C组
13. ◇对于数列{an}，定义{Δan}为数列{an}的一阶差分数列，其中 Δan＝an+1－an (n∈N*)．对于正整数 k，规定 {Δkan}为数列{an}的 k 阶差分数列，其中 Δkan＝Δ(Δk-1an)＝Δk-1an+1－Δk-1an．若数列{Δ² an}的各项均为 2，且满 足 a11＝a2015＝0，则 a₁的值为 ．
7.
解析：原式可化为(an+2－an+1)－(an+1－an)＝d． 令 bn＝an+1－an，则 bn+1－bn＝d，所以数列{bn}是以 b₁＝a₂－a₁＝q－p 为首项，以 d 为公差的等差数列． ∴ bn＝b₁＋(n－1)d＝q－p＋(n－1)d． 即 an+1－an＝q－p＋(n－1)d．于是有 an－a₁ ＝(an－an-1)＋(an-1－an-2)＋(an-2－an-3)＋……＋(a₂－a₁) ＝[q－p＋(n－2)d]＋[q－p＋(n－3)d]＋[q－p＋(n－4)d]＋……[q－p＋0d] n－2 ＝(n－1)(q－p)＋ ×(n－1)d 2 n－2 ＝(n－1)(q－p＋ d)， 2 n－2 n－2 ∴ an＝a₁＋(n－1)(q－p＋ d)＝p＋(n－1)(q－p＋ d) (n≥2)． 2 2 n－2 经检验当 n＝1 时也符合该式．∴ an＝p＋(n－1)(q－p＋ d)． 2 n＋2 ☆[累乘法] 已知数列{an}中，a₁＝2，满足 an+1＝ a ，求数列{an}的通项公式． n n an+1 n＋2 an an an-1 an-2 a₂ ＝ ，于是有 ＝ × × ×…× an n a₁ an-1 an-2 an-3 a₁
2＋n 1 1 1 1 1 n 1 n ①－②，得 Tn＝1＋ ＋ ＋ ＋……＋ n-1－ n＝2(1－ n)－ n＝2－ n ， 2 2 2² 2³ 2 2 2 2 2 2＋n 2＋n 2＋n ∴ Tn＝4－ n-1 ．∴ Sn＝n(n＋1)－(4－ n-1 )＝n(n＋1)－4＋ n-1 ． 2 2 2
Sn Sn Sn-1 Sn-2 S4 S₃ S₂ ＝ × × ×…× × × S₁ Sn-1 Sn-2 Sn-3 S₃ S₂ S₁
n＋2 n＋1 n－1 n 6 5 4 × × × ×…× × × 3 2 1 n－1 n－2 n－3 n－4 (n＋2)(n＋1)n (n＋2)(n＋1)n ＝ ． 6 3×2×1
b2n+1 以上各式连乘可得： ＝(n＋1)² ， b₁ ∴ b2n+1＝b₁×(n＋1)² ＝(2n＋2)² ＝[(2n＋1)＋1]² ． [(2n＋1)(2n＋2)]² [(2n＋1)(2n＋2)]² 再由①式可得：b2n＝ ＝ ＝(2n＋1)² ． b2n+1 (2n＋2)² 综上，恒有 bn＝(n＋1)² ．
故数列{
6.
