第一作者李欣指导邹曦数值分析复习习题第一章1. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试分别指出它们的绝对误差限，相对误差限和有效数字的位数.x1=5.420,x2=0.5420, x3=0.00542, x4=6000,x5=0.6 105.解绝对误差限分别为：1=0.5 10-3, 2=0.5 10-4,3=0.5 10-5, 4=0.5, 5=0.5 104 .相对误差限分别为：r1=0.5 10-3/5.420=0.00923%,「2=0.00923%,「3=0.0923%,「4=0.0083%,「5=8.3%.有效数位分别为：4位,4位,3位,4位,1位.第二章1. 讨论求解方程组Ax=b的J迭代法和G-S迭代法的收敛性.其中2 1 1 1 2 2(1)A 1 1 1 (2)A 1 1 11 12 2 2 1解(1) J迭代法和G-S迭代法的迭代矩阵分别为0 2 ? 0 2B D 1(L U) 1 0 1 , G (D L) 1U 0 g g* 舟0 0 0 g(B)= , (G)=1/2,故J迭代法不收敛,G-S迭代法收敛.2x y 4z 6x第一作者z李欣指导邹曦(2)类似可得(B)=0, (G)=2,故J迭代法收敛,G-S迭代法不收敛.2. 给定方程组第一作者李欣指导邹曦3x y z 2试建立一个收敛的迭代格式，并说明收敛的理由解可建立如下形式的迭代格式1) 2 1、, 1 (k)x —-y —z3 3 3、，1)3 1你）1y —x —z4 4 4(k 1) 3 1x(k)1 、，z —x —y2 2 4因为迭代矩阵为MM 3 1所以此迭代法收敛第三章1用列主元Gauss消元法解方程组3 2 6 x1 410 7 0 x275 1 5 x3 63 2 64 10 7 0 7 10 7 0 7「1 $ 消兀10 7 0 7 3 2 6 4 0 0.1 6 6.15 1 56 5 1 5 6 0 2.5 5 2.510 7 0 7 10 7 0 73 消元0 2.5 5 2.5 0 2.5 5 2.50 0.1 6 6.1 0 0 6.2 6.2回代得解x3=1, x2=-1, x1=02x y 4z 6x 第一作者z 李欣 指导邹曦2.对矩阵 A 进行LU 分解,并求解方程组 Ax=b,其中2 1 1 4A1 32 ,b 61 225解2 1 1 2 1 1 1 2 1 1A1 32 1 2 522 A 4 1 53 22 1 2 2123 5 3 54 i 13 51y 14 y 1 4解2 1y 26，得 y 2 41 23 51y 35y 33 52 1 1 X 14 X 1 1再解5 2 3 2 X 2 4，得 x 213 5X 33 5X 313. 对矩阵A 进行Crout 分解，其中2 1 2A45 6解6 15152 1 22 1~2 1 A4 5 64 3 2 ■3 6 15 15612 121 4 1故得 Crou it 分解：A431 16 12 114.对任意矩阵范:数，求证:(2) 1 I = AA-1 A A-1 ，故 IA 1 闪.(3) A-1-B-1 = A-1(B-A)B-1A-1 B-1 A-B(1) I证明 1A3)11AB(1)因为 I = AI5.证明:⑴如果A为正交矩阵，贝U Cond2(A)=1;(2)如果A为对称正定矩阵，则Cond2(A)= 1/ n, 1 和n分别为A的最大和最小特征值.证明⑴A 正交，则ATA=AAT=l,Cond2(A)= A 2 A-1 2=1.(2) A 对称正定，ATA=A2, A 2= 1. A-1 2=1/ n. 第七章1. 设(x)=cosx,证明：任取x0,迭代式xk+1= (xk),k=0,1,2, •均收敛于方程x= (x)的根.证明因为对任意x0,都有x仁cosxO ［-1,1］,所以只需证明迭代式在区间［-1,1］收敛.因为(x)=cosx 连续可导,| (x)|=|sinx| sin1<1,所以(x)是区间［-1,1］上的压缩映射，因此结论成立.2. 验证区间［0,2］是方程x3+2x-5=0的有根区间，并建立一个收敛的迭代格式，使对任何初值x0 ［0,2］都收敛，并说明理由.解记(x)=x3+2x-5 C［0,2］,且(0)= -5<0, ⑵=7>0, 所以方程在区间［0,2］内有根，建立迭代格式X k 1 35 2x k ,k 0,1,2,这里迭代函数(x)= 3 5 2x，由于0<1 (x) 3 5<2 , x [0,2]2 2且 |(x)|= 3(5 2x)2/3<1 , x [0,2]所以(x)是区间[0,2]上的压缩映射，故迭代式收敛. 