圆锥曲线的综合问题1．(2016·邢台摸底)已知A (－2,0)，B (2,0)为椭圆C 的左、右顶点，F 为其右焦点，P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，△APB 面积的最大值为2 3.(1)求椭圆C 的标准方程； (2)若直线AP 的倾斜角3π4，且与椭圆在点B 处的切线交于点D ，试判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明．解：(1)由题意可设椭圆C 的方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)，F (c,0)．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧12·2a·b ＝23，a ＝2，解得b ＝ 3.故椭圆C 的标准方程为x24＋y23＝1.(2)以BD 为直径的圆与直线PF 相切．证明如下：由题意可知，c ＝1，F (1,0)，直线AP 的方程为y ＝－x －2， 则点D 的坐标为(2，－4)，BD 的中点E 的坐标为(2，－2)，圆的半径r ＝2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －2，x24＋y23＝1，得7x 2＋16x ＋4＝0. 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x0＝－27，y0＝－127.因为点F 的坐标为(1,0)，直线PF 的斜率为43，直线PF 的方程为4x －3y －4＝0，点E 到直线PF 的距离d ＝|8＋6－4|5＝2.所以d ＝r . 故以BD 为直径的圆与直线PF 相切． 2．(2016·合肥模拟)已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)，O 是坐标原点，点A ，B 为抛物线C 1上异于O 点的两点，以OA 为直径的圆C 2过点B .(1)若A (－2,1)，求p 的值以及圆C 2的方程； (2)求圆C 2的面积S 的最小值(用p 表示)．解：(1)∵A (－2,1)在抛物线C 1上，∴4＝2p ，p ＝2.又圆C 2的圆心为⎝⎛⎭⎫－1，12，半径为|OA|2＝52， ∴圆C 2的方程为(x ＋1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝54. (2)记A ⎝⎛⎭⎫x1，x212p ，B ⎝⎛⎭⎫x2，x222p .则OB ―→＝⎝⎛⎭⎫x2，x222p ， AB ―→＝⎝⎛⎭⎫x2－x1，x22－x212p .由OB ―→·AB ―→＝0知，x 2(x 2－x 1)＋错误!＝0. ∵x 2≠0，且x 1≠x 2，∴x 2＋x 1·x 2＝－4p 2， ∴x 1＝－⎝⎛⎭⎫x2＋4p2x2. ∴x 21＝x 2＋16p4x22＋8p 2≥216p4＋8p 2＝16p 2，当且仅当x 2＝16p4x22，即x 2＝4p 2时取等号． 又|OA |2＝x 21＋x414p2＝14p2(x 41＋4p 2·x 21)，注意到x 21≥16p 2， ∴|OA |2≥14p2(162·p 4＋4p 2·16p 2)＝80p 2. 而S ＝π·|OA|24，∴S ≥20πp 2，即S 的最小值为20πp 2，当且仅当x 2＝4p 2时取得． 3．已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)，椭圆C 上的一动点到右焦点的最短距离为2－2，且右焦点到直线x ＝a2c的距离等于半短轴的长．已知点P (4,0)，过P 点的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，点T 与点M 关于x 轴对称．(1)求椭圆C 的方程； (2)求OM ―→·ON ―→的取值范围； (3)证明：直线TN 恒过某定点．解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝2－2，a2c －c ＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，故椭圆C 的方程为x24＋y22＝1.(2)由题意知直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为y ＝k (x －4)． 由错误!得(2k 2＋1)x 2－16k 2x ＋32k 2－4＝0. Δ＝(－16k 2)2－4(2k 2＋1)(32k 2－4)＝16－96k 2>0， 解得0≤k 2<16.设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝16k22k2＋1，x 1x 2＝32k2－42k2＋1，y 1y 2＝k 2(x 1－4)(x 2－4)＝12k22k2＋1，从而OM ―→·ON ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝44k2－42k2＋1＝22－262k2＋1.因为0≤k 2<16，所以OM ―→·ON ―→∈⎣⎡⎭⎫－4，52. (3)证明：由(2)知T (x 1，－y 1)，直线TN 的方程为y －y 2＝y2＋y1x2－x1(x －x 2)． 令y ＝0，得x ＝x 2－错误!.将y 1＝k (x 1－4)，y 2＝k (x 2－4)代入， 整理得x ＝错误!. ① 由(2)知x 1＋x 2＝16k22k2＋1，x 1x 2＝32k2－42k2＋1，代入①式整理，得x ＝1.所以直线TN 恒过定点(1,0)．4．(2015·福建高考)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．解：(1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.因为|AF |＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明：法一：因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上， 所以m ＝±2 2.