◇数列{an}满足 a₁＝1，且对任意的 m, n∈N*，都有 am&#令 m＝1，则有 an+1＝a₁＋an＋n，即 an+1－an＝n＋1， 所以 a₂－a₁＝2，a₃－a₂＝3，a4－a₃＝4，……，an－an-1＝n， (n＋2)(n－1) (n＋2)(n－1) n(n＋1) 累加得到 an－a₁＝2＋3＋4＋…＋n＝ ，故 an＝a₁＋ ＝ ， 2 2 2 ∴ 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4024 ＝ ＝2( － )，∴ ＋ ＋ ＋…＋ ＝2(1－ ＋ － ＋…＋ － )＝ ． an n(n＋1) n n＋1 a2012 2 2 3 2012 2013 2013 a₁ a₂ a₃ ◇已知数列{an}中，a₁＝p，a₂＝q，且 an+2－2an+1＋an＝d，求数列{an}的通项公式．
以上各式相加，得 ∴
a n a₁ 1 1 n ＝ ＋1－ n-1＝2－ n-1，∴ an＝2n－ n-1． n 1 2 2 2
1 2 3 4 n 则 Sn＝2(1＋2＋3＋……n)－( ＋ ＋ ＋ ＋……＋ n-1) 2º 2¹ 2² 2³ 2 1 2 3 4 n ＝n(n＋1)－( ＋ ＋ ＋ ＋……＋ n-1)． 2º 2¹ 2² 2³ 2 1 2 3 4 n 令 Tn＝ ＋ ＋ ＋ ＋……＋ n-1 2º 2¹ 2² 2³ 2 则 1 1 2 3 4 n T ＝ ＋ ＋ ＋ ＋……＋ n 2 n 2¹ 2² 2³ 24 2 ①， ②，
9.
解析：原式可化为 ＝
n＋1 n－1 n 4 3 n＋1 × × ×…× × ＝ ． n 3 2 2 n－1 n－2
n＋1 5 ∴ an＝a₁× ＝ (n＋1)． 2 2 1 1 2 10. ◇已知数列{an}中，a₁＝ ，满足 an+1＝( ＋ )an，求数列{an}的通项公式． 3 3 3n an+1 n＋2 1 n＋2 an an an-1 an-2 a₂ ＝ ＝ × ，于是有 ＝ × × ×…× an 3n 3 n a₁ an-1 an-2 an-3 a₁
b10－b₃ 解析：设{bn}的公差为 d，则 d＝ ＝2，∴ bn＝b₃＋(n－3)d＝2(n－4)，即 an+1－an＝2(n－4)． 10－3 则 a₂－a₁＝－6，a₃－a₂＝－4，a4－a₃＝－2，…，an－an-1＝2(n－5)， 累加得到 an－a₁＝(－6)＋(－4)＋(－2)＋…＋2(n－5)＝(n－8)(n－1)， 故 an＝3＋(n－8)(n－1)，a8＝3．
B组
n＋1 1 12. ◇[累加法＆错位相减法] 在数列{an}中，a₁＝1，an+1＝(1＋ )an＋ n ．求数列{an}的通项公式及前 n 项和 n 2 Sn． n＋1 n＋1 an+1 an 1 an+1 an 1 解析：an+1＝ a ＋ n ，等式两边同除以 n＋1，得： ＝ ＋ ，即 － ＝ ． n n 2 n＋1 n 2n n＋1 n 2n 于是有 a₂ a₁ 1 a₃ a₂ 1 a4 a₃ 1 an an-1 1 － ＝ ， － ＝ ， － ＝ ，……， － ＝ ， 2 1 2 3 2 2² 4 3 2³ n n－1 2n-1 an a₁ 1 1 1 1 1 1 － ＝ ＋ ＋ ＋…… n-1＝1－( )n-1＝1－ n-1． n 1 2 2² 2³ 2 2 2
方法 1：累加法与累乘法
方法 1：累加法与累乘法
A组
1. ☆[累加法] 设数列{an}中，a₁＝2，an+1＝an＋n＋2，则通项 an＝ ．
解析：由已知得 an+1－an＝n＋2，于是有 an－a₁ ＝(an－an-1)＋(an-1－an-2)＋(an-2－an-3)＋……＋(a₂－a₁) ＝(n＋1)＋n＋(n－1)＋……＋3 ＝ (n＋1)＋3 n² ＋3n－4 ×(n－1)＝ ， 2 2
n² ＋3n－4 n² ＋3n n(n＋3) ∴ an＝a₁＋ ＝ ＝ (n≥2)． 2 2 2 n(n＋3) 经检验当 n＝1 时也符合该式．∴ an＝ ． 2 2. ◇设数列{an}中，a₁＝3，an＝an-1＋2n，则通项 an＝ ．
解析：由已知得 an－an-1＝2n，于是有 an－a₁ ＝(an－an-1)＋(an-1－an-2)＋(an-2－an-3)＋……＋(a₂－a₁) ＝2n＋2(n－1)＋2(n－2)＋……＋2×2 ＝ 2n＋4 ×(n－1)＝(n＋2)(n－1)． 2
8.
