相同的有
；
与 3 的被开方数相同的有
；
与 5 的被开方数相同的有
．
【例 2】 （1）计算： 12 75
7 12 5 48
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（2）计算： 2 8 1 18 1 32
2
4
12 4 1 3 48 27
6 3 0.12 48
ab 1 8a3b 1 18ab3
2a
b
（3）计算： (3 2 4 3)2
(2 3 5)(2 3 5)
(2 3 5)2 (2 3 5)2
(3 8)2011(3 8)2012
【例 3】 （1）若最简二次根式 3a 5 与 a 3 是可以合并的二次根式，则 a ____ ．
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（2）若最简二次根式 2 3
b) b)
(
a
b
0
)
（2）计算：
x4 x 3 1
x7 x3
2
_______．
模块四 同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根 式． 合并同类二次根式： a x b x (a b) x ．同类二次根式才可加减合并.
【例 1】把下列二次根式 32, 27, 125, 4 45, 2 8, 18, 12, 15 化简后，与 2 的被开方数
3
4
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【例 3】已知 a、b 为实数，且 5 a 2 2a 10 b 5 ，求 a、b 的值．
【巩固】如果 y 2x
【例 4】如果 9xy 3 x y 成立，那么 x，y 必须满足条件
【巩固】如果 x x 3 x(x 3) ，那么（
式，说这两个代数式互为有理化因式． a b 与 a b 互为有理化因式，原理是平
方差公式 (a b)(a b) a 2 b2 ；分式有理化时，一定要保证有理化因式不为 0．
【例 1】（1）下列各式中是最简二次根式的是（ ）．
A． 8a
B． b2 3
C． x y 2
（2）把下列各式化成最简二次根式：
A． 11
B． 11
C． 44
D． 44
【巩固】（1）计算 ( x 2)2(x 0)
( a2 )2
( a2 2a 1)2
( 4x2 12x 9)2
（2）把 - 2 3 根号外的因式移进根号内，结果等于 4
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模块三 最简二次根式
1、最简二次根式： 二次根式 a （ a 0 ）中的 a 称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最
A． x 0
B． x 3
）． C． 0 x 3
【例 5】若-3≤x≤2 时，试化简 x 2 (x 3)2 x 2 10x 25 ．
． D． x 为任意实数
【巩固】（1）当 x
2 时，化简
2x2 ． 1 2x x2
（2）已知 a 0 ，求 4 (a 1)2 4 (a 1)2 的值．
a
a
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（3）已知正数 a ， b ，且满足 a 1 b2 b 1 a2 1 ，求证： a2 b2 1．
【例 6】（1）计算 ( 3 )2 4
(3 4)2
( 5)2
( 3)2 2
（2）已知三角形一边长为 2cm ，这条边上的高为 12cm ，求该三角形的面积．
（3）把 4 2 3 根号外的因式移进根号内，结果等于（ ）． 4
2、二次根式的除法法则： a a （ a 0 ， b 0 ） bb
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【例 1】（1）当 x 是多少时， 3x 1 在实数范围内有意义？
（2）当 x 是多少时，
2x
3
x
1 1
在实数范围内有意义？
（3）使式子 (x 6)2 有意义的未知数 x 有（ ）个 ．
A．0
B．1
C．2
（1） 2 3
（2） 5 1 2
（3） a3b5
D． 3x2 y
（4） 1 1 23
（3） 2 3 的有理化因式是
； x y 的有理化因式是
x 1 x 1 的有理化因式是
．
【例 2】化简（1） 18 24 60 ；
2 3a 4 6ab ；
．
48 2 1 ；
1
2
32 2
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D．无数
【例 2】（1）若 a 1 b 1 0 ，求 a2011 b2011 的值．
（2）若 a2 b2 4a 2b 5 0 ，求
2a b 的值． 2a b
【巩固】（1）若 x 1 ( y 2011)2 z 1 0 ，则 (xz) y 的值等于
．
（2）已知实数 x ， y ， z 满足 4x 4 y 1 1 2 y z z 2 z 1 0 ，求 (x z) y2 的值
（2）观察规律：
1 2 1
2 1,
1 3
2
3
2, 1 2 2 3
3 ，……，求值．
1
1
1
①
2 2
＝______；② 7
11
＝______；③ 10
n 1
＝______． n
【例 3】（1）把下列各式分母有理化：
2(a 1)
xy y2
2a 4
x y
ab a 1 b
(a b)
5(a 8(a
简二次根式． （1）被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式） （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 （3）分母中不含二次根式
注意：二次根式的计算结果要写成最简根式的形式． 2、分母有理化：
把分母中的根号化去叫做分母有理化． 互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根
二次根式的概念与性质
模块一 二次根式的概念
二次根式的概念：形如 a （ a 0 ）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号．
【例 1】 （1）判下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
2、
4
、
3
3
、
1 x
、
x(x 0) 、
1 0、42、xy 、
x y （x≥0，y≥0）．
（2）下列式子中，是二次根式的是（ ）．
A． 7
B． 3 8
C． x
D．x
模块二 二次根式的性质
二次根式的基本性质：（1） a 0 （ a 0 ）双重非负性；
（2） ( a )2 a （ a 0 ）；
（3）
a2
a
a a
(a 0) (a 0) ．
二次根式的乘除运算
1、二次根式的乘法法则： a b ab （ a 0 ， b 0 ）