由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)．由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)． 由错误!得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝⎛⎭⎫12，－2. 又G (－1,0)，所以k GA ＝错误!＝错误!，k GB ＝错误!＝－错误!，所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．法二：设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r . 因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±2 2. 由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)． 由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为 y ＝22(x －1)．由错误! 得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝⎛⎭⎫12，－2. 又G (－1,0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0， 从而r ＝|22＋22|8＋9＝4 217.又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0， 所以点F 到直线GB 的距离 d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r .这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．5．(2016·沈阳模拟)已知椭圆E 的中心在坐标原点，左、右焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为12，在其上有一动点A ，A 到点F 1距离的最小值是1.过A ，F 1作一个平行四边形，顶点A ，B ，C ，D 都在椭圆E 上，如图所示．(1)求椭圆E 的方程；(2)▱ABCD 的面积取到最大值时，判断▱ABCD 的形状，并求出其最大值．解：(1)依题意，设椭圆E 的方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)，c 2＝a 2－b 2(c >0)，所以离心率e ＝c a ＝12，即a ＝2c .设点A 的坐标为(x 0，y 0)，所以x20a2＋y20b2＝1， 又焦点F 1(－c,0)，即|AF 1|＝错误! ＝x20＋2cx0＋c2＋b2－b2x20a2＝c2a2x20＋2cx0＋a2 ＝⎪⎪⎪⎪c a x0＋a ，因为x 0∈[－a ，a ]， 所以当x 0＝－a 时，|AF 1|min ＝a －c ，由题知a －c ＝1，结合a ＝2c 可知a ＝2，c ＝1，所以b 2＝3， 于是椭圆E 的方程为x24＋y23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB ：x ＝my －1， 由题知S ▱ABCD ＝4S △AOB ，而S △AOB ＝12|OF 1|·|y 1－y 2|，又|OF 1|＝1，即S ▱ABCD ＝2|OF 1|·|y 1－y 2|＝2错误!， 由⎩⎪⎨⎪⎧x24＋y23＝1，x ＝my －1，得(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0. 则y 1＋y 2＝6m3m2＋4，y 1y 2＝－93m2＋4，所以S ▱ABCD ＝2错误! ＝24错误!＝24错误!，设函数f (t )＝9t ＋1t ，t ∈[1，＋∞)，当t ＝1时，f (t )min ＝10，所以S ▱ABCD 的最大值为6，此时m 2＋1＝1，即m ＝0， 这时直线AB ⊥x 轴，可以判断▱ABCD 是矩形．6．(2015·重庆高考)如图，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若|PQ |＝λ|PF 1|，且34≤λ<43，试确定椭圆离心率e 的取值范围．解：(1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2.设椭圆的半焦距为c ，由于PF 1⊥PF 2， 因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF1|2＋|PF2|2 ＝错误!＝2错误!，即c ＝3，从而b ＝a2－c2＝1， 故所求椭圆的标准方程为x24＋y 2＝1.(2)如图所示，由PF 1⊥PQ ， |PQ |＝λ|PF 1|，得|QF 1|＝|PF1|2＋|PQ|2＝1＋λ2|PF 1|.由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ， 知|PF 1|＋|PQ |＋|QF 1|＝4a . 于是(1＋λ＋1＋λ2)|PF 1|＝4a ， 解得|PF 1|＝4a1＋λ＋1＋λ2，故|PF 2|＝2a －|PF 1|＝错误!. 由勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4c 2， 从而⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 1＋λ＋1＋λ22＋错误!2＝4c 2. 两边除以4a 2，得 错误!＋错误!＝e 2.若记t ＝1＋λ＋1＋λ2，则上式变成 e 2＝错误!＝8错误!2＋错误!.由34≤λ＜43，并注意到t ＝1＋λ＋1＋λ2关于λ的单调性，得3≤t <4，即14<1t ≤13，进而12<e 2≤59， 即22<e ≤53. 故椭圆离心率e 的取值范围为⎝⎛⎦⎤22，53.。