3.给定函数 (x),设对一切 x, (x)存在且 0<m (x)M,证明对任意 (0,2/M),迭代式X k 1 X k f (x k ),k 0,1,2,均收敛于(x)=0的根 .证明这里(x)=x- (x),由于对任意(0,2/M)-1=1 -2v (x)=1-(x)<1所以| ( )|<1,故迭代法收敛 4.已知1.3是 4 3的一个近似值 ，用Newton 迭代法求 4 3的更好近似值，要求准确到小数点后五位.解 对方程(x)=x4-3=0建立Newton 迭代格式，则有所以取x3=1.3160740,已精确到小数点后 6位. 第四章1. 当x=1,-1,2时,(x)分别为0,-3,4,求(x)的二次插值多项式k 01 23xk 1.3 1.3163746 1.3160741 1.3160740 |xk+1-xk|0.0163746 0.0003005 0.0000001取 x0=1. X k i X k 34X k算结3P2(x).解法一.基函数法：p2(x)= IO(x)yO+11(x)y1 + I2(x)y2=-3 I1(x)+4l2(x) l i(x) ,(x x0)(x x2)、1(x 1)(x 2)(X i X o)(X i X2) 6(x X 0)(Xxi)11)(x 1)(X2 X o)(X2 xj 3p2(x)=-3I1(x)+4I2(x)1 4尹1)(x 2)尹1)(x 1)^(x 1)(5x 14)6解法二.待定系数法，设p2(x)=(x-1)(ax+b),则有2(a-b)=-3, 2a+b=4 ,解得,a=5/6, b=7/3,所以p2(x)=1/6(x-1)(5x+14)解法三.牛顿插值法，构造差商表2. 设I0(x),I1(x), --I,(x)是以x0,x1, --xn 为节点的n 次Lagrange插值基函数，求证：n k k(1) X j l j(x) X , k 0,1, ,n.j 0nk(2) (X j x) l j(x) 0, k 0,1, ,n.j 0证明⑴记(x)=xk,则yj= (xj)= xjk,j=0,1, …于是n f (n 1)()nx k f (x) y j l j(x) - :「n 1(X)x j|j(x)j 0 (n 1)! j 0⑵记(t)=(t-x)k,则yj= (xj)=(xj-x)k,j=0,1, …于是n - (n 1) ( ) n(t x)k f(t) y j l j(t)- 辟n l(t) (X j x)k|j(t)j 0 (n 1)! j 0n取t=x,则有(X j x)k|j(x) 0j 03. 设(x) C2［a,b］,且(a)= (b)=0,证明f(x) 1(b a)2M2, a x b其中，M 2 max f (x).a x b证明以a,b为节点作(x)的线性插值有L1(x)=0，故| (x)| = | (x)-L1(x)| —2^(x a)(x b) 8(b a) M24. 设(x)=x4+2x3+5,在区间［-3,2］上,对节点x0=-3,x1=-1,求出(x)的分段三次Hermite插值多项式在小区间［x0, x1］上的表达式及误差公式解在［-3,-1］上,由y0=32,y1=4,y0 =-54,y1 =2, h=2,得H3(x)=32 0(x)+4 1(x)-54 0(x)+2 1(x)令0(x)=(x+1)2(ax+b), 可得a=1/4,b=1, 所以0(x)=(x+1)2(x+4)/4同理可得：1(x)=-(x+3)2x/40(x)=(x+3)(x+1)2/41(x)=(x+3)2(x+1)/4所以有H3(x)=8(x+1)2(x+4)-(x+3)2x-13.5(x+3)(x+1)2+0.5(x+3)2(x+1) 二6x3-22x2-24x-4误差为R(x)=(x+3)2(x+1)25.给出函数表试分别作出线性，二次曲线拟合，并给出均方误差. 解线性拟合，即形如y=a+bx的拟合曲线.构造向量0=(1,1,1,1,1,1)T, 1=(-1,-0.5,0,0.25,0.75,1)T,=(0.22,0.8,2,2.5,3.8,4.2)T.贝U得正贝U方程组:6a+0.5b=13.52a 2.078971b 2.0923530.5a+2.875b=7.055所以，线性拟合曲线为：y=2.078971+2.092353x均方误差为：II * II 2= (a bx i y i)2=0.38659 二次拟合，即形如y=a+bx+cx2的拟合曲线.