n a． 2n (n ＋3) 经检验当 n ＝1 时也符合该式．∴ a n ＝ (n ≥2)．2 ＝ 2 ＝ 2 n ²＋3n －4 n ²＋3n n (n ＋3) ∴ a n ＝a ₁＋ ， n ²＋3n －4 2 ×(n －1)＝2 (n ＋1)＋3 ＝ 解析：由已知得 a n +1－a n ＝n ＋2，于是有 a n －a ₁＝(a n －a n -1)＋(a n -1－a n -2)＋(a n -2－a n -3)＋……＋(a ₂－a ₁)n n n ∴ a n ＝a ₁＋(n ＋2)(n －1)＝3＋(n ＋2)(n －1)＝n ²＋n ＋1(n ≥2)．经检验当 n ＝1 时也符合该式．∴ a ＝n ²＋n ＋1．×(n －1)＝(n ＋2)(n －1)． 2 2n ＋4 ＝ 解析：由已知得 a n －a n -1＝2n ，于是有 a n －a ₁＝(a n －a n -1)＋(a n -1－a n -2)＋(a n -2－a n -3)＋……＋(a ₂－a ₁)n nn 数列之累加法与累乘法 老师专用1. ☆[累加法] 设数列{a n }中，a ₁＝2，a n +1＝a n ＋n ＋2，则通项 a n ＝ ．2. ◇设数列{a n }中，a ₁＝3，a n ＝a n -1＋2n ，则通项 a n ＝ ．3. ◇(2010 辽宁卷T16) 已知数列{a n }满足 a ₁＝33，a n +1－a n ＝2n ，则a n 的最小值为 ．4. ◇(2011 四川卷T8) 数列{a n }的首项为 3，{b n }为等差数列且 b n ＝a n +1－a n (n ∈N *)．若 b ₃＝－2，b 10＝12，则a 8＝ ．5. ◇(2015 江苏卷T11)[累加法＆裂项相消法] 设数列{a n }满足 a ₁＝1，且 a n +1－a n ＝n ＋1 (n ∈N *)，则数列{ 1 }n为 2 ． n 21 所以a n 的最小21 53 5 33 n ＝ 6 ＋ ＝ 2 ＜ ， 当 n ＝6 时，a 53 4 33 n ＝ 5 ＋ ＝ ； 5 和 6．*/ 当 n ＝5 时，a x ≥2 33，当且仅当 x ＝ 33时取得最小值．最接近 33的两个整数是 x ＋/*若 x ＞0，x ∈R ，由基本不等式可得 33 ＋n －1，n n 33∴ a n ＝a ₁＋n (n －1)＝33＋n (n －1)，则 a n 解析：a ₂－a ₁＝2，a ₃－a ₂＝4，a 4－a ₃＝6，…，a n －a n -1＝2(n －1)， 以上各式左右两边分别相加，得 a n －a ₁＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝n (n －1)， b 10－b ₃ 解析：设{b n }的公差为 d ，则 d ＝ 10－3 ＝2，∴ bn ＝b ₃＋(n －3)d ＝2(n －4)，即 a n +1－a n ＝2(n －4)． 则 a ₂－a ₁＝－6，a ₃－a ₂＝－4，a 4－a ₃＝－2，…，a n －a n -1＝2(n －5)， 累加得到 a n －a ₁＝(－6)＋(－4)＋(－2)＋…＋2(n －5)＝(n －8)(n －1)， 故 a n ＝3＋(n －8)(n －1)，a 8＝3．＋ n ＝ ，满足 ( ＋ 前 10 项 的 和 为 ．6. ◇数列{a n }满足 a ₁＝1，且对任意的 m , n ∈N *，都有 a m +n ＝a m ＋a n ＋mn ，则 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋…＋ 1 ＝ ．a ₁ a ₂ a ₃ a 20127. ◇已知数列{a n }中，a ₁＝p ，a ₂＝q ，且 a n +2－2a n +1＋a n ＝d ，求数列{a n }的通项公式．8. ◇已知数列{a n }中，a ₁＝5，满足 a n ＝(1 1 )a n -1，求数列{a n }的通项公式．9. ◇已知数列{a n }中，a ₁ 1 a n +1＝ 1 2 )a n ，求数列{a n }的通项公式． 3 3 3n11 11 10 11 2 2 3 10 n a 1 20 1 1 1 1 1 { }前 10 项的和为 S ＝2(1－ ＋ － ＋…＋ － )＝2(1－ )＝ ． 故数列 1 n n ＋1 1 ＝2( － )， a n n (n ＋1) 2 1 则 1 ＝ ， 2 n (n ＋1) ＝ n n -1 n a ＝a ₁＋(a ₂－a ₁)＋(a ₃－a ₂)＋…＋(a －a )＝1＋2＋3＋…＋n 解析：由 a ₁＝1，且 a n +1－a n ＝n ＋1 (n ∈N *)得， 2012 2013 2013 2 2 3 a 2012 a ₁ a ₂ a ₃ n n ＋1 1 1 4024 1 ＝2( － )，∴ ＋ ＋ ＋…＋ ＝2(1－ ＋ － ＋…＋ － )＝ ． a n n (n ＋1) 1 1 1 1 1 1 1 2 1 ∴ 1 ＝ ， 2＝ 2 ，故 a n ＝a ₁＋ 2 (n ＋2)(n －1) n (n ＋1) (n ＋2)(n －1) 累加得到 a n －a ₁＝2＋3＋4＋…＋n ＝ 解析：令 m ＝1，则有 a n +1＝a ₁＋a n ＋n ，即 a n +1－a n ＝n ＋1，所以 a ₂－a ₁＝2，a ₃－a ₂＝3，a 4－a ₃＝4，……，a n －a n -1＝n ， d )．