滚动训练(一)一、填空题1．“△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B全是锐角”的否命题为________________________．考点四种命题的概念题点按要求写命题答案△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角解析若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角，此处“全”的否定是“不全”．2．已知命题“若x＝5，则x2－8x＋15＝0”，那么它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中，真命题有________个．答案 1解析原命题“若x＝5，则x2－8x＋15＝0”为真命题．当x2－8x＋15＝0时，x＝3或x＝5.故其逆命题：“若x2－8x＋15＝0，则x＝5”为假命题．又由四种命题之间的关系知该命题的逆否命题为真命题，否命题为假命题．3．有下列命题：①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②函数y＝ax2＋2x－1的图象与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何非空集合的真子集．真命题的个数是________．答案 2解析①当m＝0时，方程是一元一次方程；②方程ax2＋2x－1＝0(a≠0)的判别式Δ＝4＋4a，其值不一定大于或等于0，有可能小于0，所以与x轴至少有一个交点不能确定；③④正确．4．给出下列三个命题：①“若x2＋2x－3≠0，则x≠1”为假命题；②若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；③命题p：∀x∈R,2x＞0，则綈p：∃x∈R,2x≤0.其中正确的个数是________．考点含有一个量词的命题题点含一个量词的命题真假判断答案 1解析①命题“若x＝1，则x2＋2x－3＝0”，是真命题，所以其逆否命题亦为真命题，因此①不正确．②不正确．③根据含量词的命题否定方式，可知命题③正确．5．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分不必要条件是－2<x<－1，则a的取值范围是________．答案(2，＋∞)解析根据充分条件、必要条件与集合间的包含关系，应有(－2，－1)?{x|(a＋x)(1＋x)<0}，故有a>2.6．已知命题p：∃x∈R，mx2＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1＞0.若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是________．考点“p∧q”形式命题真假性的判断题点由“p∧q”形式命题的真假求参数的取值范围答案(－2,0)解析由题意可知，若p∧q为真命题，则命题p和命题q均为真命题．命题p为真命题，则m＜0.命题q为真命题，则m2－4＜0，即－2＜m＜2.所以命题p和命题q均为真命题时，实数m的取值范围是(－2,0)．7．命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是________．考点全称量词的否定题点全称量词的命题的否定答案∃x∈[0，＋∞)，x3＋x<0解析全称命题的否定是存在性命题．全称命题：∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0的否定是存在性命题：∃x∈[0，＋∞)，x3＋x<0.8．已知p：x2＋2x－3＞0；q：13－x＞1.若“(綈q)∧p”为真命题，则x的取值范围是________________________________________________________________________．考点简单逻辑联结词的综合应用题点由含量词的复合命题的真假求参数的范围答案(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)解析 因为“(綈q )∧p ”为真，所以q 假p 真．而当q 为真命题时，有x －2x －3＜0，即2＜x ＜3， 所以当q 为假命题时有x ≥3或x ≤2；当p 为真命题时，由x 2＋2x －3＞0，解得x ＞1或x ＜－3，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1或x ＜－3，x ≥3或x ≤2， 解得x ＜－3或1＜x ≤2或x ≥3.9．设命题p ：若e x ＞1，则x ＞0，命题q ：若a ＞b ，则1a ＜1b，则命题p ∧q 为________命题．(填“真”“假”)考点 “p ∧q ”形式命题真假性的判断题点 判断“p ∧q ”形式命题的真假答案 假解析 ∵命题p ：若e x ＞1，则x ＞0，∴可知命题p 是真命题．∵命题q ：若a ＞b ，则1a ＜1b ，当a ＝1，b ＝－2时，满足a ＞b ，但1a ＞1b ，∴命题q 为假命题，∴命题p ∧q 为假命题．10．已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋1，若命题“∃x ＞0，f (x )＜0”为真，则m 的取值范围是________．考点 存在性命题的真假性判断题点 存在性问题求参数的取值范围答案 (－∞，－2)解析 因为函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象过点(0,1)，所以若命题“∃x ＞0，f (x )＜0”为真，则函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象的对称轴必在y 轴的右侧，且与x 轴有两个交点，所以Δ＝m 2－4＞0，且－m 2＞0，所以m ＜－2，即m 的取值范围是(－∞，－2)．11．已知条件p ：x 2－3x －4≤0，条件q ：|x －3|≤m ，若綈q 是綈p 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________．考点 充分、必要条件的概念及判断题点 由充分、必要条件求取值范围答案 [4，＋∞)解析 由x 2－3x －4≤0，得－1≤x ≤4，设A ＝{x |－1≤x ≤4}，若|x －3|≤m 有解，则m ＞0(m ＝0时不符合已知条件)，则－m ≤x －3≤m ，得3－m ≤x ≤3＋m ，设B ＝{x |3－m ≤x ≤3＋m }．