•
A=r cosθ+jr sinθ
• (3）指数式：由尤拉公式ejθ=cosθ+j sinθ，得
•
A=r ejθ
• (4） 极坐标式： 在电路中，复数的模和幅角通常用更简明 的方式表示
•
A=r∠θ
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平 行 四边 形 法 则
＋j A＋B
0
B
A ＋1
三 角 形 法 则 (加 法 )
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＋j
B A
0 A－B
－B ＋ 1
三 角 形 法 则 (减 法 )
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Im Ime j i I mi
并称其为相量。
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+j ω
Im θi
O
+1
(a) 以角速度ω旋转的复数
正弦量
i Im sin(t i )
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【补充例题】 写出1， -1， j， -j的极坐标式， 并在复平面内做出其矢量图。 （参见课本P36 下至P37 上）
解：
1）复数1的实部为1， 虚部为0，
其极坐标式为1=1∠0°；
＋j
2）复数-1的实部为-1， 虚部为0，
190
并在复平面内做出其矢量图。
（参见课本P36 下至P37 上）
解：
3）复数j的实部为0， 虚部为1，
其极坐标式为 j=1∠90°；
＋j
190
4） 复数-j的实部为0， 虚部为-1，
11 8 0
其极坐标式为 –j =1∠-90°。
0
10 ＋1
（A = a + j b）
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2.3.2 正弦量的相量表示法 • 1. 旋转因子： • 把模为1，幅角为θ的复数称为旋转因子， 即ejθ=1∠ θ 。
• 取任意复数A=r1 e j1=r1∠θ1， 则A·1∠θ=r1∠(θ1+θ), 即任
意复数乘以旋转因子后， 其模不变， 幅角在原来的基础上 增加了θ， 这就相当于把该复数逆时针旋转了θ角。见图。
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复数的加减运算还可以用做图法进行： 用平行四边形法则与三角形法则 （参见课本P35—36）
＋j B 0
A＋B
A ＋1
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• 2） 复数用矢量表示 • 任意复数在复平面内还可用其对应的矢量来表示。 • 矢量的长度称为模， 用r表示； 矢量与实正半轴的夹角称
为幅角， 用θ表示。 • 模与幅角的大小决定了该复数的唯一性。
+j
b r
代数式：A=a+j b 极坐标式：A=r∠θ
正弦量的产生
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2、正弦量的相量表示法 （课本P37）
正弦电流 i= Im sin(ωt + θi )与复数Im ∠θi 是相互对应的关系，可用复数Im∠θi来表示正弦电流 i，记为：
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2） 乘除运算 •则
A=r1∠θ1, B=r2∠θ2 A·B=r1r2∠(θ1+θ2)
A B
r1 r2
(1
2)
一般情况下，复数的乘除运算应把复数写成 较为简便的极坐标式。
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• 5、
•
用一个复数表示一个正弦量的意义在于：
•
把正弦量之间的三角函数运算变成了复数
的运算，使正弦交流电路的计算问题简化
• （课本P37）
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2I sin(t i )
u Um sin(t u )
2U sin(t u )
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i Im
θi O
ωt
(b) 旋转复数在虚轴上的投影
相量
Im Imi I Ii
Um U mu
U
U 18
所以先学习复数知识
2
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2.3 正弦量的相量表示法
• 2.3.1 复数简介
• 复数定义：
• 复数可表示成 A=a+bi。 其中a为复数的实部， b复数的为虚
部，
称为虚部单位。
i 1
• 但由于在电路中I 通常表征电流强度， 因此常用j表示虚部 单位， j=
• 这样复数可表示成A=a+jb。jb称为虚数。
b
r
a r cos b r sin
0
a
+1
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2. 复数的四种表达式
• (1） 代数式:
•
A=a+jb
• (2） 三角函数式：
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2.3 正弦量的相量表示法
• 学习内容： • 1. • 2. 复数的运算 • 3. 正弦量的相量表示
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正弦量的相量表示法 实质：用复数表示正弦量
0
a
+1 (矢量图) 7
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• 由图可知， 复数用点表示法与用矢量表示法之间的换算 关系为
+j
r a2 b2
arctan b a
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• 6、 • 需要强调的是： • 1）只有同频率的正弦量，其相量才能
相互运算，才能画在同一个复平面上。
• 2）画在同一个复平面上表示相量的图 称为相量图。
• （课本P37）
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＋j A ej
r1
O
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r1
A
1 15
＋1
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如图所示,设θ=ωt是一个随时间匀速变化的角， 其角速度为ω， 复数为A=Um∠ψu， A匀速旋转后可惟一对应一正弦量： Um ∠ψu→ Um sin (ωt+ψu)
（2） i 10 2 sin (2 100)t 120 A 10 2 sin 628t 120 A
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ITSM /小ITIL 结：1、正弦波的四种表示法
i
波形图
Im t
T
瞬时值 相量图
u Um sin t
U
I
复数 符号法
U a jb U e j 26 U
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1 － 9 0
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3. 复数的四则运算 （P35）
• 1） 加减运算
•
设有两个复数分别为
• • •则
A=a1+jb1=r1∠θ1, B=a2+jb2=r2∠θ2
•
A±B=(a1±a2)+j(b1±b2)
一般情况下，复数的加减运算应把复数写成代数式。
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