2
解得X"或…泞，则AM k28k2 -6
3 4k2
=1 k2
12
3 4k2
因为AM _AN，所以圆锥曲线中的最值和范围
圆锥曲线是高考数学压轴题之一，是有效区分学生层次不可或缺的一个题型，能否解
决圆锥曲线问题，对提高学生的数学成绩某种程度上至关重要。

回顾几年高考中的圆锥曲线
试题，其核心问题大概有两大类型，一是定值、定点、存在性问题，二是最值和范围问题。

本文就第二问题进行归纳和分析。

最值和范围一般有两个求解方法：一是几何方法，所求最值量具有明显几何意义时可
利用几何性质结合图形直观求解；二是代数方法，选择适当变量，建立函数模型，按照求最值的方法求解，求最值方法中：利用基本不等式、函数单调性、分离常数、配方法等是常用方法。

对目标函数的的整理和恰当变形是难点。

所涉及的量有斜率、面积、离心率、线段长度等。

一.近几年高考试题回顾。

X y2
1.(2017全国2)已知椭圆E: 1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k 0)的
t 3
直线交E于A, M两点，点N在E上，MA丄NA. (I)当t =4 , AM| | AN时，求△ AMN
的面积；(II)当2 AM二AN时，求k的取值范围•
2 2
X y
【解析】⑴当t =4时，椭圆E的方程为 1 , A点坐标为-2 , 0,
4 3
则直线AM的方程为y =k X • 2 .
'2 2
£ I 二1
联立 4 3 " 并整理得， 3 4k2 x2 16k2x 16k2 -1^0
y -k X 2
厂匚2 12
厂〒2 12
因为 AM 二 AN , k 0，所以 1 k
FTk^
= 1 k
3I 7^，
k
整理得k -1 4k —k ・4产0 , 4k 2_k ・4=0无实根，所以k
.
⑵直线AM 的方程为y 二k x • ..t ,
r 2
2
x y
1
联立 t 3
并整理得，3 tk 2 x 2 2x t 2k ^3^-0 y =k （X + JT ）
解得 3 2 ::: k ::: 2 .
2.(2015高考真题山东理21 )在平面直角坐标系 xOy 中，F 是抛物线C:x 2=2py (p 0) 的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过 M,F,0三点的圆的圆心为 Q ,
点Q 到抛物线C 的准线的距离为 3 .
［来源学科网］
(I)求抛物线 C 的方程；(n)是否存在点 M , 4
使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M ?若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由； (川)若点M 的横坐标为 2 ,直线l : ^kx 4与抛物线C 有两个不同的交点 A, B , l 与 圆Q 有两个不同的交点 D, E ，求当g 乞k 乞2时，|AB|2J DE|2的最小值 分析：(I )由题意，OF 为圆Q 的弦，y^— , ••• yQ — = 3 =
o
抛物线方程x 2 =2y
4 2 4
1 2
所以△ AMN 的面积为| AM | =
144 79
解得 ^-F 或x =曲昇，
3 +tk 2
所以 AM
2
3 tk
2
6 t
AN = 1 亠 k 2
—―—
"k E 所以
3k 」
k
因为
2 AM | | AN 所以 2
T k
6
・口隹，整理得，
k
3 tk
2
t 6k -3k t
3
k -2
因为椭圆E 的焦点在x 轴，所以
t 3，即
1 k —
2 k3_2 ：：
(n)设存在点
2
X。

2
又取FM 中点N^0 , X °4^)，由垂径定理知 FM _QN ,
所以 FM QN =(X o , 2^)(-产,弓)=0二 X o =』2，所以存在 M (、2 , 1).
2 4X o 4
f x i +X 2 = 2k
设 A(X i ， y i )，B(X ?，y 2)，则有，
_ 1
X 1X 2 :
所以，I AB|2=(1 k 2)[(X 1 X 2)2 -4X 1X 2] =(1 k 2)(4k 2 2).
2
|AB|2 |DE ：(1 k 2)(4k 2 2)
6k 2 * 曽忌(新心2)
记 f (x) =4x 2+6x +严+習 1^x (寸兰 x 兰4)，
f'(x) =8x 6-25
— 6-孕 0，所以 f(x)在[1，4] 上单增，
8 (1+x)2 8 4
所以当X *，f (X)取得最小值f min (X )= f © =号， 所以当k=*时，|AB|2+|DE|2取得最小值 号.
2
3 (2016年浙江高考)如图，设椭圆 务• y 2 =1 (a > 1 )
a
(I )求直线y =kx +1被椭圆截得的线段长(用 a 、k 表示)； (II )若任意以点
A (0,1 )为圆心的圆与椭圆至多有 3个公共点，求椭圆离心率的取
k MQ
X 0 1 ~2 一4
X o —
X Q
X o 1
--- 十-----
2 4X o
圆心Q 到直线 所以,
|DE |2 = 4(r 2 —d 2) =4 27 - k 32 27+2k 2 8(1 k 2).
又联立
x 2=2y _ y
=kX 4 一
八2心=0，
=Xo =■
(川)依题MC .2, 1),圆心
^kX 4的距离为
值范围
y 二 kx 1 I
【试题解析】(I )设直线y = kx +1被椭圆截得的线段为AP ,由｛ x 2
2 r + y =1
2 2 2 2
1 a k x 2akx=0 ,故凶=° ,
(II )假设圆与椭圆的公共点有 4个，由对称性可设 y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点
?,
Q ，满足AP = AQ •记直线AP , A Q 的斜率分别为k 1, k 2，且k 1, k 2 > 0 , k^ k 2.
AP = AQ= (k ； —k ； %+k ； +k ； +a 2(2—a 2 k ；k ；】=0
由 k^k 2,k 1,k^>0，所以上式可化为
；+1 f 1
2 +1 =1 + a 2(a 2 — 2)
'<k 1人k 2丿
上式关于k 1,k 2有解的充要条件是1 • a 2 a 2 -2 a (2)
因此，以A 0,1为圆心的圆与椭圆至多有三个交点的充要条件是
V a 2
得 0<e 2
2
(I )求椭圆C 的方程；
(II )设P 是E 上的动点，且位于第一象限， E 在点P 处的切线丨与C 交与不同的两点 A ,
A M/
丁
2
2a 2
k 2 2 -
1 a k
因此AP =山+k 2
X 1
「X 2
2
刑’时.
-1 a 2k 2
由(I )
AP =
2a 2 k 1
1 a 2kr 1
苛 AQ=^
1+a 2k ；
4. (2016年山东高考)平面直角坐标系
xOy 中，椭圆C ： 2
- 丄 2 - a
b 2
=1 a > b >0 的离心 率是 x 2二2y 的焦点F 是C 的一个顶点。