∵綈q 是綈p 的充分不必要条件，∴p 是q 的充分不必要条件，∴p ⇒q 成立，但q ⇒p 不成立，即A ?B ，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，3－m ＜－1，3＋m ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，3－m ≤－1，3＋m ＞4， 即⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，m ＞4，m ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞0，m ≥4，m ＞1，得m ≥4，故m 的取值范围是[4，＋∞)．二、解答题12．判断下列各题中p 是q 的什么条件．(1)p ：ax 2＋ax ＋1＞0的解集为R ，q ：0＜a ＜4；(2)p ：A ?B ，q ：A ∪B ＝B .考点 充分、必要条件的概念及判断题点 充分、必要条件的判断解 (1)∵当0＜a ＜4时，Δ＝a 2－4a ＜0，∴当0＜a ＜4时，ax 2＋ax ＋1＞0恒成立，故q ⇒p .而当a ＝0时，ax 2＋ax ＋1＞0恒成立，∴pD ⇒/q ，∴p 是q 的必要不充分条件．(2)∵A ?B ⇒A ∪B ＝B ，∴p ⇒q .而当A ∪B ＝B 时，A ⊆B ，即qD ⇒/p ，∴p 是q 的充分不必要条件．13．设集合A ＝{x |－1≤x ≤7}，B ＝{x |n ＋1≤x ≤2n －3}，若“B 是A 的子集”是真命题，求实数n 的取值范围．考点 命题的真假判断题点 由命题的真假求参数的取值范围解 ①当B ＝∅，即n ＋1＞2n －3时，B ⊆A .此时解得n ＜4.②当B ≠∅时，由B ⊆A ，得⎩⎪⎨⎪⎧ n ＋1≤2n －3，n ＋1≥－1，2n －3≤7，解得4≤n ≤5.综上所述，实数n 的取值范围是(－∞，5]．三、探究与拓展14．设0<x <π2，则“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的________________条件． 答案 必要不充分解析 因为0<x <π2，所以0<sin x <1.由x ·sin x <1知x sin 2x <sin x <1，因此必要性成立．由x sin 2x <1，得x sin x <1sin x ，而1sin x>1，因此充分性不成立． 15．已知命题p ：方程a 2x 2＋ax －2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0，若命题“p ∨q ”是假命题，求实数a 的取值范围．解 由a 2x 2＋ax －2＝0，得(ax ＋2)(ax －1)＝0.显然a ≠0，∴x ＝－2a 或x ＝1a. 若命题p 为真，∵x ∈[－1,1]，故⎪⎪⎪⎪－2a ≤1或⎪⎪⎪⎪1a ≤1， ∴|a |≥1.若命题q 为真，即只有一个实数x 满足x 2＋2ax ＋2a ≤0，即函数y ＝x 2＋2ax ＋2a 的图象与x 轴只有一个交点．∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.∵命题“p ∨q ”为假命题，∴a 的取值范围是{a |－1<a <0或0<a <1}．章末复习 学习目标 1.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系.2.理解充分条件、必要条件的概念，掌握充分条件、必要条件的判定方法.3.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假.4.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、存在性命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定．1．命题及其关系(1)判断一个语句是否为命题，关键是：①为陈述句；②能判断真假．(2)互为逆否命题的两个命题的真假性相同．(3)四种命题之间的关系如图所示．2．充分条件、必要条件和充要条件(1)定义若p则q为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，则称p是q的充分必要条件，简称充要条件．(2)特征充分条件与必要条件具有以下两个特征：①对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件；②传递性：若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的充分条件．即若p⇒q，q⇒r，则p⇒r.必要条件和充分条件一样具有传递性，但若p是q的充分条件，q 是r的必要条件，则p与r的关系不能确定．3．简单的逻辑联结词与量词(1)常见的逻辑联结词有“且”、“或”、“非”．(2)短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中通常称为全称量词，通常用符号“∀x”表示“对任意x”．(3)短语“有一个”“有些”“存在一个”“至少一个”等表示部分的量词在逻辑中通常称为存在量词，通常用符号“∃x”表示“存在x”．(4)含有全称量词的命题叫做全称命题，含有存在量词的命题叫做存在性命题．1．已知命题p：∀x＞0，x3＞0，那么綈p：∃x＞0，x3≤0.(√)2．命题“若x ＞0且y ＞0，则x ＋y ＞0”的否命题是假命题．(√)3．“φ＝π2”是“y ＝sin(2x ＋φ)为偶函数”的充要条件．(×)4．“若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆命题是真命题．(×)类型一 命题及其关系例1 (1)有下列命题：①“若x ＋y >0，则x >0且y >0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若q ≤1，则x 2＋2x ＋q ＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”．其中是真命题的是________．(填序号)考点 四种命题的真假判断题点 利用四种命题的关系判断真假答案 ①③(2)设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是________．