2020-2021常州市天宁区正衡中学九年级数学综合练习一 一、选择题1.计算2a a •的结果是（ ）【A 】3a【B 】2a【C 】3a【D 】22a 【答案】A【分析】本题主要考查了幂的运算2．同步卫星在赤道上空大约36000000米处．将36000000用科学记数法表示应为（ ）【A 】36×106【B 】0.36×108【C 】3.6×106【D 】3.6×107【答案】C【分析】此题考查了对科学记数法的理解和运用和单位的换算．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|<10,n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值3．下列命题正确的个数有（ ）①等弧所对的圆周角相等；②相等的圆周角所对的弧相等；③圆中两条平行弦所夹的弧相等；④三点确定一个圆；⑤在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补．【A 】2【B 】3【C 】4【D 】5【答案】B【分析】本题主要考查了圆周角的性质定理，以及确定圆的条件等圆的基本知识．解题的关键是要注意命题的细节，逐一做出准确的判断．【解答】解：①同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等，故正确；②在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故错误；③圆中两条平行弦所夹的弧相等，正确；④不在同一直线上的三点确定一个圆，故错；⑤在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补，正确．故选：B ．4.已知a ，b 满足方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝42a ＋3b ＝6，则a+b 的值为（ ） 【A 】ab>0【B 】a −b>0【C 】a+b>0【D 】a 2+b>0【答案】A【分析】此题考查了二元一次方程组的整体思想【解答】解： ⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝4①2a ＋3b ＝6②， ①+②得：5a+5b=10，则a+b=2，故选：A ．5.如图,AB ∥CD,AE 平分∠CAB 交CD 于点E ，若∠C=70°,则∠AED 度数为（ ）【A 】110°【B 】125°【C 】135°【D 】140°【答案】B【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质等知识，【解答】解：∵AB ∥CD,∴∠C+∠CAB=180°,∵∠C=70°,∴∠CAB=110°,∵AE 平分∠CAB,∴∠CAE=12∠CBA=55°,∴∠AED=∠C+∠CAE=70°+55°=125°,故选：B ．6.若一次函数y=kx+b(k,b 为常数，且k ≠0）的图象经过点A(0,-1),B(1,1),则不等式kx+b>1的解集为（）【A】x＜0【B】x＞0【C】x＜1【D】x＞1【答案】D【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确数形结合分析是解题关键．【解答】解：如图所示：不等式kx+b>1的解为：x＞1．故选：D．7.如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点,∠ABC=50°,则∠DAB等于（）A．60°B．65°C．70°D．75°【A】60°【B】65°【C】70°【D】75°【答案】C【分析】本题考查了圆周角定理以及三角形的内角和定理，根据圆周角定理结合∠ABC的度数找出∠ABD的度数是解题的关键．【解答】解：连接BD ，如图所示．∵点D 是弧AC 的中点，∴∠ABD=∠CBD ．∵∠ABC=50°,AB 是半圆的直径，∴∠ABD=12∠ABC=25°,∠ADB=90°,∴∠DAB=180°-∠ABD -∠ADB=65°．故选：B ．8.如图，四边形ABCD 、CEFG 都是正方形，点G 在线段CD 上，连接BG,DE 和FG相交于点O ．设AB=a,CG=b(a>b)．下列结论：①△BCG ≌△DCE;②BG ⊥DE;③DG GC =GO CE ;④(a -b)2﹒S △EFO =b 2﹒S △DGO ．其中结论正确的个数是（ ）【A 】4个【B 】3个 【C 】2个【D 】1个【答案】B【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．由四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形，根据正方形的性质，即可得【解答】解：①∵四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形，∴BC=DC,CG=CE,∠BCD=∠ECG=90°,CD ∥EF,∴∠BCG=∠DCE ．