于是
∫ f (x)dx = ∫ (− cos x + C )dx = − sin x +C1x +C2 .
其中 C1,C2 为任意常数,取 C1 = C2 = 0 ,得 f (x) 的一个原函数为 − sin x .
注意 此题答案不唯一.如若取 C1 = 1,C2 = 0 得 f (x) 的一个原函数为 −sin x − x .
=
1 22
∫
1 d( 2x −1
2x
−
1)
−
2
1 2
∫
1 d( 2x +1) 2x +1
1 = ln
22
1
2x +1 − 2
ln 2
2x
+1
+
C
=
1 22
ln
2x −1 +C 2x +1
(18)∫
(x
+
dx 1)(x
(4)由 Q′(P) = −1000(1)P ln 3 得 3
∫ ∫ Q(P) =
[−1000(1)P ln 3]dx = −1000 ⋅ ln 3
(
1 )
P dx
=
1000
⋅
(
1)P
+
C.
3
3
3
将 P=0 时,Q=1000 代入上式得 C=0
所以需求量与价格的函数关系是 Q(P) = 1000(1)P . 3
2 1− x2
1− x2
1− x2
(11)∵
d
(arctan
3
x)
=
1
3 +9
x
2
dx
dx ∴1+ 9x2
=
1 d(arctan 3x) 3
(12)∵d(arctan 2x) = 2 dx 1+ 2x2
dx 1
∴
= (arctan 2x)
1+ 2x2 2
(13)∵d(2x − x3 ) = (2 − 3x2 )dx = −(3x2 − 2)dx ∴(3x2 − 2)dx = −d(2 x − x3)
= ∫ csc2 xdx − ∫ sec2 xdx = − cot x − tan x + C
2. 解答下列各题： (1) 一平面曲线经过点(1，0)，且曲线上任一点(x,y)处的切线斜率为 2x-2,求该曲线方程；
∫ (2) 设 sinx 为 f(x)的一个原函数，求 f ′(x) dx；
(3) 已知 f(x)的导数是 sinx，求 f(x)的一个原函数； (4) 某商品的需求量 Q 是价格 P 的函数，该商品的最大需求量为 1000(即 P=0 时，Q=1000),
(2
2
− 3x)3
+C
=
−
1
2
(2 − 3x)3
+C
3 2 − 3x 3
32
2
(5)∫ sin t t dt = 2∫ sin
t
⋅
1 2
t
dt
=
2∫
sin
t ⋅d(
t ) = −2cos
t +C
(6)∫
x ln
dx x ln
ln
x
=
∫
1 ln ln
x
⋅
1 x ln
dx x
=
∫
1 ln ln
x
d(ln ln
x −
d(1+ e 2 );
dx
(9)
=
1− x2
d(1-arcsinx);
dx
(8) =
x
d(5ln｜x｜);
xdx
(10)
=
1− x2
d 1− x2 ;
2
dx
(11)
=
1+ 9x2
d(arctan3x);
dx
(12)
=
1+ 2x2
(13) (3 x2 -2)dx=
d(2x- x3 )；
2x
(14) cos( -1)dx=
f (x) = x2 − 2x +1.
(2)由题意有 (sin x)′ = f (x) ,即 f (x) = cos x ,
故
f ′(x) = − sin x ,
所以
∫ f ′(x)dx = ∫ − sin xdx = −∫ sin xdx = cos x + C .
∫ (3)由题意有 f ′(x) = sin x ,则 f (x) = sin xdx = − cos x + C1
第五章
1.求下列不定积分：
∫ (1) x (x2 − 5) dx; ∫ (3) 3x ex dx； ∫ (5) 2 ⋅ 3x − 5⋅ 2x dx；
3x
习题 5-1
(1− x)2
∫ (2)
dx;
x
∫ (4) cos2 x dx；
2
∫ (6)
cos 2x dx .
cos2 x sin2 x
∫ ∫ ∫ ∫ 解 (1)
5
5
5
4
∫ ∫ (2) (3 − 2x)3dx = − 1 (3 − 2x)3d(3 − 2x) = − 1 (3 − 2x)4
2
8
(3)∫
dx 1− 2x
=
−
1 2
∫
1 1− 2x
d(1 −
2x)
=
−
1 2
ln
1−
2x
+C
∫ ∫ (4)
dx
1 =−
(2
−
−
3x)
1 3
d(2
−
3x)
=
(−
1 )
3
x (x2 − 5)dx =
5
1
(x2 − 52 )dx =
5
x2dx − 5
1
x2dx
=
2
7
x2
10 −
3
x2
+
C
73
∫ ∫ ∫ (2)
(1− x)2 dx =
1− 2x + x2 dx =
−1
(x 2
−
1
2x2
+
3
x2
)dx
x
x
∫ ∫ ∫ =
−
x
1 2
dx
−
2
1
x2dx +
3
x2dx
=2
x
−
4
3
cos x sin x
1+ ln x
∫ (28)
dx ;
(x ln x)2
x2
∫ (29)
dx, a > 0 ;
a2 − x2
dx
∫ (30)
;
(x2 +1)3
x2 − 9
∫ (31)
dx ;
x
dx
∫ (32)
;
x + 1− x2
dx
∫ (33)
;
1+ 1− x2
(34) ∫
a + xdx, a > 0 ; a−x
t
dt
;
∫ (7) tan10 x sec2 xdx ;
dx
(6) ∫ x ln x ln ln x ; ∫ (8) x e−x2 dx ;
3
dx
(9) ∫ sin x cos x ;
∫ (10) tan 1+ x2 ⋅ xdx ;
1+ x2
dx
∫ (11)
;
ex + e−x
∫ (12)
x dx ;9x源自dx=(x
−
9
9x +x
2
)d x
∫ ∫ = xdx − 9 1 d(9 + x2 ) = 1 x2 − 9 ln(9 + x2 ) + C
2 9 + x2
22
dx 1
(17)∫ 2x2 −1 = 2 ∫ (
1 −
2x −1
1 2x
+
)dx 1
=
1 2
∫
1 2x
−
dx 1
−
1 2
∫
1 dx 2x + 1
∫ (20) cos2 (ωt + ϕ)sin(ωt + ϕ)dt ;
x
∫ (22) cosx cos dx ;
2
∫ (24) tan3 x sec xdx ;
arctan x
∫ (25)
dx ;
x(1+ x)
dx
∫ (26)
;
(arcsin x)2 1− x2
∫ (27) ln tan x dx ;
x2
+
2
5
x2
+
C
35
∫ ∫ (3) 3x exdx = (3e)xdx = 1 (3e)x + C = 3xex + C
ln(3e)
1+ ln 3
(4)∫
cos2
x 2
dx
=
∫
1+
cos 2
x
dx
=
1 2
∫
dx
+
1 2
∫
cos
xdx
=
1 2
x
+
1 2
sin
x
+
C
(5)∫
2
⋅
3x
− 3x
5⋅