二次函数的零点分布
一、基础知识
1． 零点存在性定理：函数()y f x =的图像连续不断，且满足 ；则函数()y f x =在区间（a,b ）存在零点；当 存在唯一零点。

2． 函数265y x x =-+的零点为
3． 二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的零点个数与方程20ax bx c ++=根的关系：
若0∆>，则方程20ax bx c ++=有 根，函数2y ax bx c =++有 个零点
若0∆=，则方程20ax bx c ++=有 根，函数2y ax bx c =++有 个零点
若0∆<，则方程20ax bx c ++=有 根，函数2y ax bx c =++有 个零点
二、例题讲解
例1：函数29y x mx =++有两个零点均大于2，求实数m 的范围
变式1：函数29y x mx =++有两个零点在区间（2，4）内，求实数m 的范围
变式2：函数29y x mx =++有两个零点在区间（2，4）两侧，求实数m 的范围
变式3：函数29y x mx =++有一个零点在区间（2，4）内，求实数m 的范围
变式4：函数29y x mx =++的两个零点，一个在（2，3）内，一个在（4，5）内，求实数m 的范围
变式5：函数29y x mx =++有两个零点一个比2大，一个比2小，求实数m 的范围
变式6：函数2
9y x mx =++的零点都比2大，求实数m 的范围
例2：若不等式(a －2)x 2+2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( ) A (－∞,2] B [－2,2] C (－2,2] D (－∞,－2)
例3：已知函数2
()3f x x ax a =++-若[2,2]x ∈-时，()f x ≥0恒成立，则a 的取值范围为
解：设()f x 的最小值为()g a （1）当22
a -<-即a ＞4时，()g a ＝(2)f -＝7－3a ≥0，得73a ≤故此时a 不存在； (2) 当[2,2]2
a -∈-即－4≤a ≤4时，()g a ＝3－a －24a ≥0，得－6≤a ≤2 又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2；
（3）22
a ->即a ＜－4时，()g a ＝(2)f ＝7＋a ≥0，得a ≥－7，又a ＜－4
故－7≤a ＜－4
综上，得－7≤a ≤2
例4：是否存在这样的实数k ，使得关于x 的方程x 2+（2k －3）x －（3k －1）＝0有两个实
数根，且两根都在0与2之间？如果有，试确定k 的取值范围；如果没有，试说明理由.
解：令2
()(23)(31)f x x k x k =+---那么由条件得到 2
(23)4(31)0(0)130(2)42(23)(31)023022k k f k f k k k ⎧∆=-+-≥⎪=->⎪⎪⎨=+--->⎪-⎪<<⎪⎩即2450131
3722k k k k ⎧+≥⎪⎪<⎪⎨>⎪⎪<<⎪⎩即此不等式无解 即不存在满足条件的k 值.
例5：已知函数()2
13f x ax x a =+-+()a ∈R 在区间[]1,1-上有零点，求实数a 的取值范围．
解：当0a =时，()1f x x =-，令()0f x =，得1x =，是区间[]1,1-上的零点．
当0a ≠时，函数()f x 在区间[]1,1-上有零点分为三种情况：
①方程()0f x =在区间[]1,1-上有重根，
令()14130a a ∆=--+=，解得16a =-或12a =． 当16a =-
时，令()0f x =，得3x =，不是区间[]1,1-上的零点． 当12
a =时，令()0f x =，得1x =-，是区间[]1,1-上的零点． ②若函数()y f x =在区间[]1,1-上只有一个零点，但不是()0f x =的重根，
令()()()114420f f a a -=-≤，解得102
a <≤． ③若函数()y f x =在区间[]1,1-上有两个零点，则
()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥<-<->++-=∆>.01-,01,1211,01412,02f f a a a a 或()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤≤<-<->++-=∆<.
01-,01,1211,
01412,02f f a a a a 解得a ∈∅．
综上可知，实数a 的取值范围为10,2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
． 例6：已知二次函数2()163f x x x q =-++：
⑴若函数在区间[]1,1-上存在零点，求实数q 的取值范围；
⑵问：是否存在常数(0)t t ≥，当[],10x t ∈时，()f x 的值域为区间D ，且D 的长度为12t -。

解：⑴ ∵二次函数2()163f x x x q =-++的对称轴是8x =
∴函数()f x 在区间[]1,1-上单调递减
∴要函数()f x 在区间[]1,1-上存在零点须满足(1)(1)0f f -⋅≤
即 (1163)(1163)0q q +++⋅-++≤ 解得 2012q -≤≤ ⑵ 当881080t t t <⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩
时，即06t ≤≤时，()f x 的值域为：[](8),()f f t ，
即 261,163q t t q ⎡⎤--++⎣⎦
∴22
163(61)166412t t q q t t t -++--=-+=- ∴215520t t -+=
∴152t ±=
经检验152
t ±=不合题意，舍去。

当881080t t t <⎧⎪-<-⎨⎪≥⎩
时，即68t ≤<时，()f x 的值域为：[](8),(10)f f ，
即 []61,57q q --，∴57(61)412q q t ---==-， ∴8t =
经检验8t =不合题意，舍去。

当8t ≥时，()f x 的值域为：[](),(10)f t f ， 即 2163,57t t q q ⎡⎤-++-⎣⎦
∴2257(163)166012q t t q t t t ---++=-+-=-
∴217720t t -+= ∴8t =或9t =
经检验8t =或9t =满足题意，所以存在常数(0)t t ≥，当[],10x t ∈时，()f x 的值域为区间D ，且D 的长度为12t -。