在△BCG 和△DCE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DC∠BCG ＝∠DCE CG ＝CE，∴△BCG ≌△DCE(SAS), 故①正确;②延长BG 交DE 于点H ，如图所示：∵△BCG ≌△DCE,∴∠CBG=∠CDE,又∵∠CBG+∠BGC=90°,∴∠CDE+∠DGH=90°,∴∠DHG=90°,∴BH ⊥DE;∴BG ⊥DE ．故②正确；③∵四边形GCEF 是正方形，∴GF ∥CE,∴DG DC ＝GO CE ,DG GC ＝GO CE 是错误的．故③错误；④∵DC ∥EF,∴△EFO ∽△DGO,∴S △EFO S △DGO =⎝ ⎛⎭⎪⎫ EF DG 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫ b a -b 2=b 2(a -b)2, ∴(a -b)2﹒S △EFO =b 2﹒S △DGO ．故④正确；正确的有3个，故选：B ．二、填空题（每题2分，共20分）9.在比例尺为1：80000的常州市城区地图上，清凉路的长度约为25厘米，则它的实际长度约为________千米．【答案】28【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a ：b=c ：d （即ad=bc),我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．也考查了比例尺．【解答】解：设它的实际长度为x 厘米，根据题意得35x =180000,解得x=2800000(cm),2800000cm=28千米．故答案为28．10.若关于x 的方程kx 2-4x -2=0有两个实数根，则实数k 的取值范围是________．【答案】k ≥-2且k ≠0．【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元一次不等式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的情况是解决问题的关键．【解答】解：（1）根据题意得△=(-4)2-4k ﹒(-2)≥0且k ≠0，解得k ≥-2且k ≠0；11.在实数范围内定义一种运算"*",其规则为a*b=a 2-b 2,根据这个规则，方程(x+1)*3=0的解为________．【答案】x 1=2,x 2=-4．【分析】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：如果方程化成x 2=p 的形式，那么可得x=±p ；如果方程能化成(nx+m)2=p(p ≥0)的形式，那么nx+m=±p ．【解答】解：∵(x+1)*3=0，∴(x+1)2-32=0，∴(x+1)2=9，x+1=±3，所以x 1=2,x 2=-4．故答案为x 1=2,x 2=-4．12.已知α，β是方程x 2+2016x+1=0的两个根，则()1+2018α+α2()1+2018β+β2的值为________【答案】4【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据根与系数的关系及一元二次方程的解找出αβ=1,α2+2016α=-1,β2+2016β=-1是解题的关键．【解答】解：∵α，β是方程x 2+2016x+1=0的两个根，∴αβ=1,α2+2016α=-1,β2+2016β=-1，∴()1+2018α+α2()1+2018β+β2=(1+2α-1)(1+2β-1)=4αβ=4．13 .将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BE CE 的值是_______【答案】33 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．【解答】解：设AC=AB=x ，则CD=AC tanD =x 33=3x, ∵∠BAC=∠ACD=90°,∴∠BAC+∠ACD=180°,∴AB ∥CD,∴△ABE ∽△DCE, ∴BE CE ＝AB CD =x 3x=33,14.一副量角器与一块含30°锐角的三角板如图所示放置，三角板的顶点C 恰好落在量角器的直径MN 上，顶点A ，B 恰好落在量角器的圆弧上，且AB ∥MN ．若AB=8，则量角器的直径MN=________．【答案】4 7．【分析】本题考查了垂径定理的应用，在半径或直径、弦长以及弦心距之间的计算中，常用的方法是转化为解直角三角形．【解答】解：作CD ⊥AB 于点D ，取圆心O ，连接OA ，作OE ⊥AB 于点E ．在直角△ABC 中，∠A=30°,则BC=12AB=4，在直角△BCD 中，∠B=90°-∠A=60°,∴CD=BC ﹒sinB=4× 32=2 3,∴OE=CD=2 3,在△AOE 中，AE=12AB=4，则OA=AE 2+OE 2=16+12=27, 则MN=2OA=47． 故答案是：4 7．15. 如图，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A 、C 、D ，与BC 相交于点E ，连接AE ．