(填序号)①p ∨q ；②p ∧q ；③(綈p )∧(綈q )；④p ∨(綈q )．考点 “p ∨q ”形式的命题题点 判断“p ∨q ”形式命题的真假答案 ①解析 由向量数量积的几何意义可知，命题p 为假命题；命题q 中，当b ≠0时，a ，c 一定共线，故命题q 是真命题．故①为真命题．反思与感悟 (1)互为逆否命题的两命题真假性相同．(2)“p 与綈p ”一真一假，“p ∨q ”一真即真，“p ∧q ”一假就假．跟踪训练1 (1)命题“若x 2>1，则x <－1或x >1”的逆否命题是________． 考点 四种命题题点 四种命题概念的理解答案 若－1≤x ≤1，则x 2≤1(2)设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是________．(填序号)①p 为真；②q 为真；③p ∧q 为假；④p ∨q 为真．考点 “p ∧q ”形式的命题题点 判断“p ∧q ”形式命题的真假答案 ③解析 由题意知p 是假命题，q 是假命题，因此只有③正确．类型二 充分条件与必要条件例2 已知p ：x －5x －3≥2，q ：x 2－ax ≤x －a ，若綈p 是綈q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解 由p 得1≤x <3，∵q ：x 2－ax ≤x －a ，∴x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0，即(x －1)(x －a )≤0，①当a <1时，a ≤x ≤1；②当a ＝1时，x ＝1；③当a >1时，1≤x ≤a .∵綈p 是綈q 的充分条件，∴q 是p 的充分条件．设q 对应集合A ，p 对应集合B ，则A ⊆B ，当a <1时，A ⊈B ，不合题意；当a ＝1时，A ⊆B ，符合题意；当a >1时，1≤x ≤a ，要使A ⊆B ，则1<a <3.综上所述，a 的取值范围为[1,3)．反思与感悟 若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，即q 的充分条件是p ，p 的必要条件是q .如果将“必要条件”理解为“必然结果”，则可认为p 的必然结果是q ，q 是p 的必然结果．则p ⇏q 易表述为以下几种说法：p 是q 的不充分条件，q 的不充分条件是p ；q 是p 的不必要条件，p 的不必要条件是q .跟踪训练2 已知命题p ：(4x －3)2≤1，命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解 由(4x －3)2≤1，得－1≤4x －3≤1，即12≤x ≤1.由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，得(x －a )(x －a －1)≤0，即a ≤x ≤a ＋1.因为p 是q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12，a ＋1≥1，解得0≤a ≤12. 即实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，12 类型三 等价转化思想的应用例3 已知c >0且c ≠1，设p ：函数y ＝log c x 在(0，＋∞)上是减少的；q ：不等式x ＋|x －2c |>1的解集为R .如果p 和q 有且仅有一个为真命题，求c 的取值范围．解 函数y ＝log c x 在(0，＋∞)上是减少的⇔0<c <1.不等式x ＋|x －2c |>1的解集为R⇔函数y ＝x ＋|x －2c |在R 上恒大于1.∵x ＋|x －2c |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2c ，x ≥2c ，2c ，x <2c ，∴函数y ＝x ＋|x －2c |在R 上的最小值为2c ，∴2c >1且c ≠1，得c >12且c ≠1. 如果p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ 0<c <1，0<c ≤12，解得0<c ≤12； 如果q 真p 假，则⎩⎪⎨⎪⎧ c ＞1，c >12且c ≠1，解得c ＞1. ∴c 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，12∪(1，＋∞)．反思与感悟 等价转化思想是包含在化归思想中的一种比较具体的数学思想，本章主要体现在四种命题间的相互转化与集合之间的等价转化、原命题与其逆否命题之间的等价转化等，即以充要条件为基础，把同一种数学意义的内容从一种数学语言形式等价转化为另一种数学语言形式，从而使复杂问题简单化、具体化．跟踪训练3 已知命题p ：(x ＋1)(x －5)≤0，命题q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． (1)若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；(2)若m ＝5，“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数x 的取值范围． 解 (1)由命题p ：(x ＋1)(x －5)≤0，解得－1≤x ≤5. 命题q ：1－m ≤x <1＋m (m >0)．∵p 是q 的充分条件，∴[－1,5]⊆[1－m,1＋m ]，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－1，5≤1＋m ，解得m ≥4， 则实数m 的取值范围为[4，＋∞)． (2)∵m ＝5，∴命题q ：－4≤x ≤6. ∵“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题， ∴命题p ，q 为一真一假．当p 真q 假时，可得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤5，x <－4或x ＞6，无解；当q 真p 假时，可得⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >5，－4≤x ≤6，解得－4≤x <－1或5<x ≤6.因此x 的取值范围是[－4，－1)∪(5,6]． 类型四 分类讨论思想的应用例4 命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．