− 2) (x − 1)(x − 2)2 ,
(
3. 4 ) A A−B 0 B (A) (x−1)2 (x−2)
(
) (C) (x−1)2 (x−2)2 (D) (x−1)3 (x−2)3 ( ) (D) || A|| ≥ ρ(A∗ A) ( )
(B) (x−1)(x−2)2
i=1 n ∑ i,j =1
(B) (D) 15 )
λ1 , · · · , λ n s1 , · · · , sn , n ∑ |λi |2 = |si |2 |si |2 =
i=1 n ∑ i,j =1
|aij |2 ,
i=1 n ∑ i=1
|aij |2
3
8.
9. 10.
(x, y, z )T ∈ R3 , σ ((x, y, z )T ) = (2x−y, 2x)T , σ )( ) ( ) ( x1 b1 1 1 = x2 b2 0 0 2 −1 2 1 2 2 −1 , x → Ax A= 3 −1 2 2 t e tet tet λE − A A 3 , eAt = 0 et 0 , t 0 0 e A r≥1 n , B = E − cos A, 1 B
1
二. 填 空 题 (每空 3 分, 共 15 分) 设二维线性空间V 的线性变换T1 : V → V 与T2 : V → V 在基α1 , α2 下的矩阵分别为 ( A= ) 1 0 , 2 1 ( B= ) 1 0 . 2 0 .
1、T1 , T2 的乘积T1 T2 : V → V 在基α1 , α2 下的矩阵为 2、dim R(T1 )= . .
V = R2 V , σ V
, (x, y )T ∈ V , e1 = (1, 0)T , e2 = (0, 1)T . (•, •) e1 , e1 + e2 ; e2 e1 − e2 ; , σ (e1 ) = e1 + e2 . σ ((x, y )T )?
?
2
13. (1) (2) (3)
） 。
三．
计算与证明题（共 70 分）
3 1 1 1（20 分） 设 A 2 0 1 1 1 2
1） 求 A 的谱分解； 2） 求 A 的 Hermite 型，并由此求得 A 的满秩分解； 3） 求 A
2011
。
2 2 1 1 x '(t ) Ax(t ) 的解，其中 A 1 1 1 , x (0) 1 。 2 （15 分） 求常系数线性齐次微分方程组 ( ) | (0) x t x t 0 1 2 2 1
Ui ,
4
上 海交通大学2010-2011学 年 第 一 学 期 《 矩 阵 理 论 》 试 卷A卷 共八道大题目，八页试卷
姓名
学号
矩阵理论分班号
成绩
本试卷共四道大题, 总分100分. 其中 A∗ 表示矩阵 A 的共轭转置. 一. 单 项 选 择 题 (每题 3 分, 共 15 分) 1 0 0 1. 设A = 1 0 0，则A200 − A199 =( 1 0 0 (A) E ; (B ) 0; (C ) A ; (D) A2 .
4. A n (A) || A−1 || = 1/||A|| 5. (A) (C) . 6. 7. n
n ∑ i=1 n ∑ i=1
, ρ(A) , || • || , 5 5 5 5 (B) || A || ≤ ||A|| (C) ||A || ≥ ||A||
n ∑
A = (aij ) n ∑ |λi | = |si | |λi |2 = (
B dim(Im ) dim( Ker ) n

D dim(Im ) dim( Ker ) n
二．
填空题(每题 3 分,共 15 分)
1
设 A 2 A E 0 ，则 e = （
2 At
） 。
2
设A为n阶可逆矩阵，0 为n阶零矩阵，则矩阵
0 A 的A+ 广义逆=（ 0 0
6
七.证 明 题 (6 分) 设 A ∈ Cn×n 证明A 是正定矩阵当且仅当存在一个正定矩阵B ,使得A = B 2 .
7
八、证 明 题 (6 分) 设A为n阶矩阵，证明：A非奇异的充分必要条件是存在常数项不等于0的多项式g (λ)使 得g (A) = 0。
8
上海交通大学 2011-2012 学年硕士研究生《矩阵理论》试卷
3、R(T1 ) ∩ N (T2 )的一个基为
4、若常数k 使得k (A + B )为幂收敛矩阵，则k 应该满足的条件是 ( ) A 0 5、 的Jordan标准型为 . B B
.
