常微分方程自学习题及答案一 填空题:1 一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线.2 二阶线性齐次微分方程的两个解 y 1(x);y 2(x)为方程的基本解组充分必要条件是________.3 方程0'2''=+-y y y 的基本解组是_________.4 一个不可延展解的存在区间一定是___________区间.5 方程21y dxdy -=的常数解是________. 6 方程0')('')(==+-x q x t p x t 一个非零解为 x 1(t) ,经过变换_______7 若4(t)是线性方程组X t A X )('=的基解矩阵, 则此方程组的任一解4(t)=___________.8 一曲线上每一占切线的斜率为该点横坐标的2倍,则此曲线方程为________.9 满足_____________条件的解,称为微分方程的特解.10 如果在微分方程中,自变量的个数只有一个我们称这种微分方程为_________.11 一阶线性方程)()('x q y x p y =+有积分因子(=μ ).12 求解方程y x dxdy /-=的解是( ). 13已知(0)()3222=+++dy x y x dx y x axy 为恰当方程,则a =____________. 14 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0(22y y x dx dy ,1:≤x R ,1≤y 由存在唯一性定理其解的存在区间是( ). 15方程0652=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛y dx dy dx dy 的通解是( ). 16方程534y x y dx dy =++⎪⎭⎫ ⎝⎛的阶数为_______________. 17若向量函数)()();();(321x x x x n Y Y Y Y 在区间D 上线性相关,则它们的伏朗斯基行列式w (x)=____________.18若P(X)是方程组Y =)(x A dxdy 的基本解方阵则该方程组的通解可表示为_________. 19、一般而言，弦振动方程有三类边界条件，分别为：第一类边界条件u(0,t)=g 1(t), ；第二类边界条件)(),0(t u t x u =∂∂， ；第三类边界条件F )(),0(),0(0t u t u t x u k =-∂∂， T )(),(),(1t v t L u t L xu k =-∂∂，其中k 0,k 1,T 都是大于零的常数，u(t),v(t)为给定的函数。
20、在偏微分方程组中，如果方程个数 未知函数的个数，则方程组为不定的。
反之，如果方程的个数 未知函数的个数，则方程组称为超定的。
（选填“多于”、“少于”或“等于”）21、一般2个自变量2阶线性偏微分方程有如下形式：+∂∂+∂∂+∂+∂∂+∂∂∂∂yu y x e x u y x d u y x c y x uy x b uy x a y x ),(),(),(),(2),(22222 ),(),(y x g u y x f =，其中a(x,y),b(x,y),c(x,y), d(x,y),e(x,y),f(x,y),g(x,y)都是（x,y ）的连续可微函数，a(x,y),b(x,y),c(x,y)不同时为0。
方程中y x u y x c y x u y x b u y x a 22222),(),(2),(∂+∂∂+∂∂∂∂称为方程的2阶主部。
若其2阶主部的系数a,b,c 作成的判别式△=b 2-ac 在区域Ω中的某点（x 0,y 0）大于零，则称方程在点（x 0,y 0）是 型的；如果△=0，则称方程在点（x 0,y 0）是 型的；如果△<0，则称方程在点（x 0,y 0）是 型的。
（选填“椭圆”、“双曲”、“抛物”）二 单项选择:1 方程y x dx dy +=-31满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是( ). (A)上半平面 (B)xoy 平面 (C)下半平面 (D)除y 轴外的全平面2 方程1+=y dx dy ( ) 奇解.(A) 有一个 (B) 有两个 (C) 无 (D) 有无数个3 在下列函数中是微分方程0''=+y y 的解的函数是( ).(A) 1=y (B)x y = (C) x y sin = (D)x e y =4 方程x e y y x ==-''的一个特解*y 形如( ).(A)b ae x = (B)bx axe x + (C)c bx ae x ++ (D)c bx axe x ++5 )(y f 连续可微是保证方程)(y f dxdy =解存在且唯一的( )条件． （A ）必要 （B ）充分 (C) 充分必要 (D)必要非充分6 二阶线性非齐次微分方程的所有解( ).(A)构成一个2维线性空间 (B)构成一个3维线性空间(C)不能构成一个线性空间 (D)构成一个无限维线性空间7 方程323y dxdy =过点(0,0)有( ). (A) 无数个解 (B)只有一个解 (C)只有两个解 (D)只有三个解8 初值问题 ⎝⎛=10'x ⎪⎪⎭⎫01x , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11)0(x 在区间,∞<<∞-t 上的解是( ). (A) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t u t )( (B) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t e u t )( (C) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=e t u t )( (D) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=e e u t )( 9 方程0cos 2=++x y x dxdy 是( ). (A) 一阶非线性方程 (B)一阶线性方程（C)超越方程 (D)二阶线性方程10 方程032=+⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy dx dy 的通解是( ). (A)x eC C 321+ (B) x e C x C 321-+ (C)x e C C 321-+ (D)x e C 32- 11 方程0442=++⎪⎭⎫ ⎝⎛y dx dy dx dy 的一个基本解组是( ). (A) x e x 2,- (B)x e 2,1- (C)x e x 22,- (D)x x xe e 22,--12 若y1和y2是方程0)()(2=++⎪⎭⎫ ⎝⎛y x q dx dy x p dx dy 的两个解,则2211y e y e y += （e 1,e 2为任意常数） (A) 是该方程的通解 (B)是该方程的解(C) 不一定是该方程的通解 (D)是该方程的特解13 方程21y dxdy -=过点(0,0)的解为x y sin =,此解存在( ). (A)),(+∞-∞ (B) ]0,(-∞ (C)),0[+∞ (D)]2,2[ππ-14 方程x e y x y -=23'是( ) . (A) 可分离变量方程 (B) 齐次方程 (C)全微分方程 (D) 线性非齐次方程15 微分方程01=-y xdx dy 的通解是( ). (A) x c y = (B) cx y = (C)c xy +=1 (D)c x y += 16 在下列函数中是微分方程0''=+y y 的解的函数是( ).