解 设g (x )＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0，∴－2<a <2. 又∵函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数， ∴3－2a >1，∴a <1.又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a ≥1，∴1≤a <2；②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a <1，∴a ≤－2.综上可知，所求实数a 的取值范围 为(－∞，－2]∪[1,2)．反思与感悟 分类讨论思想是中学数学中常用的数学思想之一，利用分类讨论思想解答问题已成为高考中考查学生知识和能力的热点．这是因为：其一，分类讨论问题一般都覆盖较多的知识点，有利于对学生知识面的考查；其二，解分类讨论问题需要有一定的分析能力，一定的分类讨论思想与技巧，因此有利于对能力的考查；其三，分类讨论问题常与实际问题相联系．解决分类讨论问题的实质是：整体问题化为部分来解决，化成部分后，可以增加题设条件，这也是解分类讨论问题总的指导思想．跟踪训练4 已知a >0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)上单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，如果p ∨q 为真，p ∧q 为假，求a 的取值范围．解 方法一 由题意知，p 和q 有且只有一个为真．p 为真时，0＜a ＜1；∵y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴有两个不同交点，∴Δ＝(2a －3)2－4＞0，得a ＜12或a ＞52，即q 为真时，0<a ＜12或a ＞52.(1)当p 为真，且q 为假时，a ∈(0,1)∩⎝⎛⎭⎫⎣⎡⎭⎫12，1∪⎝⎛⎦⎤1，52，即a ∈⎣⎡⎭⎫12，1.(2)当p 为假，且q 为真时，a ∈(1，＋∞)∩⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫0，12∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞，即a ∈⎝⎛⎭⎫52，＋∞.综上，a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，1∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞.方法二 ∵A ＝{a |p (a )}＝{a |0<a <1}，B ＝{a |q (a )}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪0<a <12或a >52，∴p 和q 有且只有一个为真⇔a ∈A ∪B 且a ∉A ∩B ， 故a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫12，1∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞.1．设命题p ：∃n ∈N *，n 2>2n ，则綈p 为_______________． 答案 ∀n ∈N *，n 2≤2n解析 将命题p 的量词“∃”改为“∀”，“n 2>2n ”改为“n 2≤2n ”．2．已知命题p ：|x ＋1|>2，命题q ：x >a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．答案 [1，＋∞)解析 綈p 是綈q 的充分不必要条件的等价命题为q 是p 的充分不必要条件，即q ⇒p ，而p ⇏q ，命题p 化简为x >1或x <－3，所以当a ≥1时，q ⇒p .3．给出以下四个判断：①若“p 或q ”为真命题，则p ，q 均为真命题；②命题“若x ≥4且y ≥2，则x ＋y ≥6”的逆否命题为“若x ＋y ＜6，则x ＜4且y ＜2”； ③若x ≠300°，则cos x ≠12；④命题“∃x ∈R ，e x ≤0”是假命题． 其中是真命题的是________．(填序号) 考点 命题真假性的判断 题点 命题的真假性判断答案④解析若“p或q”为真命题，则p，q至少有一个为真命题，故①错误；命题“若x≥4且y≥2，则x＋y≥6”的逆否命题为“若x＋y＜6，则x＜4或y＜2”，故②错误；若x≠300°，则cos x≠12，错误，如x＝60°≠300°，但cos 60°＝12；由指数函数的值域可知，命题“∃x∈R，e x≤0”是假命题．4．对任意x∈[－1,2]，x2－a≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．考点全称命题的真假性判断题点恒成立求参数的取值范围答案(－∞，0]解析由x2－a≥0，得a≤x2，故a≤(x2)min，得a≤0.5．分别指出下列各组命题的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的新命题的真假．(1)p：2>2，q：2＝2；(2)p：∅是{0}的真子集，q：0∈∅；(3)p：函数y＝x2＋2x＋5的图象与x轴有公共点，q：方程x2＋2x＋5＝0没有实数根．考点“或”“且”“非”的综合问题题点判断复合命题的真假解(1)∵p：2>2，是假命题，q：2＝2，是真命题，∴命题p∨q是真命题，p∧q是假命题，綈p是真命题．(2)∵p：∅是{0}的真子集，是真命题，q：0∈∅，是假命题，∴命题p∨q是真命题，p∧q是假命题，綈p是假命题．(3)∵p：函数y＝x2＋2x＋5的图象与x轴有公共点，是假命题，q：方程x2＋2x＋5＝0没有实数根，是真命题，∴命题p∨q是真命题，p∧q是假命题，綈p是真命题．1．判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含义，应根据命题中所出现的逻辑联结词进行命题结构的分析与真假的判断．2．判断命题真假的步骤：确定复合命题的构成形式 ⇒判断其中简单命题的真假 ⇒根据真值表判断复合命题的真假3．命题p ∧q ，p ∨q ，綈p 的真假判断，如下表：4.含有一个量词的命题的否定：特别提醒：(1)全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题． (2)命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念．