若∠D=72°,则∠BAE=________°．【答案】36【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的内角和，圆内接四边形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，∠D=72°,∴∠ACB=12∠DCB=12(180°-∠D)=54°,∵四边形AECD 是圆内接四边形，∴∠AEB=∠D=72°,∴∠BAE=180°-72°-72°=36°, 故答案为：3616.如图，点G 是△ABC 的重心,GE ∥AB 交BC 于点E,GF ∥AC 交BC 于点F ，若△GEF 的周长是2，则△ABC 的周长为________．【答案】6【分析】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了相似三角形的判定与性质．【解答】解：如图,∵G 是△ABC 的重心， ∴AG GD =2，∴GD DA =1 3,∵GE ∥AB,∴△DGE ∽△DAB, ∴GE AB =DE DB =DG DA =13,∴AB=3GE,DB=3ED,同理可得AC=3GF,DC=3DF,∴△ABC 的周长=AB+AC+BC=3GE+3GF+3EF=3(GE+GF+EF)=3×2=6． 故答案为6．17. 如图，已知A(6,0),B(4,3)为平面直角坐标系内两点，以点B 圆心的⊙B 经过原点O,BC ⊥x 轴于点C ，点D 为⊙B 上一动点，E 为AD 的中点，则线段CE 长度的最大值为________．【答案】5+ 132．【分析】本题考查坐标与图形的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题．【解答】解：如图，作点A 关于点C 的对称点A ′，连接BA ′,BD,DA ′．由题意AC=CA ′=2,BC=3,BD=OB=32+42=5，∴BA ′=32+22=13, ∵AC=CA ′,DE=EA ，∴EC=12DA ′,∵DA ′≤BD+BA ′,∴DA ′≤5+13, ∴DA ′的最大值为5+13,∴EC 的最大值为5+ 132, 故答案为5+ 132．18.如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=4cm,F 是弦BC 的中点,∠ABC=60°,若动点E 以1c m s 的速度从A 点出发在AB 上沿着A →B →A 运动，设运动时间为t(s)(0≤t<16),连接EF ，当∠FEB 是直角时,t(s)的值为________．【答案】7s 或9s【分析】本题考查圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【解答】解：当∠FEB 是直角时,∠FEB=90°,∵AB 是直径，∴∠FEB=∠C=90°,∵∠B=∠B ，∴△FEB ∽△ACB,∴EB BC =BF AB ,在Rt △ACB 中，∵BC=4,∠B=60°,∴AB=2BC=8，∵F 是弦BC 的中点，∴BF=CF=2，∴EB 4=28,∴EB=1，∴AE=AB -BE=7，∴t 的值为7s 或9s 时,∠FEB 是直角．三、解答题19.计算：（12|1|(-+【答案】12+【分析】本题考察了实数的运算（2）2361, 其中3369x x x x x ⎛⎫-÷-=- ⎪+++⎝⎭【答案】13x +【分析】本题考查分式的运算20.解方程和不等式组：（1）()()2131x x +=+ （2）152(4)37x x x ⎧+<⎨+>+⎩ 【答案】（1）121,2x x =-= （2）＜1x【分析】本题考察了一元二次方程，一元一次不等式组的解法21.某校计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模、“围棋”四个课外兴趣小组，要求每人必须参加，并且只能选择其中一个小组，为了解学生对四个课外兴趣小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图（部分信息未给出），请你根据给出的信息解答下列问题：（1）求参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）；(2)m=________，n=________；（3）若该校共有1200名学生，试估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有多少人？（4）分别用A 、B 、C 、D 表示“书法”、“摄影”、“航模、“围棋”，小明和小红从中各选取一个小组，请用树状图法或列表法求出“两人选择小组不同”的概率．【答案】（1）如图所示（2）36、16；（3）192 （4）34．【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．