2 n －2 经检验当 n ＝1 时也符合该式．∴ a n ＝p ＋(n －1)(q －p ＋ 2 d )＝p ＋(n －1)(q －p ＋ d ) (n ≥2)． 2 n －2 n －2 2 ∴ a n ＝a ₁＋(n －1)(q －p ＋ n －2 ＝(n －1)(q －p ＋ d )2 n －2 ＝(n －1)(q －p )＋ ×(n －1)d解析：原式可化为(a n +2－a n +1)－(a n +1－a n )＝d ． 令 b n ＝a n +1－a n ，则 b n +1－b n ＝d ，所以数列{bn }是以 b ₁＝a ₂－a ₁＝q －p 为首项，以 d 为公差的等差数列．∴ b n ＝b ₁＋(n －1)d ＝q －p ＋(n －1)d ．即 a n +1－a n ＝q －p ＋(n －1)d ．于是有 a n －a ₁＝(a n －a n -1)＋(a n -1－a n -2)＋(a n -2－a n -3)＋……＋(a ₂－a ₁)5 (n ＋2 n n ＋1 ∴ a ＝a ₁× ＝ 2n n －1 n －2 2 4 3 n ＋1 n ＋1 n n －1 ＝ × × ×…× 3 × 2 ＝． a ₂ ×a a n a n -1 a n -2×… a ₁＝a n -1×a n -2×a n -于是有 a n ， n 1 ＝n ＋1＋ n a n -解析：原式可化为 a n ＝110. ◇在数列{a n }与{b n }中，a ₁＝1，b ₁＝4，数列{a n }的前 n 项和 S n 满足 nS n +1－(n ＋3)S n ＝0，2a n +1 为 b n 与 b n +1的等比中项，n ∈N *．⑴ 求 a ₂, b ₂的值；⑵ 求数列{a n }与{b n }的通项公式．＝ 2×3n ． 2 (n ＋1)n (n ＋1)n 1 ＝3n× (n ＋1)n 1∴ a n ＝a ₁×3n -× ． 2 1 (n ＋1)n (n ＋1)n 3n -1× 2×1＝3n -1× ＝ 1 2 × 5 × 4 3 × 3 … n －1 n －2 n －3 n －4 n ＋1 n n －1 n －2 × × × × × 3 ＝ 1a ₂ ×a ₁a n a n a n -1 a n -2×… 1 n ＋2 n n ＋2 a n ＝ 3n ＝ 3 × ，于是有 a ₁＝a n -1×a n -2×a n -解析：原式可化为 a n +1 ．2 ＝ 6 － 6 (n ＋2)(n ＋1)n (n ＋1)n (n －1) (n ＋1)n 则当 n ≥2 时，a n ＝S n －S n -1＝ ， 6．于是有 S n -1＝ 6 ＝ 6 (n ＋1)n (n －1) (n ＋2)(n ＋1)n (n ＋2)(n ＋1)n ∴ S n ＝S ₁× ． 6 ＝ 3×2×1(n ＋2)(n ＋1)n (n ＋2)(n ＋1)n ＝ n －1 n －2 n －3 n －46 5 4 n ＋2 n ＋1 n n －1 ＝ × × × ×…× 3 × 2 × 1 S ₃ S ₂ S ₁S n -1 S n -2 S n -S ₁ S ₃ S ₂ S 4 S n S n -1 S n -于是有 S n ＝ × × ×…× × × ．n ＋3 n n +1 S n ＝ n n +1 S ⑵ 由原式可得 nS ＝(n ＋3)S ，∴ ＝9． b ₁ (2a ₂)＝ ∵ 2a ₂为 b ₁与 b ₂的等比中项，∴ b ₂解析：⑴ 令 n ＝1 可得 S ₂＝4S ₁＝4，∴ a ₂＝S ₂－a ₁＝3． /* 令 n ＝2 可得 2S ₃＝5S ₂＝20，∴ S ₃＝10，a ₃＝S ₃－S ₂＝6．*/综上，恒有 b n ＝(n ＋1)²．＝(2n ＋1)²． (2n ＋2)² ＝ b 2n +1 [(2n ＋1)(2n ＋2)]² [(2n ＋1)(2n ＋2)]² 再由①式可得：b 2n ＝ ∴ b 2n +1＝b ₁×(n ＋1)²＝(2n ＋2)²＝[(2n ＋1)＋1]²． b 2n +1＝(n ＋得： b ₁以上各式连乘可 )²． 2n b 2n -6 b 5 b ₁ 2 b ₃ 4 b n n ＋1 2n ＋2 b 2n +1 8 b 7 6 b 5 b ₃ n ＋3 两式相除得 b n +2＝( )²，于是有 ＝( )²， ＝( )²， ＝( )²，……， ＝由已知 b n ·b n +1＝(2a n +1)²＝[(n ＋1)(n ＋2)]²，①则 b ·b ＝[(n ＋2)(n ＋3)]²，② ．2 (n ＋1)n 经检验当 n ＝1 时也符合上式，∴ a n ＝。