对一个命题进行否定，就是要对其结论进行否定，而否命题是既否定条件又否定结论．一、填空题1．命题“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定是________． 答案 ∃x ∈R ，x 2＝x解析 全称命题的否定是存在性命题，所以“∀x ∈R ，x 2≠x ”的否定为“∃x ∈R ，x 2＝x ”．2．下列命题中的假命题是________．(填序号)①∀x∈R,2x－1>0；②∀x∈N*，(x－1)2>0；③∃x∈R，lg x<1；④∃x∈R，tan x＝2.答案②解析①中命题是全称命题，易知2x－1>0恒成立，故是真命题；②中命题是全称命题，当x＝1时，(x－1)2＝0，故是假命题；③中命题是存在性命题，当x＝1时，lg x＝0，故是真命题；④中命题是存在性命题，依据正切函数定义，可知是真命题．3．已知直线l1：ax＋y＝1和直线l2：9x＋ay＝1，则“a＋3＝0”是“l1∥l2”的________条件．答案充分不必要解析因为两直线平行，所以有a2－9＝0，解得a＝±3，当a＝±3时，显然两条直线平行，故“a＋3＝0”是“l1∥l2”的充分不必要条件．4．下列命题中，为真命题的全称命题是________．(填序号)①对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0；②菱形的两条对角线相等；③∃x，x2＝x；④对数函数在定义域上是单调函数．答案④解析①中含有全称量词“任意”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，是假命题；②④在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等；③是存在性命题，④正确．5．命题p：若ac＝b，则a，b，c成等比数列，则命题p的否命题是________命题．(填“真”“假”)答案假解析其原命题的否命题是：若ac≠b，则a，b，c不成等比数列．若b＝－ac，则b2＝ac，此时a，b，c也可以成等比数列，故为假命题．6．已知a，b为任意非零向量，有下列命题：①|a|＝|b|；②a2＝b2；③a2＝a·b.其中可以作为a＝b的必要不充分条件的是________．(填序号)答案①②③解析由a＝b可以推得①，②，③均成立，而由①，②或③都推不出a＝b.7．下列有关命题的叙述，①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题；②“x>5”是“x2－4x－5>0”的充分不必要条件；③命题p：∃x∈R，使得x2＋x－1<0，则綈p：∀x∈R，使得x2＋x－1≥0；④命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2－3x＋2≠0”．其中错误的个数为________．答案 2解析若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真，所以p∧q不一定为真，所以①错误；x2－4x－5>0得x>5或x<－1，所以“x>5”是“x2－4x－5>0”的充分不必要条件，②正确；根据存在性命题的否定是全称命题知③正确；“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2，则x2－3x＋2≠0”，所以④错误，所以错误命题的个数为2.8．有下列命题：①垂直于同一条直线的两个平面互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；③若直线m，n与同一个平面所成的角相等，则m，n互相平行；④若直线m，n是异面直线，则与m，n都相交的两条直线是异面直线．其中假命题的个数是________．答案 3解析①垂直于同一条直线的两个平面互相平行，正确；②垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，错误；③若直线m，n与同一个平面所成的角相等，则m，n互相平行或相交或异面，错误；④若直线m，n是异面直线，则与m，n都相交的两条直线是异面直线或相交直线，错误．9．命题p：若a>0，b>0，则ab＝1是a＋b≥2的必要不充分条件，命题q：函数y＝log2x－3x＋2的定义域是(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则以下四个命题中正确的是________．(填序号)①“p ∨q ”为假；②“p ∧q ”为真；③p 真q 假；④p 假q 真． 答案 ④解析 由命题p ：a >0，b >0，ab ＝1得a ＋b ≥2ab ＝2，所以p 为假命题； 命题q ：由x －3x ＋2>0得x <－2或x >3，所以q 为真命题．10．已知命题p ：若a ＝(1,2)与b ＝(－2，λ)共线，则λ＝－4；命题q ：任意k ∈R ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2－2y ＝0相交．则下面结论正确的是________．(填序号)①(綈p )∨q 是真命题；②p ∧(綈q )是真命题；③p ∧q 是假命题；④p ∨q 是假命题． 答案 ①解析 命题p 为真，命题q ：圆心(0,1)到直线kx －y ＋1＝0的距离为d ＝0k 2＋1<1，命题q 是真命题．故(綈p )∨q 是真命题．11．定义f (x )＝{x }({x }表示不小于x 的最小整数)为“取上整函数”，例如{1.2}＝2，{4}＝4.“取上整函数”在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等都是按照“取上整函数”进行计费的．以下关于“取上整函数”的性质是真命题的序号是________．(填序号)①f (2x )＝2f (x )；②若f (x )＝f (y )，则x －y <1；③任意x ，y ∈R ，f (x ＋y )≤f (x )＋f (y )； ④f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f (2x )；⑤函数f (x )为奇函数． 答案 ②③解析 根据新定义“取上整函数”的意义f (2x )＝2f (x )不一定成立，如x 取1.5；f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f (2x )不一定成立，如x 取0；函数f (x )不满足奇函数的关系，如f (1.6)＝2，f (－1.6)＝－1.