【解答】解：（1）参加这次问卷调查的学生人数为：30÷20%=150(人）， 航模的人数为150-(30+54+24)=42（人），补全图形如下：（2）m%=54150×100%=36%,n%=24150×100%=16%,即m=36,n=16，故答案为：36、16；（3）该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有1200×16%=192(人）；（4）根据题意画图如下：共有16种等情况数，其中“两人选择小组不同”的有12种，则“两人选择小组不同”的概率是1216=34．22.已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0,3)、B(3,4)、C(2,2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1,点C1的坐标是________；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是________．【答案】见试题解答内容【分析】此题考查了作图-位似变换与平移变换，熟练掌握位似变换与平移变换的性质是解本题的关键．【解答】解：（1）如图所示，画出△ABC 向下平移4个单位长度得到的△A 1B 1C 1,点C 1的坐标是(2,-2);（2）如图所示，以B 为位似中心，画出△A 2B 2C 2,使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且位似比为2：1，点C 2的坐标是(1,0),故答案为：(1)(2,-2);(2)(1,0)23.在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造．已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完成；如果由乙工程队先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成．（1）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数；（2）求两队合做完成这项工程所需的天数．【答案】（1）60；（2）24【分析】本题主要考查分式方程的应用，考查学生对方程知识的应用能力，属于中难度题．【解答】解：（1）设乙工程队单独完成这项工程需要x 天，根据题意得：10x +⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1x + 140×20=1， 解之得：x=60，经检验，x=60是原方程的解．答：乙工程队单独完成这项工程所需的天数为60天．（2）设两队合做完成这项工程所需的天数为y 天，根据题意得：⎝ ⎛⎭⎪⎫ 140+ 160y=1， 解之得：y=24．答：两队合做完成这项工程所需的天数为24天．24.如图，已知一次函数y=kx+b 的图象与x 轴交于点A ，与反比例函数y=m x (x<0)的图象交于点B(-2,n),过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，点D(3-3n,1)是该反比例函数图象上一点．（1）求m 的值；（2）若∠DBC=∠ABC,求一次函数y=kx+b 的表达式．【答案】（1）y=- 6x ,（2）∴y=- 12x+2．【分析】本题主要考查的是一次函数和反比例函数的综合应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及全等三角形的判定与性质是解题的关键．【解答】解：（1）∵点B(-2,n)、D(3-3n,1)在反比例函数y=m x (x<0)的图象上，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－2n ＝m 3－3n ＝m ，解得： ⎩⎪⎨⎪⎧n ＝3m ＝－6． （2）由（1）知反比例函数解析式为y=- 6x ,∵n=3，∴点B(-2,3)、D(-6,1),如图，过点D 作DE ⊥BC 于点E ，延长DE 交AB 于点F ，在△DBE 和△FBE 中，∵ ⎩⎪⎨⎪⎧∠DBE ＝∠FBEBE ＝BE ∠BED ＝∠BEF ＝90°，∴△DBE ≌△FBE(ASA), ∴DE=FE=4，∴点F(2,1),将点B(-2,3)、F(2,1)代入y=kx+b,∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝32k ＋b ＝1，∴y=- 12x+2．25.已知：如图⊙O 是以等腰三角形ABC 的底边BC 为直径的外接圆，BD 平分∠ABC 交⊙O 于D ，且BD 与OA 、AC 分别交于点E 、F 延长BA 、CD 交于G ．（1）试证明：BF=CG ．（2）线段CD 与BF 有什么数量关系？为什么？（3）试比较线段CD 与BE 的大小关系，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）2CD=BF ；（3）BE>CD ．【分析】此题主要考查了圆周角定理以及全等三角形的判定和等腰三角形的性质等知识，根据已知连接EC 利用等腰三角形的性质得出是解题关键．