亥姆霍兹方程
在仅涉及满足叠加原理的线性运算（加、减、积分和微分等）时， 可用复指数函数替代表示光振动的余弦函数形式。在运算的任何一 个阶段对复指数函数取实部，与直接用余弦函数进行运算在同一个 阶段得到的结果是相同的
故可将复振幅波动方程化简为
( k ) U
其中 k 称为波数，表示单位长度上产生的相位变化，定义为
数。这就是平面波空间频率的物理意义 空间频率与平面波的传播方向有关，波矢量与轴的夹角越大，则λ 在轴上的投影就越大，也就是在该方向上的空间频率就越小，空 间频率的最大值是波长的倒数
空间频率的物理意义
传播矢量 k 位于 x ,z 平面的平面波在 x, y 的空间频率 。 平面上
空间频率的两种意义
复振幅分布的角谱
对任一平面上的光场复振幅分布作空间坐标的二维傅里叶变换， 可求得其频谱分布 设有一单色光波沿 z 方向投射到 x, y 平面上，在 z 处光场分 布为 U ( x, y, z) 其频谱分布可由二维傅里叶变换计算得到为
A( f x , f y , z ) U ( x, y, z ) exp[ j ( xf x yf y )]dxdy
信息光学
标量衍射理论
一 什么是标量衍射理论？
衍射：按照索末菲定义是“不能用反射或折射来解释的光线对直 线光路的任何偏离”
光的标量衍射理论的条件
（1）衍射孔径比波长大很多， （2）观察点离衍射孔不太靠近； 经典的标量衍射理论最初是1678年惠更斯提出的，1818年菲涅耳 引入干涉的概念补充了惠更斯原理，1882年基尔霍夫利用格林定 理，采用球面波作为求解波动方程的格林函数，导出了严格的标 量衍射公式
对于会聚球面波球面波方程指数上加负号
球面波在平面上的等位相线
球面波在平面上的复振幅分布
当点光源或会聚点位于空间任意一点时，有
r
x x




y y


z z






考察与其相距 z z 的平面 x y 上的光场分布。
r z x x y y
所以
f z ( 1 2 f x 2 f y )
2 2
平面波的复振幅即平面波方程可以写为
U ( x, y, z ) a exp[ j ( xf x yf y )] exp( j U ( x, y,) exp( j




z f x f y )

由于各个不同空间频率的空间傅里叶分量可看作是沿不同方向传 播的平面波，因此称空间频谱为平面波谱即复振幅分布的角谱
同时有逆变换为
U ( x, y , z )


A( f
x
, f y , z ) exp[ j ( xf x yf y )]df x df y
上式说明，单色光波在某一平面上的光场分别可以看作是不同传 播方向的平面波的叠加，在叠加时各平面波有自己的振幅和位相， 它们的值分别为角谱的模和幅角。
k

v



化简后的波动方程称为亥姆霍兹方程，是不含时间的偏微分方程。 在自由空间传播的任何单色光扰动的复振幅都必须满足这个不含时 间的波动方程。这也就意味着，可以用不含时间变量的复振幅分布 完善地描述单色光波场
球面波的复振幅表示
从点光源发出的光波，在各向同性介质中传播时形成球形的波面， 称为球面波。一个复杂的光源常常可以看做是许多点光源的集合, 它所发出的光波就是球面波的叠加 这些点光源互不相干时是光强相加，相干时则是复振幅相加。 球面波的等位相面是一组同心球面，每个点上的振幅与该点到球 心的距离成反比 当直角坐标的原点与球面波中心重合时，单色发散球面波在光场 中任何一点产生的复振幅可写作 a U P e jkr r a 为离开点光源单位距离处的振幅