(A)1=y (B)x y = (C)x y sin = (D)x e y =17 方程x e y y x +=-''的一个数解x y 形如( ).(A) b ae x + (B)bx axe x + (C)c bx ae x ++ (D)c bx axe x ++18 初值问题 ⎝⎛10'x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫11)0(;01x x 在区间∞<<∞-t 上的解是( ). (A)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t u t )( (B)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-t e u t t )( (C)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-t t e t u )( (D) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--t t t e e u )( 三 求下列方程的解:1 求下列方程的通解或通积分:(1)ny y dx dy 1= (2)x y x y dx dy +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21 (3)5xy y dx dy += (4)0)(222=-+dy y x xydx(5)3)'(2'y xy y +=2 求方程的解 01)4()5(=-x t x3 解方程:x y dxdy cos 2=并求出满足初始条件:当x=0时,y=2的特解 4 求方程: xy tg x y dx dy += 5求方程: 26xy xy dx dy -=的通解 6 求0)46()63(3222=+++dy y y x dx xy x 的通解. 7 求解方程: 022244=++x dtx d dt x d 8 求方程: 014455=-dtx d t dt x d 的解 9 求方程25'5''x y y -=-的通解 10 求下列方程组的通解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=x dtdy t y dt dx sin 1 11求初值问题⎩⎨⎧=--=0)1('y y x y 11:≤+x R 1≤y 的解的存在区间并求出第二次近似解 12 求方程的通解(1) 2y x y dx dy += (2) xy x y dx dy tan += (3) 0)4()3(2=---dy x y dx x y (三种方法) (4)04524=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛y dx dy dx dy 13 计算方程 x y y 2sin 34''=+的通解14计算方程 t x dtdx dt x d cos 442=+- 15 求下列常系数线性微分方程: x xey y y 210'2''=+- 16 试求⎢⎣⎡=02x ⎥⎦⎤21x 的基解矩阵17 试求矩阵⎢⎣⎡-=12A ⎥⎦⎤41的特征值和对应的特征向量.18 试求矩阵⎢⎣⎡-=53A ⎥⎦⎤35的特征值和特征向量 19 解方程组 ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13''21y y ⎪⎪⎭⎫22 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21y y 20、⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧><==>+∞<<-∞=∂+∂=∆∂∂0,0,00/0,,002222x x y u y x u u u u y x21、求解初值问题 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∈==∂∂∈==>∈∂=∂∂∂R x x t t u R x t u t R x u u x x a t ,0/,0/0,,222222（提示：使D ′Alembert 公式）22、求解初值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧≥<==>+∞<<-∞∂=∂∂∂0,,0,00/0,,22x c c x t u t x u t u x 为常数23、求解第一初边值问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥====≤≤==><<-∂=∂∂∂0,0/0/0),(0/0,0.,2222t l x u x u l x x t u t l x u u t u b x a ϕ 四 名词解释1微分方程 2常微分方程、偏微分方程 3变量分离方程4伯努利方程 5Lipschitz 条件 6 线性相关五 证明题1在方程0)(')(''=++y x q y x p y 中已知p(x);q(x)在);(+∞-∞上连续求证:该方程的任一非零解在xoy 平面上不能与x 轴相切.2 设x 1(t)、x 2(t)分别是非齐次性线方程 )()()(1111t f x t G dtx d t G dt x d n n n n n =+++-- )()()(2111t f x t G dtx d t G dt x d n n n n n =+++-- 证明：x 1(t)+x 2(t)是方程)()()()(21111t f t f x t G dtx d t G dt x d n n n n n +=+++-- 的解。