第四章（×）1．若向量组123,,ααα线性相关，则3α可由12,αα线性表示. （√）2．若向量组A 可由向量组B 线性表示，则()()R A R B ≤. （×）3．若向量组123,,ααα线性相关，则1α可由23,αα线性表示. （√）4．若向量组A 可由向量组B 线性表示，则()()R A R B ≤.5.若齐次线性方程组0AX =只有零解，则A 的列向量组线性无关.6．等价的向量组具有相同的秩. （ ）设A 为n 阶矩阵，则T A 与A 的特征值相同． （ ） 4．非零向量组的最大无关组存在且唯一． （ ）5．对于任意参数123,,m m m ，向量组11100m α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，22102m α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，33123m α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭总是线性无关． （ ） 6. 设V =({)}1,,,,,,212121=+++∈=n n Tn x x x R x x x x x x x 满足，则V 是向量空间. （ ）7.设21,V V 分别为向量组A ,B 生成的向量空间，且向量组A ,B 等价,则21V V =． 8.若存在一组数120m k k k ==== ，使得 11220m m k k k ααα+++= 成立，则向量组12,,,m ααα （ ）.A 线性相关 .B 线性无关 .C 可能线性相关，也可能线性无关 .D 部分线性相关9．已知43⨯的矩阵A 的行向量组线性无关，则=')(A R （ ）.A 1；.B 2； .C 4； .D 3.10．向量组12,,,m a a a （2m ≥）线性相关，则 （ ）.A 12,,,m a a a 中每一个向量均可由其余向量线性表示； .B 12,,,m a a a 中每一个向量均不可由其余向量线性表示； .C 12,,,m a a a 中至少有一个向量可由其余向量线性表示；.D 12,,,m a a a 中仅有一个向量可由其余向量线性表示．11．下列集合中，可作为向量空间的是（ ）.A =V {}b Ax x =；.B =V (){}R x x x x x n Tn ∈=,,,,022 ；.C =V (){}R x x x x x n Tn ∈=,,,,122 ；.D =V (){}1,,,.1121=++∈=n n Tn x x R x x x x x x 且．12．设齐次方程Ax ＝0的通解为x=c 1102⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭+c 2011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，（12,c c R ∈） 则系数矩阵A 为（ ） A.()1,1,2- B.⎪⎭⎫⎝⎛-110102 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛--110201D. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11022411013. 向量组A ：1a ，2a …m a (m ≥3）线性无关的充要条件是（ ）A. 存在不全为零的数1k ,2k ,…m k ，使02211≠+++m m a k a k a kB. A 组中任意两个向量都线性无关C. A 组中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示D. A 组中任意一个向量，都不能用其余向量线性表示14． 设向量组1a ，2a ，3a 线性无关，则下列向量组线性无关的是（ ）A. 1a ＋2a ，2a ＋3a ，3a －1aB. 1a ＋2a ，2a ＋3a ，1a ＋22a ＋3aC. 1a ＋22a ，22a ＋33a ，33a ＋1aD. 1a ＋2a ＋3a ，21a －32a ＋223a ，31a ＋52a －53a15．已知向量组A ：1α，2α，3α，4α线性无关，则与A 等价的向量组是 （ ）A. 1α＋2α，2α－3α，3α－4α，4α－1αB. 1α－2α，2α－3α，3α－4α，4α－1αC. 1α＋2α，2α－3α，3α＋4α，4α－1αD. 1α＋2α，2α＋3α，3α＋4α，4α +1α16．设A 为n 阶矩阵，且()1-=n A R ，1α，2α是A x ＝0的两个不同的解，k 为任意常数，则A x ＝0的通解为（ ）A. 1αkB. 2αkC. k (1α-2α)D. k (1α+2α)17．设向量组A ：1α，2α，…，s α，B ：1α，2α，…，s α… r s +α则必有（ ）A. A 相关⇒B 相关；B. A 无关⇒B 无关；C. B 相关⇒A 相关；D. B 相关⇒A 无关.18. 设n 元线性方程组b Ax =，以下说法错误的是（ ）.(A) b Ax =有解的充分必要条件是0≠A ；(B) b Ax =无解的充分必要条件是),()(b A R A R < ； (C) b Ax =有唯一解的充分必要条件是n b A R A R ==),()(；(D) b Ax =有无穷多解的充分必要条件是n b A R A R <=),()( 19．若A 是n 阶可逆矩阵，下列说法中错误的是（ ）．A ．0≠A ；B ．A 的列向量组线性相关；C ．()n A R =；D ．A 与单位阵E 行等价．20．设b Ax =为非齐次线性方程组，0=Ax 为其对应的齐次线性方程组，下列说法中错误的是（ ）．A ．若1ξ=x ，2ξ=x 为0=Ax 的解，则21ξξ+=x 也是0=Ax 的解；B ．若1ξ=x 为0=Ax 的解，k 为实数，则1ξk x =也是0=Ax 的解；C ．若1η=x 及2η=x 都是b Ax =的解，则21ηη+=x 也是b Ax =的解；D ．若η=x 为b Ax =的解，ξ=x 为0=Ax 的解，则ηξ+=x 是b Ax = 的解． 21.设矩阵()4321,,,a a a a A =，其中432,,a a a 线性无关，3212a a a -=，向量4321a a a a b +++=，则方程b Ax =的通解为：_______．22. 设500013024A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，33B ⨯的列向量组线性无关，则()R B = 3 ，()R AB =3 .（用行列式 满秩来判断）23. 已知维列向量组所生成的向量空间为, 则的维数dim( )；24. 若向量组T 3T 2T 1)0,0,1(,),-12,(,)2,3,1(==-=αααt 线性相关,则t =.25．设齐次线性方程组Ax =0的通解为x=c 1102⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭+c 2011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，（12,c c R ∈）则系数矩阵A=26.元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为, 已知是它的个解向量 , 其中, , 则该方程组的通解是27.已知123,,ηηη是三元非齐次线性方程组Ax =b 的解，且R (A )=1及 122313111,,,011001⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ηηηηηη求方程组Ax =b 的通解.28.设四元非齐次方程组的系数矩阵的秩为3，321,,ηηη是它的三个解向 量，且()T54321=η，()T432132=+ηη，则该方程组的通解为：______ _． 29．以()()TTc c x 1042013221-+-= 为通解的一个齐次线性方程组为：_____________．30.已知向量组123,,a a a 线性无关,证明向量组112223313,,b a a b a a b a a =+=+=+也线性无关.31.设向量组123,,ααα线性无关，证明：1123βααα=++，212323βααα=++，312349βααα=++也线性无关.32设r r αααβααβαβ+++=+== 2121211,,,且向量组r ααα,,,21 线性无关,证明向量组r βββ,,,21 线性无关. 33设向量组线性无关 , 问: 常数满足什么条件时, 向量组,,也线性无关。