故答案为②③.二、解答题12．对于任意实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解 令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≥－2，又∵∀x ∈R ，sin x ＋cos x >m 恒成立， ∴只要m <－2即可．∴所求m 的取值范围是(－∞，－2)．13．已知命题p ：“存在a >0，使函数f (x )＝ax 2－4x 在(－∞，2]上单调递减”，命题q ：“存在a ∈R ，使∀x ∈R,16x 2－16(a －1)x ＋1≠0”．若命题“p ∧q ”为真命题，求实数a 的取值范围．解 若p 为真，则对称轴x ＝－－42a ＝2a 在区间(－∞，2]的右侧，即2a ≥2，∴0<a ≤1. 若q 为真，则方程16x 2－16(a －1)x ＋1＝0无实数根， ∴Δ＝[－16(a －1)]2－4×16<0，∴12<a <32. ∵命题“p ∧q ”为真命题， ∴命题p ，q 都为真，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，12<a <32，∴12<a ≤1. 故实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤12，1.三、探究与拓展14．已知直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的________条件．考点 充分、必要条件的概念及判断 题点 充分不必要条件的判断 答案 充分不必要解析 由直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，易知k ≠0，且圆心O 到直线l 的距离d ＝11＋k 2＜1，所以|AB |＝21－d 2＝21－11＋k2＝2k 21＋k 2. 若k ＝1，则|AB |＝2，d ＝22， 所以△OAB 的面积为12×2×22＝12. 反过来，若△OAB 的面积为12，则S ＝12×11＋k 2×2k 21＋k 2＝k 21＋k 2＝12， 解得k ＝±1.故“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分不必要条件．15．设命题p ：a ＞1；命题q ：不等式－3x ≤a 对一切正实数x 均成立．(1)若命题q 为真命题，求实数a 的取值范围；(2)若命题“p ∨q ”为真命题，且“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围． 解 (1)∵x ＞0，∴3x ＞1，∴－3x ＜－1，∵－3x ≤a ，∴a ≥－1，∴实数a 的取值范围是[－1，＋∞)．(2)由命题“p ∨q ”为真，且“p ∧q ”为假，得命题p ，q 一真一假．①当p 真q 假时，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1，a ＜－1，无解； ②当p 假q 真时，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≥－1，解得－1≤a ≤1，∴实数a 的取值范围是[－1,1]．章末检测试卷(一)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．命题：“若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0”的逆否命题是________．答案 若a ≠0且b ≠0，则ab ≠02．命题“∀x ∈R ，x 2－2x ＋1≥0”的否定是________．答案 ∃x ∈R ，x 2－2x ＋1＜0解析 原命题是全称命题，其否定是存在性命题．3．命题“对于正数a ，若a >1，则lg a >0”及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数为________．答案 4解析 原命题“对于正数a ，若a >1，则lg a >0”是真命题；逆命题“对于正数a ，若lg a >0，则a >1”是真命题．∴否命题与逆否命题也都是真命题．故真命题的个数为4.4．A ＝{x ||x －1|>1，x ∈R }，B ＝{x |log 2x >1，x ∈R }，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案 必要不充分解析 由题意，得A ＝{x |x <0或x >2}，B ＝{x |x >2}，所以B ⊆A ，所以x ∈B ⇒x ∈A ，但x ∈AD ⇒/x ∈B ，所以“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件．5．“实数a 和b 都不是有理数”的否定为________________________________． 答案 实数a 和b 至少有一个是有理数解析 将“都不是”改成“至少有一个是”．6．设集合A ＝{x |－2－a <x <a ，a >0}，命题p ：1∈A ，命题q ：2∈A .若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则a 的取值范围是________．答案 (1,2]解析 若p 为真命题，则－2－a <1<a ，解得a >1.若q 为真命题，则－2－a <2<a ，解得a >2.由题意，得若p 假则q 真，若p 真则q 假，即⎩⎨⎧ 0<a ≤1，a >2或⎩⎪⎨⎪⎧a >1，0<a ≤2，∴1<a ≤2.7．设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的________条件．答案 充分不必要解析 由题意知函数f (x )＝a x 在R 上是减函数等价于0<a <1，函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数等价于0<a <1或1<a <2，∴“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件．8．设有两个命题：①关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立；②函数f (x )＝－(5－2a )x 是减函数．