当z足够大时，展开式中第三项可忽略。这种近似称菲涅耳近似或
傍轴近似。
这时指数部分的r取为
rz[1(xx0)2(yy0)2]
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2z
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（夫琅和费近似）
+
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2.2 衍射的角谱理论
孔径平面和观察平面上的光场分布都可以分别看成 是许多不同方向传播的单色平面波分量的线性组合。每 一平面波分量的相对振幅和相位取决于相应的角谱。
x0 y0
U0(x0, y0)
A0(c
os ,
c
os)
z=0
xy
U(x, y)
z A(cos ,cos)
z=z
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基尔霍夫理论与角谱理论的比较
• （1）基尔霍夫理论和角谱理论是统一的，它们都 证明了光的传播现象可看作线性系统。－－共同 的物理基础（标量波动方程）
• （2）基尔霍夫理论是在空域讨论光的传播，是把 孔径平面光场看作点源的集合，观察平面上的场 分布等于它们发出的不同权重的球面波的相干叠 加。球面子波在观察平面上的复振幅分布就是系 统的脉冲响应。角谱理论是在频域讨论光的传播， 是把孔径平面场分布看作许多不同方向传播的平 面波分量的线性组合。观察平面上场分布仍然等 于这些平面波分量的叠加，但每个平面波引入了 相移。相移的大小决定系统的传递函数，它是系 统脉冲响应的傅里叶变换。
一 惠更斯原理 表述：任何时刻的波面上的每 一点都可作为发射子波的波源， 各自发出球面子波。其后任一时刻所有子波波面的包络面形成 整个波动在该时刻的新波面。 优点：① 可以直观描述波的传播并解释衍射产生的原因。
② 可由已知波面求另一时刻的波面。 不足：对衍射仅有定性解释，无法用波长、振幅、位相等基尔霍夫衍射理论 • 衍射的角谱理论 • 菲涅尔衍射和夫琅禾费衍射 • 透镜的傅里叶变换性质
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2.1 基尔霍夫衍射理论
• 惠更斯－菲涅尔原理与基尔霍夫衍射公式 • 惠更斯－菲涅尔原理与叠加积分 • 相干光场在自由空间传播的平移不变性 • 相干光场在自由空间传播的脉冲响应
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2.1. 惠更斯—菲涅耳原理与基尔霍夫衍射公式
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孔径输出
A 0 ( c, o c) s o ( c s, o c) s o * T ( c s, o c) s o T ( c s, o c) s o
上式说明通过衍射屏后，由δ函数所表征的入射光 场的角谱变成了孔径函数的傅里叶变换，显然角谱 分量大大增加。
结论：
（1）从空域上看，孔径的作用是限制了入射光波的大 小； （2）从频域上看则是展宽了入射光场的角谱
实际透镜有一孔径，透镜孔径函数（光瞳函数）为
1， 透镜孔径内 P(x, y) 0， 其它
透镜的相位变换因子为
t(x,y)P(x,y)exp j k[(x2y2)] 2f
只要满足傍轴条件，就可以对任意的入射波进行变换。薄透 镜的相位变换特性与入射波无.关，由透镜本身性质决定。
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夫琅和费近似范围
z21（x02
y02） max
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用单位振幅平面波垂直于P1面入射时U1(x,y)=1,P2上的场分布为 U 1 U 1(x,y)t(x,y)ex jp 2 kf[(x2y2)]
正透镜f>0, U 1 是向透镜后方焦点F/会聚的球面波。 负透镜f<0, U 1 是向透镜前方虚焦点F发散的球面波。
表达式很复杂。r可表示为
rz[1(xx0)2(yy0)2]1/2
当
con ,sr )(1时
(x
x0 z
)2、z( y y0
z
)2
z 都是小量，r可展开为
r z [ 1 ( x x 0 ) 2 2 z ( y y 0 ) 2 [x (x 0 ) 2 8 z ( 4 y y 0 ) 2 ] 2 ]
2.给出了常数C的具体形式 方法：将光场当作标量处理，只考虑电场的一个横向分量的标量
振幅，而假定其它分量也可以用同样的方法处理，忽略电 磁场矢量间的耦合特性，称之为标量衍射理论。 标量衍射理论适用条件： （1）衍射孔径比波长大得多 （2）观察平面远离孔径平面
主要研究问题： 研究光源S发出的球面波照明无限大的不透明屏上的孔，
第二章 标量衍射理论
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➢ 光波的传播过程就是光波衍射过程
矢
假设与近似
标
量 (1)整个光波场内光矢量振动方向 量
波 不变，或只考虑光矢量的一个分量。 波
衍 射
(2)衍射屏的最小尺寸远大于波长。 衍 射
理 (3)观察距离远大于波长。
理
论 (4)折射率与光强无关。
论
波动光学
波动光学 （基础）
本章讲述标量衍射理论，需要指出的是，在现代衍 射 光学、微光学、二元光学及光子晶体分析中，常利 用矢量波衍射理论。
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2.3 菲涅耳衍射和夫琅和费衍射
菲涅耳衍射公式
U ( x ,y ) ejx jk ) k p z U z0 ( ( x 0 ,y 0 )ex j( k x p x 0 ) [ 2 2 z (y y 0 ) 2 ] d 0 d x 0y
r展开式中第三项引起的相位变换
2[x (x0)2(yy0)2]2ma x2 8z3
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二 惠更斯－菲涅耳原理 三 目的：以子波相干叠加的方法对衍射结果进行定量描述。
Z
Q R
r
S
P
Z/
研究方法：单色点光源S发出的球面波波面为，波面半径为R， 光波传播空间内任意一点P的振动应是波面上发出的所有子波 在该点振动的相干叠加。
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三 基尔霍夫衍射公式
基尔霍夫的贡献：1.给出了倾斜因子 K
即
z3 [(xx0)28 (yy0)2]2max
这是充分条件，但不是必要条件，实际上当z较小不满足 上式，也能观察到菲涅耳衍射。
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由cos ;cos ,传递函数可表示为
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2（ x0 2 2 y z0 2 ） ma x2 或 z2 1 （ x0 2y0 2 ） max
计算孔径右边空间衍射场中某点P的场值－－小孔衍射问题
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2.1.4 相干光场在自由空间传播的脉冲响应的近似表达式
1、傍轴近似
脉冲响应表达式为
h ( x 0 ,y 0 ; x ,y ) j 1 e kj x z k z 2 p ( x x [ 0 ) 2 ( y y 0 ) 2 ] h ( x x 0 ,y y 0 )