构造向量0=(1,1,1,1,1,1)T, 1=(-1,-0.5,0,0.25,0.75,1)T,2=(1,0.25,0,0.0625,0.5625,1)T , =(0.22,0.8,2,2.5, 3.8,4.2)T. 则得正则方程组：6a+0.5b+2.875c=13.520.5a+2.875b+0.3125c=7.0552.875a+0.3125b+2.3828125c=6.91375解得:a=1.94448,b=2.0851,c=0.28191二次拟合曲线为：y=1.94448+2.0851x+0.28191x2.均方误差为：II * II 2= J (a bX i c2 yj2=0.06943.第五章1.确定下列积分公式中的待定参数，使其代数精度尽可能高，并说明代数精度是多少？h(1) h f (x)dx A/( h) A o f(O) Af(h)解令公式对(x)=1,x,x2都精确成立，则有A- 1+A0+A1=2h-hA -1+hA1=0h2A -1+h2A1=2h3/3解得：A- 1=A1=h/3,A0=4h/3hL*求积公式为：h f(x)dx -[f( h) 4f(0) f(h)](x)=x3时，左=右=0,公式也精确成立(x)=x4时，左=2h5/5,右=2h5/3,公式不精确成立 所以公式的代数精确为 3. 2•用辛普森公式计算积分1x 4dx的近似值，并估计结点误差113.对积分oln -f (x)dx,导出两点Gauss 型求积公式 入解 区间[0,1]上权函数为ln(1/x)的正交多项式为 P0(x)=1, p1(x)=x-1/4, p2(x)=x2-(5/7)x+17/252第六章1.用梯形方法和四阶标准 R-K 方法求解初值问题y +y=0 ， 0<x 1 y(0)=i令 p2(x)=0 ，解出Gauss 点为：x 115 -1064215 -10642再令公式对(x)=1, x 精确成立，可得A1+A2=1,A1x1+A2x2=1/4 ,由此解出1 92 4、106A 2丄 9 2 4、106所以两点Gauss 型求积公式为11Jn f (x)dx1 9 */15 .106 19 */15 .106、2 4J09)f(^^)(2 4、109)f(^^)取步长h=0.1,并与精确解y=e-x相比较.解这里(x,y)=-y ,故梯形公式为：yn+仁yn-0.05(yn+yn+1), 也就yn+1=(0.95/1.05)yny0=1四阶标准R-K公式为：yn+仁yn+(0.1/6)(K1+2K2+2K3+K4)K仁-yn,K2=-(yn+0.05K1),K3=-(yn+0.05K2),K4=-(yn+0.1K3)就是：yn+1=0.9048375yny0=1计算结果为第八章1•利用Jacobi方法求矩阵A的所有特征值，其中解记4 2 1A(0'2 4 21 2 4取i=1，j=2，则有d(0) (0) ai1a22 2諧0,cos sin 0 0.7071 0.7071 0 R 1 R 12()sin cos 0 0.7071 0.7071 00 1 016 0 2.12132A ⑴R 1T A (0)R20.707112.12132 0.707114类似地有7.34521 0.37868 0 7.34521 0.32583 0.19295A ⑵0.37868 20.59716A ⑶0.32583 1.64638 00.59716 2.654790.192953.008411 7.37228 ,2 2.99991 ,3 1.627812. 设矩阵H = l-2xxT,向量x 满足xTx=1,证明：(1)H 为对称矩阵，即HT=H;⑵H 为正交矩阵，即HTH = I; (3)H 为对合矩阵，即H2=l.证明 ⑴因为HT=(l-2xxT)T= I-2xxT=H,故H 对称. (2)因为 HTH=(I-2xxT)T( I-2xxT)= I-4xxT+4xxTxxT= I, 故H 正交.⑶由⑴和⑵即得,H 是对合矩阵.cos =(1+t2)-1/2=0.7071,sin =tcos =0.70717.36378 0 0.19264 A ⑷1.627810.010980.19264 0.01098 3.008417.37228 0.00048 0A (5)0.00048 1.62781 0.010970 0.01097 2.99991所以取。