2021年第2次周考理科数学试卷含答案考试时间：120分钟；一、单项选择（每题5分）1、设集合{}12A x x=-<，[]{}2,0,2xB y y x==∈，则下列选项正确的是（）A．()1,3A B⋂=B．[)1,4A B=C．(]1,4A B=-D．{}0,1,2,3,4A B=2、已知复数z满足212z=-+ii，其中i是虚数单位，则复数z的虚部是（）A．3-B．3 C．4-D．43、已知函数f（x）=x2–m是定义在区间[–3–m，m2–m]上的奇函数，则A．f（m）<f（1）B．f（m）=f（1）C．f（m）>f（1）D．f（m）与f（1）大小不确定4、函数()3sin1xf xx=+的部分图象大致是（）A．B．C．D．5、已知函数()f x的导函数为()f x'，若对任意的x∈R，都有()()30f x xf x'+<，且()210f=，则不等式()()280x f x xx>≠的解集为（）A．(),0-∞B．()0,2C．()2,+∞D．()(),00,2-∞6、已知二项式121(2)nxx+的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（）A．240 B．120 C．48 D．367、已知随机变量X服从二项分布(),B n p.若()2E X=，()43D X=，则p=（）A．34 B ．23 C ．13 D ．148、执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．-2B ．-6C ．-8D ．-129、定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，当[0,1]x ∈时，()3xf x =，则（ ）． A ．(1)(2)f f -= B ．(1)(4)f f -=C ．3523f f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．3(4)2f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭10、已知AB 是圆22:(1)1C x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点，则PA PB ⋅的最小值是（ ） A 21 B 2 C ．0D ．111、甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，有两人获奖．在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中“√”表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“〇”则表示对某人是否获奖未发表意见．已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两名获奖者是（ ） 甲获奖 乙获奖 丙获奖 丁获奖 甲的猜测 √ × × √ 乙的猜测 × 〇 〇 √ 丙的猜测 × √ × √ 丁的猜测〇〇√ ×12、已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ．2F 也是抛物线()2:20E y px p =>的焦点，点A 为C 与E 的一个交点，且直线1AF 的倾斜角为45︒，则C的离心率为（ ）A ．51- B 21 C ．35- D 21二、填空题（每题5分）13、1201(1)2x x dx -+⎰= .14、已知随机变量ξ服从正态分布N （3，σ2），且P （ξ＞2）＝0. 85，则P （3＜ξ＜4）＝_____．15、已知数列{}n a 的首项是112a =，且12n n na a n +=+，则数列{}n a 的通项公式为______． 16、在均匀分布的条件下，某些概率问题可转化为几何图形的面积比来计算，勒洛三角形是由德国机械工程专家勒洛首先发现，作法为：以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率为________三、解答题（共70分，其中22、23任选一题）17、在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22cos a c b C -=． （1）求sin B 的值； （2）若3b =，求c a +的取值范围．18、如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，90ADC DCB ∠=∠=︒，3PA BC ==，2AD =，60ABC ∠=︒，E 为侧棱PA 包含端点上的动点.（1）当25AE AP =时，求证//PC 平面BDE ；（2）当直线BE 与平面CDE 所成角的正弦值为34时，求二面角B DE C --的余弦值.19、为贯彻落实党中央全面建设小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2018年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康，2019年6月，为估计该地能否在2020年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一个家庭2019年1至6月的人均月纯收入，作出散点如下：根据盯关性分析，发现其家庭人均月纯收入y 与时间代码x 之间具有较强的线性相关关系（记2019年1月、2月……分别为1x =，2x =，…，依此类推），由此估计该家庭2020年能实现小康生活．但2020年1月突如其来的新冠肺炎疫情影响了奔小康的进展，该家庭2020年第一季度每月的人均月纯收入只有2019年12月的预估值的23． （1）求y 关于x 的线性回归方程；（2）求该家庭2020年3月份的人均月纯收入；（3）如果以该家庭3月份人均月纯收入为基数，以后每月增长率为8%，问该家庭2020年底能否实现小康生活？参考数据：619310i ii x y==∑，68610x y =，101.08 2.16≈ 参考公式：1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-．20、已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，且椭圆C 的右顶点到直线20x y -=的距离为3.（1）求椭圆C 的方程； （2）过点()2,0P 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求OAB 的面积的最大值(O 为坐标原点).21、已知函数()()21ln 12f x a x a x x=-++-，其中x ∈R .（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a >时，若()212f x x ax b≥-++恒成立，求实数b 的范围.（注意：22、23任选一题，标明题号，满分10分）22、已知直线的参数方程为132x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 16cos ρθθ=，直线与曲线C 交于A 、B 两点，点P(1,3).（1）求直线的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求AB的值.23、设函数()212f x x x a=-+-，x ∈R ．（1）当4a =时，求不等式()9f x >的解集；（2）对任意x ∈R ，恒有()5f x a ≥-，求实数a 的取值范围．理科数学参考答案一、单项选择 1、【答案】C2、【答案】B3、【答案】A4、【答案】A5、【答案】B6、【答案】A 7、【答案】C8、【答案】D9、【答案】C10、【答案】D11、【答案】A12、【答案】B 二、填空题13、【答案】14π+14、【答案】0.35 15、【答案】()11n a n n =+16、【答案】32(3)π- 三、解答题17、【详解】（1）在ABC 中，因为22cos a c b C -=，可得2sin sin 2sin cos A C B C -=， 则()2sin sin 2sin cos B C C B C +-=，整理得sin 2cos sin C B C =， 因为(0,)C π∈，则sin 0C >，所以1cos 2B =，又因为0B π<<，所以3sin 2B =．