若两个命题中有且只有一个是真命题，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，－2]解析 ①若x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，则Δ＝4a 2－16<0，解得－2<a <2；②若f (x )＝－(5－2a )x 是减函数，则5－2a >1，a <2.若①真②假，则a ∈∅；若①假②真，则a ≤－2.9．若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________． 答案 3解析 由已知可得m ≥tan x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3恒成立． 设f (x )＝tan x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，显然该函数为增函数， 故f (x )的最大值为f ⎝⎛⎭⎫π3＝tan π3＝3， 由不等式恒成立可得m ≥3，即实数m 的最小值为 3.10．已知命题p ：∃x ∈R ，使sin x ＝52；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1>0.给出下列结论：①命题p 是真命题；②命题q 是假命题；③命题“(綈p )∧q ”是真命题；④命题“p ∨(綈q )”是假命题．其中正确命题的序号是________．答案 ③④解析 对于命题p ，因为函数y ＝sin x 的值域为[－1,1]，所以命题p 为假命题；对于q ，因为函数y ＝x 2＋x ＋1的图象开口向上，最小值在x ＝－12处取得，且f ⎝⎛⎭⎫－12＝34>0，所以命题q 是真命题．由命题p 为假命题和命题q 是真命题，可得命题“(綈p )∧q ”是真命题；命题“p ∨(綈q )”是假命题．故③④正确．11．设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a >3b >3”是“log a 3<log b 3”的____________条件．答案 充分不必要解析 ∵3a >3b >3，∴a >b >1，此时log a 3<log b 3正确；反之，若log a 3<log b 3，则不一定得到3a >3b >3，例如当a ＝12，b ＝13时，log a 3<log b 3成立，但推不出a >b >1.故“3a >3b >3”是“log a 3<log b 3”的充分不必要条件．12．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋b ，则“1<a <2”是“f (1)<f (3)”的____________条件．答案 充分不必要解析 函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝a ，若1<a <2，则0<a －1<1,1<3－a <2，即横坐标为3的点到对称轴的距离大于横坐标为1的点到对称轴的距离，则f (1)<f (3)．若a ＝0，则函数f (x )在[0，＋∞)上为增函数，满足f (1)<f (3)，但1<a <2不成立．所以“1<a <2”是“f (1)<f (3)”的充分不必要条件．13．已知命题p ：(x －3)(x ＋1)>0，命题q ：x 2－2x ＋1－m 2>0(m >0)，若命题p 是命题q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________．答案 (0,2)解析 p ：(x －3)(x ＋1)>0⇔x <－1或x >3，q ：x 2－2x ＋1－m 2>0⇒x <－m ＋1或x >m ＋1，它们的取值范围分别用集合A ，B 表示，由题意知A ?B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋1≥－1，m ＋1≤3，其中等号不能同时成立， ∴m <2，又m >0，∴0<m <2.14．已知命题p ：m ∈R ，且m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，若p ∧q 为假命题，则m 的取值范围是________________．答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)解析 若命题p 是真命题，则m ≤－1；若命题q 是真命题，则m 2－4<0，解得－2<m <2，所以p ∧q 是真命题时，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－1，－2<m <2，即－2<m ≤－1，∴p ∧q 为假命题时，m 的取值范围为(－∞，2]∪(－1，＋∞)．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)求证：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m <13.证明 (1)充分性：∵0<m <13， ∴方程mx 2－2x ＋3＝0的判别式Δ＝4－12m >0，且3m>0， ∴方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根．(2)必要性：若方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4－12m >0，x 1x 2＝3m >0，解得0<m <13.综合(1)(2)知，方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m <13.16．(14分)命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1>a ，命题q ：a 2－4>0，若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数a 的取值范围．解 若p 为真命题，则a <1；若q 为真命题，则a 2>4，即a >2或a <－2.由已知条件知p 与q 一真一假，当p 为真，q 为假时有⎩⎪⎨⎪⎧ a <1，－2≤a ≤2，所以－2≤a <1， 当q 为真，p 为假时有⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a >2或a <－2，所以a >2，综上所述，实数a 的取值范围为[－2,1)∪(2，＋∞)．