位相相同的点的轨迹，即等位相线方程为同心圆族
x x y y C
平面波在 x y 面上的等位相线
平面波的复振幅表示
在任意时刻、与波矢量相垂直的平面上振幅和位相为常数的光波称 为平面波 如波矢量 k 表示光波的传播方向，其大小为 k 2 ，方向余弦 为 cos , cos , cos ，则平面波传播到空间某点的复振幅的一般表 达式为
U ( x, y, z ) a exp( jk r ) a exp[ jk ( x cos y cos z cos )]
其中 a 为常量振幅。由于方向余弦满足 cos 1 cos2 cos2 于是复振幅可写为 U ( x, y) A exp[ jk ( x cos y cos )] 其中
光振动的复振幅定义
取最简单的简谐振动作为波动方程的特解，单色光场中某点在时 刻的光振动可表示成
uP, t aP cos2πν t φP
用复指数函数表示光振动是方便的，上式变成
u P, t Re a P e j 2 πν t φ P
jφ P j 2 πν t
r

可写为






如果
x x y y
z

x x y y z z


利用二项式展开，并略去高阶项，得到 r z
x x y y
z
将近似式代入发散球面波表达式，得到在平面上平面波复振幅 分布为 a k x x y y U x, y exp jkz exp j z z






研究角谱的传播就是要找到上面两个角谱，即 z 0 平面上的角谱和 z z 平面上的角谱之间的关系
复振幅分布及其角谱的传播
从亥姆霍兹方程讨论传播规律
将 U ( x, y, z ) 表达式代入亥姆霍兹方程,改变积分与微分的顺序， 可以推导出，二阶线性微分方程
d cos cos cos cos A( , , z ) k cos cos A( , , z) dz
fx cos
fy cos
fz cos

U ( x, y, z ) a exp[ j ( xf x yf y zf z )]
空间频率的倒数即为振荡周期（X，Y，Z）
λ λ λ ,Y , Z cosα cosβ cosγ y z 空间频率表示在 x 、 、 轴上单位距离内的复振幅周期变化的次 X
2f z 4
所以

) 2 cos2 cos2 cos2 4 2 3 2 4 2 41 2 41 0.98



因而系数圆频率 4,3,4 的单位是 k 弧度
fx 2
mm
,
，对应的空间频率为
2f z 0.64 k l mm

0.64 k l



z f x f y )
其中
U ( x, y,) a exp[ j ( xf x yf y )]
该式表达了在任一距离z的平面上的复振幅分布，由在 z 0 平 面上的复振幅和与传播距离及方向有关的一个复指数函数的乘积 给出 这ห้องสมุดไป่ตู้明了传播过程对复振幅分布的影响，已经在实质上解决了最 基础的平面波衍射问题
标量波动方程
作为空间和时间函数的电场或磁场分量 上满足标量波动方程
u
u
，在任一空间无源点
式中
x y z
v t


u
是拉普拉斯算符，电磁场在介质中传播速度 而
v
ε μ

、
为介质的介电系数和磁导率。
满足该方程的基本解的线性组合都是方程的解。球面波和平面波 都是波动方程的基本解。任何复杂的波都可以用球面波和平面波 的线性组合表示，也都是满足波动方程的解。
mm
,
f y 0.48k l
mm
例题（续）
在 z 5mm 的垂直于
z
轴的平面上的复振幅分布为
U x, y,5 A exp j 4 x 3 y 10 3 exp j 2 10 4
式中



x, y 的单位为毫米
平面波的复振幅的传播
2 2 2 2 2 2 三个空间频率不能相互独立,由于 f x f y f z 1
时间倒数：频率；长度倒数：空间频率，即在单位长度内周期函 数变化的周数（单位：周/mm，线对/mm，L/mm，等 ） 信息光学中有两种空间频率，一种是空间强度分布，单位为：周 /mm，线对/mm，L/mm，等，对二维图象进行频谱分析得到的图象 频谱对应的空间频率； 另一种是平面波对应的空间频率，因为电磁波在均匀介质中波长 是常数，在其传播方向上空间频率是不变的。因而其对应在三维 空间坐标上的每个方向的空间频率（单位为：光波数/mm ）表示 出的意义实际上是电磁波的传播方向，或其传播方向与坐标轴的 夹角，而且大小受到光波长的限制，最大是波长的倒数。
U ( x, y, z )
U ( x, y,)


A(

cos cos cos cos cos cos , ,) exp[ j ( x y )]d ( )d ( )






U ( x, y , z )

A(
cos cos cos cos cos cos , , z ) exp[ j ( x y )]d ( )d ( )
Re a P e