（2）由（1）知3sin B =，由正弦定理知2sin bB =，所以2sin a A =，2sin cC =所以22sin 2sin 2sin 2sin 3cos 3sin 23sin 36c a C A A A A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=+=-+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又由1cos 2B =，因为0B π<<，所以3B π=，则23A C π+=， 所以203A π<<，可得5666A πππ<+<，所以1sin 126A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，可得323sin 236A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，所以c a +的范围为3,23．18、（1）连接AC 交BD 于O ，连接OE ，由题意//AD BC ，23AO AD OC BC ==∵25AE AP =，∴23AE AO EP OC ==，∴//OE PC ， 又OE ⊂面ADE ，PC ⊄面BDE ，∴//PC 面BDE .（2）过A 作AF BC ⊥于F ，则在Rt ABC 中，1BF =，tan 3AF BF ABF =⋅∠=，2AB =，以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A FDP -.设()03AE a a =≤≤，则()0,0,0A ，)3,1,0B-，)3,2,0C ，()0,2,0D ，()0,0,E a ，()3,1,BE a=-，()3,0,0DC =，()0,2,DE a =-，()3,3,0=-BD设向量()111,,m x y z =为平面CDE 的一个法向量，则由m DC m DE ⎧⊥⎨⊥⎩，有1113020x y az =-+=⎪⎩，令1y a =，得()0,,2m a =； 记直线BE 与平面CDE 所成的角为θ，则233sin cos ,44a BE m a θ===+，解得2a =，此时()0,2,2m =； 设向量(),,n x y z =为平面BDE 的一个法向量则由n DE n BD ⎧⊥⎨⊥⎩，有330220x y y z ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，令1y =，得()3,1,1n =； 10cos ,5225m n m n m n⋅===⨯∴二面角B DE C --的余弦值为10.19、（1）依题意得：1234563.56x +++++==，686104106 3.56x y y x ⋅===⨯，62191ii x==∑，619310i ii x y==∑，所以616222169310861040916 3.56iii ii x y x yb xx==--===-⨯-∑∑，41040 3.5270a y bx =-=-⨯=，所以y 关于x 的线性回归方程为40270y x =+.（2）令12x =，得2019年12月该家庭人均月纯收入预估值为4012270750⨯+=元 故，2020年3月份该家庭的人均月纯收入为27505003⨯=元．（3）每月的增长率为8%，设从3月开始到12月的纯收入之和为10S ，则()()91050050010.08...50010.08S =+⨯+++⨯+，()105001 1.0872501 1.08⎡⎤⨯-⎣⎦==-，1210100082508000S S =+=>，故到2020年底能如期实现小康．20、（1）因为椭圆C的右顶点到直线x y -+=的距离为33=，解得a =a =-.因为椭圆C的离心率为，所以c a =，所以c =以b =故椭圆C 的方程为22182x y +=.（2）由题意可知直线l 的斜率不为0，则可设直线l 的方程为2x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立222182x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()224440m y my ++-=，则12244my y m +=-+，12244y y m =-+，从而1224y y m -==+.故OAB的面积12121112222S OP y OP y y y =+=⨯-=.设t 222m t =-，故2222S t t t ==≤++，当且仅当t =，即0m =时，OAB 的面积取得最大值2.21、（1）∵()()()21ln 12f x a x a x x a =-++-∈R ，定义域为()0,∞+. ∴()()()11x a x af x a x x x-+-'=-++-=，0x >.令()0f x '=，则1x a =，21x =.①当0a ≤时，令()0f x '>，则01x <<；令()0f x '<，则1x >. ∴()f x 在()0,1上单调递增；在()1,+∞上单调递减.②当01a <<时，令()0f x '>，则1<<a x ；令()0f x '<，则0x a <<或1x >. ∴()f x 在()0,a ，()1,+∞上单调递减；在(),1a 上单调递增. ③当1a =时，令()0f x '≤，则()f x 在()0,∞+上单调递减.④当1a >时，令()0f x '>，则1x a <<；令()0f x '<，则01x <<或x a >. ∴()f x 在()0,1，(),a +∞上单调递减；在()1,a 上单调递增.综上所述，①当0a ≤时，()f x 在()0,1上单调递增；在()1,+∞上单调递减. ②当01a <<时，()f x 在()0,a ，()1,+∞上单调递减；在(),1a 上单调递增. ③当1a =时，()f x 在()0,∞+上单调递减.④当1a >时，()f x 在()0,1，(),a +∞上单调递减；在()1,a 上单调递增. （2）∵()()21ln 12f x a x a x x =-++-，且当0a >时，()212f x x ax b ≥-++恒成立. ∴ln b a x x ≤-+恒成立.令()ln ,0g x a x x x =-+>，即()min b g x ≤.∵()()10a x ag x a x x-'=-=>， ∴()g x 在()0,a 上单调递减；在(),a +∞上单调递增，∴()()min ln g x g a a a a ==-+.∴ln b a a a ≤-+. 22、（1）直线的普通方程21y x =+，曲线C 的直角坐标方程为216y x =，（2）直线的参数方程改写为13x y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，代入216y x =，24705t --=，12t t +=，12354t t =-，AB ==23、解：（1）当4a =时，145,21()3,2245,2x x f x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩， 则()9f x >等价于12459x x ⎧≤⎪⎨⎪-+>⎩或12239x ⎧<<⎪⎨⎪>⎩或2459x x ≥⎧⎨->⎩， 解得1x <-或72x >，所以()9f x >的解集为712x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或． （2）由绝对值不等式的性质有：()21221(2)1f x x x a x x a a =-+-≥---=-，由()5f x a ≥-恒成立，有15a a -≥-恒成立，当5a ≥时不等式显然恒成立，当5a <时，由221(5)a a -≥-得35a ≤<， 综上，a 的取值范围是[3,)+∞．。