【解答】(1)证明：∵⊙O 是以等腰三角形ABC 的底边BC 为直径的外接圆，∴AB=AC,∠BAC=90°,∠ABD=∠DCA,∴ ⎩⎪⎨⎪⎧∠ABD ＝∠GCAAB ＝AC ∠BAC ＝∠GAC，∴△ABF ≌△ACG,(ASA)∴BF=CG ；（2）线段2CD=BF ，证明：∵BD 平分∠ABC 交⊙O 于D ，∴∠GBD=∠CBD,∵BC 为直径，∴∠BDC=90°,∴ ⎩⎪⎨⎪⎧∠GBD ＝∠CBDBD ＝BD ∠GDB ＝∠BDC， ∴△BDG ≌△BDC,(ASA)∴GD=CD ，∵BF=CG ；∴CD CG =12,即CD BF =12,∴2CD=BF ；（3）证明：连接EC,∵△ABC 是等腰三角形，AB=AC ，且BO=CO ，∴AO ⊥BC(等腰三角形三线合一），∴BE=EC ，∵∠EDC=90°,在△EDC 中所对斜边为EC ，∴EC>CD(直角三角形中斜边大与直角边长），∴BE>CD ．26.定义：如图1,D,E 在△ABC 的边BC 上，若△ADE 是等边三角形则称△ABC 可内嵌,△ADE 叫做△ABC 的内嵌三角形．（1）直角三角形________可内嵌．（填写“一定”、“一定不”或“不一定”）（2）如图2，在△ABC 中,∠BAC=120°,△ADE 是△ABC 的内嵌三角形，试说明AB 2=BD ﹒BC 是否成立？如果成立，请给出证明；如果不一定成立，请举例说明．（3）在（2）的条件下，如果AB=1,AC=2，求△ABC 的内嵌△ADE 的边长【答案】（1）不一定；（2）AB 2=BD ﹒BC ．（3）是2 77．【分析】此题主要考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．【解答】解：（1）当直角三角形是等腰直角三角形时可内嵌，∴直角三角形不一定可内嵌．（2）∵△ADE 是△ABC 的内嵌三角形，∴△ADE 是正三角形，∴∠ADE=60°,在△ADB 和△BAC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ADB ＝∠BAC ＝120°∠B ＝∠B∴△BDA ∽△BAC,∴AB BC =BD AB , 即AB 2=BD ﹒BC ．（3）设BD=x ，∵△BDA ∽△BAC,△AEC ∽△BAC,∴△BDA ∽△AEC,∴AB AC =BD AE ,∴12=x DE ,即DE=2x ，同理CE=4x ，∴12=x ﹒7x,∴7x 2=1，解得x=77,∴DE=2 77,∴△ABC 的内嵌△ADE 的边长是2 77．27.如图,Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，P 为BC 边上一点（不与B 、C 重合），过点P 作PQ ⊥AP 交AB 于Q ，连接AP 交CD 于点E ．（1）求证：△ACE ∽△PBQ; （2）若AC=6,BC=8,CP=x, PE PQ =y ，试用含x 的式子表示y ；（3）在（2）的条件下，若△CPE 为等腰三角形，请直接写出CP 的长．【答案】（1）见解析（2）即y=4x 24-3x ．（3） CP 的长为3或92或74．【分析】本题考查相似三角形综合题、勾股定理、等角的余角相等等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．【解答】（1）证明：∵CD ⊥AB,∠ACB=90°,∴∠CAD+∠ACE=90°,∠B+∠CAD=90°,∴∠ACE=∠B ，∵AP ⊥PQ,∴∠BPQ+∠APC=90°,∵∠ACB=90°,∴∠CAE+∠APC=90°,∴∠BPQ=∠CAE,∴△ACE ∽△PBQ;（2）解：过点A 作AK ∥BC 交CD 的延长线于点K ．∵∠ACD=∠B,∠CAK=∠ACB=90°,∴△ACK ∽△CBA,∴AK AC =AC BC ,∴AK 6=68,∴AK=92,∵AK ∥BC,∵CP=x ，∴△CPE ∽△KAE,∴CP AK =EP EA =2x 9,∴EP=2x 9EA, ∵△ACE ∽△BPQ,∴AEPQ=ACPB=68-x,∵PEPQ=y，∴y=2x9EAPQ=2x9﹒EAPQ=2x9﹒68-x=4x24-3x,即y=4x24-3x．（3）解：①当CE=PE=x时，∵PEPQ=y，∴CEPQ=y=4x24-3x,∵△ACE∽△BPQ,∴CEPQ=ACBP,∴4x24-3x=68-x,解得x=92．②当CE=CP=x时，在Rt△ACB中，AC=6,BC=8，∴AB=62+82=10，∵CE=CP，∴∠CEP=∠CPE,∵∠CEP=∠ACD+∠CAE,∠CPE=∠B+∠PAB,∵∠ACD=∠B，∴∠CAE=∠PAB,∴△AEC∽△APB,∴CEBP=ACAB,即x8-x=610,解得x=3．③当CP=EP时,∠CEP=∠DCB,∵∠CEP=∠CAE+∠ACD,∠DCB=∠CAD=∠CAE+∠PAB,∴∠ACD=∠PAB,∵∠ACD=∠B，∴∠PAB=∠B，∴AP=BP=8-x,在Rt△ACP中,AC2+PC2=AP2,∴62+x2=(8-x)2,解得x=7 4,综上所述，当△CPE是等腰三角形时，CP的长为3或92或74．。