17．(14分)已知函数f (x )＝4sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －23cos2x －1，且给定条件p ：π4≤x ≤π2. (1)求f (x )的最大值及最小值；(2)若给定条件q ：|f (x )－m |<2，且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．解 (1)f (x )＝2⎣⎡⎦⎤1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －23cos2x －1 ＝2sin2x －23cos2x ＋1＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1. ∵π4≤x ≤π2，∴π6≤2x －π3≤2π3.∴3≤4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1≤5. ∴f (x )max ＝5，f (x )min ＝3.(2)∵|f (x )－m |<2，∴m －2<f (x )<m ＋2.又∵p 是q 的充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2<3，m ＋2>5，解得3<m <5. ∴实数m 的取值范围为(3,5)．18．(16分)已知命题p ：函数y ＝x 2＋2(a 2－a )x ＋a 4－2a 3在[－2，＋∞)上单调递增，q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0解集为R .若p ∧q 假，p ∨q 真，求实数a 的取值范围．解 ∵函数y ＝x 2＋2(a 2－a )x ＋a 4－2a 3＝[x ＋(a 2－a )]2－a 2在[－2，＋∞)上单调递增， ∴－(a 2－a )≤－2，即a 2－a －2≥0，解得a ≤－1或a ≥2.即p ：a ≤－1或a ≥2. 由不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R 得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，(－a )2－4a <0，解得0≤a <4，∴q ：0≤a <4. ∵p ∧q 假，p ∨q 真，∴p 与q 一真一假，∴p 真q 假或p 假q 真， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－1或a ≥2，a <0或a ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧ －1<a <2，0≤a <4，∴a ≤－1或a ≥4或0≤a <2.∴实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[0,2)∪[4，＋∞)．19．(16分)已知函数f (x )对一切实数x ，y 均有f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x 成立，且f (1)＝0.(1)求f (0)的值；(2)当f (x )＋2<log a x 对于x ∈⎝⎛⎭⎫0，12恒成立时，求a 的取值范围． 解 (1)由已知等式f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x ，令x ＝1，y ＝0，得f (1)－f (0)＝2，又因为f (1)＝0，所以f (0)＝－2.(2)由(1)知f (0)＝－2，所以f (x )＋2＝f (x )－f (0)＝f (x ＋0)－f (0)＝(x ＋1)x .因为x ∈⎝⎛⎭⎫0，12，所以[f (x )＋2]∈⎝⎛⎭⎫0，34. 要使x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，f (x )＋2<log a x 恒成立，显然当a >1时不成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，log a 12≥34，解得344≤a <1. 所以a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫344，1.20．(16分)已知a >0，函数f (x )＝ax －bx 2.(1)当b >0时，若对任意x ∈R ，都有f (x )≤1，证明：a ≤2b ；(2)当b >1时，证明：对任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1的充要条件是b －1≤a ≤2b . 证明 (1)由题意知，对任意x ∈R ，都有f (x )≤1.∵f (x )＝－b ⎝⎛⎭⎫x －a 2b 2＋a 24b， ∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2b ＝a 24b ≤1. ∵a >0，b >0，∴a ≤2b .(2)必要性：对任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1⇒f (x )≥－1，∴f (1)≥－1，即a －b ≥－1，∴a ≥b －1.对任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1⇒f (x )≤1.∵b >1，∴0＜1b ＜1， 由f (x )≤1知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ≤1，即a ·1b－1≤1， ∴a ≤2b ，∴b －1≤a ≤2b .充分性：∵b >1，a ≥b －1，对任意x ∈[0,1]，可以推出ax －bx 2≥b (x －x 2)－x ≥－x ≥－1，即ax －bx 2≥－1.∵b >1，a ≤2b ，对任意x ∈[0,1]，可以推出ax －bx 2≤2bx －bx 2＝－b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1b 2≤1，即ax －bx 2≤1， ∵－1≤f (x )≤1，∴|f (x )|≤1.综上可知，当b >1时，对任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1的充要条件是b －1≤a ≤2b . 滚动训练(二)一、填空题。