34设s ηη,,1 是非齐次线性方程组b Ax =的s 个解，s k k ,1是实数，满足11=++s k k ．证明 s s k k x ηη++= 11 也是它的解．35．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0231085235703273812A ，求A 的列向量组的最大无关组并把其余向量用最大无关组线性表示.36. 设()T3,2,1,21=α，()T3,5,1,12-=α，()31,0,2,1T α=-- ，()41,2,9,8Tα=.(1)求()4321,,,ααααR ；(2)找一极大无关组，并用此极大无关组线性表示其余向量.37.求向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4152,0312,1021,12014321αααα的一个最大线性无关组。

38.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=141210123140702314321αααα，，，，求：（1）该向量组的秩；（2）39.该向量组的一个极大线性无关组；（3）将其余向量用该极大线性无关组表示。

40.设向量组：T 1)1,1,1(-=α，T 2)2,4,3(-=α，T 3)0,4,2(=α，T 4)1,1,0(=α，试求此向量组秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示.41.设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=97963422644121121112A ，求A 的列向量组的最大无关组并把其余向量用最大无关组线性表示.42.设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0231085235703273812A ，求A 的列向量组的最大无关组并把其余向量用最大无关组线性表示.43．设线性方程组为12345123452345123451323(*)22635433x x x x x x x x x x ax x x x x x x x x b++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩,(1) 确定a 与b 的值，使线性方程组（*）有解；(2) 在线性方程组（*）有解的情形下，求（*）的通解44. 设112224336⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，求一秩为2的3阶方阵B 使AB =0. 45. 设有下列线性方程组（Ⅰ）和(Ⅱ)（Ⅰ）1241234123264133x x x x x x x x x x +-=-⎧⎪---=⎨⎪--=⎩ (Ⅱ) 123423434521121x m x x x nx x x x x t +--=-⎧⎪--=-⎨⎪-=-⎩(1) 求方程组（Ⅰ）的通解；(2) 当方程组（Ⅱ）中的参数m,n,t 为何值时，（Ⅰ）与(Ⅱ)同解？46．求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=---=+-+-=-+-0490243032542143214321x x x x x x x x x x x 的基础解系.。