实轴的夹角ψ称为辐角， r 为A的模。
(3）指数式：由尤拉公式ejθ=cosθ+j sinθ，得
A=r ejθ (4） 极坐标式： 在电路中，复数的模和幅角通 常用更简明的方式表示
A=r∠θ
9
【补充例题】 写出1， -1， j， -j的极坐标式，
并在复平面内做出其矢量图。 （参见课本P36 下至 P37 上）
解：
1）复数1的实部为1， 虚部为0，
一般情况下，复数的加减运算应把复数写成 代数式。
12
复数的加减运算还可以用做图法进行： 用平行四边形法则与三角形法则 （参见课本P35—36）
＋j B 0
A＋B
A ＋1
平 行 四边 形 法 则
＋j A＋B
0
B
A ＋1
三 角 形 法 则 (加 法 )
＋j
B A
0 A－B
－B ＋ 1
三 角 形 法 则 (减 法 )
b r
代数式：A=a+j b
极坐标式：A=r∠θ

0
a
+1
(矢量图)
7
由图可知， 复数用点表示法与用矢量表示法之 间的换算关系为
+j
r a2 b2



arctan b a
b
r
a r cos b r sin

0
a
+1
8
2. 复数的四种表达式 (1） 代数式: A=a+jb (2） 三角函数式： A=r cosθ+jr sinθ
解：
3）复数j的实部为0， 虚部为1，
其极坐标式为 j=1∠90°；
＋j
190
4） 复数-j的实部为0， 虚部为-1，
11 8 0
其极坐标式为 –j =1∠-90°。
0
10 ＋1
（A = a + j b）
1 － 9 0
11
3. 复数的四则运算 （P35） 1） 加减运算 设有两个复数分别为 A=a1+jb1=r1∠θ1, B=a2+jb2=r2∠θ2 则 A±B=(a1±a2)+j(b1±b2)
21
4、
正弦量的相量表示法中，在表示相量 的大写字母上打点“·”是为了与一般 的复数相区别。 （课本P37）
22
5、 用一个复数表示一个正弦量的意义
在于： 把正弦量之间的三角函数运算变成
了复数的运算，使正弦交流电路的计算 问题简化
（课本P37）
23
6、 需要强调的是： 1）只有同频率的正弦量，其相量才能 相互运算，才能画在同一个复平面上。
设正弦量:u Umsin( ωt ψ)
用相量表示:
U Ue j ψ U ψ
相量的模=正弦量的有效值 相量辐角=正弦量的初相角
电压的有效值相量 20
3、
由于正弦交流电路中的电压、电 流都是同频率的正弦量，故角频率这 一共同拥有的要素在分析计算过程中 可以略去，只在结果中补上即可。这 样在分析计算过程中，只需考虑最大 值和初相两个要素。 （课本P37）
Im θi
O
+1
(a) 以角速度ω旋转的复数
正弦量
i Im sin(t i )
2I sin(t i )
u Um sin(t u )
2U sin(t u )
i Im
θi O
ωt
(b) 旋转复数在虚轴上的投影
相量
Im Imi I Ii
Um U mu U Uu 18
13
2） 乘除运算 （P36） 设有两个复数
A=r1∠θ1,
B=r2∠θ2
则
A·B=r1r2∠(θ1+θ2)
A B

r1 r2
(1
2)
一般情况下，复数的乘除运算应把复数写成 较为简便的极坐标式。
14
2.3.2 正弦量的相量表示法
1. 旋转因子： 把模为1，幅角为θ的复数称为旋转因子， 即ejθ=1∠ θ 。
2.3 正弦量的相量表示法
学习内容： 1. 2. 复数的运算 3. 正弦量的相量表示
1
正弦量的相量表示法 实质：用复数表示正弦量
所以先学习复数知识
2
2.3 正弦量的相量表示法
2.3.1 复数简介 复数定义： 复数可表示成 A=a+bi。 其中a为复数的实部， b
复数的为虚部， i 1称为虚部单位。
正弦量的相量表示法—小结
1、正弦量相量的两种形式
最大值
Um

有效值 U
1）. 表示正弦量的复数称为相量 。若其
幅度用最大值表示 ，则为幅值相量： Um、Im
2）.实际应用中幅度更多采用有效值，则为有效值相量：
有效值相量U、I包含幅度与相位信息。 U、I 19
2、正弦量相量的书写方式
其极坐标式为1=1∠0°；
＋j
2）复数-1的实部为-1， 虚部为0，
190
其极坐标式为-1=1∠180°；
11 8 0 0
10 ＋1
（A = a + j b）
1 － 9 0
10
【补充例题1】 写出1， -1， j， -j的极坐标式，
并在复平面内做出其矢量图。
（参见课本P36 下至P37 上）
取任意复数A=r1 e j1 =r1∠θ1， 则A·1∠θ=r1∠(θ1+θ),
即任意复数乘以旋转因子后， 其模不变， 幅角在原来的 基础上增加了θ， 这就相当于把该复数逆时针旋转了θ角。 见图。
＋j A ej
r1

r1
1
O
A
15
＋1
如图所示,设θ=ωt是一个随时间匀速变化的角， 其 角速度为ω， 复数为A=Um∠ψu， A匀速旋转后 可惟一对应一正弦量：
Um ∠ψu→ Um sin (ωt+ψu)
正弦量的产生
16
2、正弦量的相量表示法 （课本P37） 正弦电流 i= Im sin(ωt + θi )与复数Im ∠θi
是相互对应的关系，可用复数Im∠θi来表示正弦电 流i，记为：
Im Ime j i I mi
并称其为相量。
17
+j ω