2
三.计 算 题 (12 分) 向量空间R2×2 中的内积通常定义为 (A, B ) = ( 选取A1 =
2 ∑ 2 ∑ i=1 j =1
.
.
.
. .
. 11. σ
(
15
,
60
) n . V
V = R[x]n :
σ : f (x) → xf (x) − f (x), (1) (2) (3) σ σ ; Ker(σ ) V = Ker(σ ) ⊕ Im(σ ) Im(σ ) ?
∀ f (x) ∈ V. ; .
12. (1) (2) (3)
1 0 0 A = 1 0 1 . 0 1 0 A Jordan J( n n ≥ 3, A − An−2 ∫t −2 As 0 (E − A )e ds. P ); A2 − E;
14. A ∈ Cn×n r > 0, A s1 > · · · > sr , U = (u1 , · · · , un ), V = (v1 , · · · , vn ) ( ) A B= . A (1) (2) (3) B B∗B B∗B ; ; Moore-Penrose .
)
2.下列集合对所给运算构成实数域上线性空间的是( ) (A) 次数等于m(m 1)的实系数多项式的集合，对于多项式的通常加法和数与多项式的 通常乘法. (B) Hermite 矩阵的集合，对于矩阵的通常加法和实数与矩阵的通常乘法； (C) 平面上全体向量的集合，对于通常的加法和如下定义的数乘运算k · x = x0 ，k 是实数, x0 是某一取定向量. (D) 投影矩阵的集合，对于矩阵的通常加法和实数与矩阵的通常乘法； 3.线性变换为正交变换的必要而非充分条件的是( ) (A) 保持向量的长度不变; (B) 将标准正交基变为标准正交基； (C) 保 持 任 意 两 个 向 量 的 夹 角 不 变 ； 阵. 4.设A是幂等矩阵，则下列命题中不正确的是( ) (A) A与对角矩阵相似； (B) A的特征值只可能是1或者0； (D) 幂级数
A 5
B
6
C 7
D 8
4. 设 A 为 n 阶正交投影矩阵，则下列说法不正确的是
A
A2 A
B
A* A
C A 的 Jordan 型中约当块的数目为 n
D A 可以有复特征值
5． 设 F 是数域， Hom( F , F ) ，则
m n
A C
dim(Im ) dim( Ker ) m dim(Im ) dim( Ker ) m
姓名________ 学号___________
一． 单项选择题(每题 3 分,共 15 分)
任课教师___________
得分______
0 2 1 1. 设 A 2 4 1 ，则 A 不存在： 1 1 5
A 谱分解 B 满秩分解 C 三角分解 D 奇异值分解
1、求矩阵A的Jordan标准型J 和可逆矩阵P 使得A相似于J ； 2、计算矩阵eA ； 3、求下列微分方程组的解 dx = Ax, dt x(0) = x , 0 1 x0 = 1 . 1
4
五.计 算 题 (10 分) ( 设A ∈ C m×n 的秩为r，A的奇异值分解为A = U DV
2009-2010
, . 1. ( 3 , 15
100 )
.
A∗
A
.
R3 U = {(x, y, z )T ∈ R3 | x + y + z = 0}, W = {(x, y, z )T ∈ R3 | x = y = ) (C) 2 . (D) 3 :
z − 2 }.
dim (U + W ) − dim U =( (A) 0 (B) 1 2. U, W V ⊥ ⊥ . (U + W ) = U + W ⊥ ; . (U + W )⊥ = U ⊥ ∩ W ⊥ ; . (U ∩ W )⊥ = U ⊥ + W ⊥ ; . (U ∩ W )⊥ = U ⊥ ∩ W ⊥ . ( ) (A) (B) A B
∗,
D=
Λ O O O
)
m×n
, Λ = diag (s1 , · · · , sr )
求矩阵 B = (A A) 的奇异值分解和它的Moore-Penrose 广义逆B + .
5
六计 算 题 (18 分) 设多项式空间P4 [t] = {f (t) = a0 + a1 t + a2 t2 + a3 t3 |ai ∈ R}中的线性变换为 T f (t) = (a0 − a1 ) + (a1 − a2 )t + (a2 − a3 )t2 + (a3 − a0 )t3 . 1、取定一组基，求该线性变换在该基下的矩阵A； 2、求与A相关的四个子空间N (A), R(A), R(AT )和N (AT )； 3、求线性变换T 的值域的基与维数； 4、求线性变换T 的核的基与维数。