解析：原式可化为 ＝
n＋1 n－1 n－2 n 5 4 3 × × × ×…× × × 3 2 1 n－1 n－2 n－3 n－4
2
方法 1：累加法与累乘法
＝
(n＋1)n (n＋1)n ＝ ， 2 2×1
(n＋1)n ∴ an＝a₁× ＝n(n＋1)． 2 1 ◇已知数列{an}中，a₁＝5，满足 an＝(1＋ )an-1，求数列{an}的通项公式． n an 1 n＋1 an an an-1 an-2 a₂ ＝1＋ ＝ ，于是有 ＝ × × ×…× an-1 n n a₁ an-1 an-2 an-3 a₁
解析：原式可化为
n＋1 n－1 n－2 1 n 5 4 3 ＝( )n-1× × × × ×…× × × 3 3 2 1 n－1 n－2 n－3 n－4 ＝ 1 (n＋1)n 1 (n＋1)n × ＝ n-1× ． 3n-1 3 2 2×1
1 (n＋1)n 1 (n＋1)n (n＋1)n ∴ an＝a₁× n-1× ＝ n× ＝ ． 3 2 3 2 2×3n 11. ◇在数列{an}与{bn}中，a₁＝1，b₁＝4，数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 nSn+1－(n＋3)Sn＝0，2an+1 为 bn 与 bn+1 的 等比中项，n∈N*． ⑴ 求 a₂, b₂的值； ⑵ 求数列{an}与{bn}的通项公式． 解析：⑴ 令 n＝1 可得 S₂＝4S₁＝4，∴ a₂＝S₂－a₁＝3． /* 令 n＝2 可得 2S₃＝5S₂＝20，∴ S₃＝10，a₃＝S₃－S₂＝6．*/ (2a₂)² ∵ 2a₂为 b₁与 b₂的等比中项，∴ b₂＝ ＝9． b₁ ⑵ 由原式可得 nSn+1＝(n＋3)Sn，∴ 于是有 ＝ ＝ Sn+1 n＋3 ＝ ． Sn n
∴ an＝a₁＋(n＋2)(n－1)＝3＋(n＋2)(n－1)＝n² ＋n＋1 (n≥2)． 经检验当 n＝1 时也符合该式．∴ an＝n² ＋n＋1． an ◇(2010 辽宁卷 T16) 已知数列{an}满足 a₁＝33，an+1－an＝2n，则 的最小值为 n
3.
．
解析：a₂－a₁＝2，a₃－a₂＝4，a4－a₃＝6，…，an－an-1＝2(n－1)， 以上各式左右两边分别相加，得 an－a₁＝2＋4＋6＋…＋2(n－1)＝n(n－1)， ∴ an＝a₁＋n(n－1)＝33＋n(n－1)，则 /*若 x＞0，x∈R，由基本不等式可得 5 和 6．*/ an 33 53 an 33 21 53 an 21 当 n＝5 时， ＝ ＋4＝ ；当 n＝6 时， ＝ ＋5＝ ＜ ，所以 的最小值为 ． n 5 5 n 6 2 5 n 2 4. ◇(2011 四川卷 T8) 数列{an}的首项为 3，{bn}为等差数列且 bn＝an+1－an (n∈N*)．若 b₃＝－2，b10＝12，则 a8＝ ． an 33 ＝ ＋n－1， n n 33 ＋x≥2 33，当且仅当 x＝ 33时取得最小值．最接近 33的两个整数是 x