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第六章 弯曲应力
上一讲回顾（12）
•梁变形与受力假设：平面假设，单向受力假设。 y My s •正应力公式： s E E Iz M Iz s max •最大正应力： Wz Wz y S z ydA, S y zdA •静矩：
A A
•惯性矩与惯性积 ：

50
a
F l
a
a = ? [ F ] 最大.
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27
第六章 弯曲应力
配重降低最大弯矩作用分析
M
Pa Pa F P
F a
P
l
a
a
l
a
M
Fl/4 +
M
Fl/4-Pa Pa
+
Pa
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第六章 弯曲应力
弯拉（压）组合分析
A F
l 2
q
B
C
l 2
F
C
FN M max
sN

sM
y
sN sM

20 kN 20 kN
C
D
解：计算截面形心 与惯性矩
A
B
1m
3m
1m
yC 139mm I z 40.3 106 mm 4
M 图:

10kN m

20kN m
200
为校核梁的强度，需计算 B截面a点的拉应力与b点 压应力，C截面b点拉应力
a
30
y1
z
170
yC
b 30
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3. 弯矩计算 或
EI z
bd 2s max M s max W 1.14kNM 6
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第六章 弯曲应力
梁的弯曲正应力小结
中性轴位置：中性轴过截面形心
中性层曲率：
1


M （I z －惯性矩） EI z （EI z －截面弯曲刚度）
My 正应力公式： s ( y ) Iz
最大应力发生在圆截 面的右上一点
M
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第六章 弯曲应力
上一讲回顾（13）
•矩形截面梁的弯曲切应力: •薄壁截面梁的弯曲切应力:
Fs S z ( ) t ( s) Izt
FS S z ( ) t (y ) Izb
Fs S z ( ) 剪流 q( s) Iz
•梁的强度条件：
s max
s max
M Wz
（Wz －抗弯截面系数）
应用条件： s max s p ，对称弯曲 , 纯弯与非纯弯
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3
第六章 弯曲应力
例： 确定下图所示截面的形心位置
50
O
50 A1
z
60
A2
10
y
解：将截面分为两部分， 利用组合截面的公式：
yc 1 A1 yc 2 A2 yc A1 A2
100
a
a 50
S z ,max 100 10 50 2 80 10 95 1.76 105 mm 3
100
5
ta
Fs S z ,a 2tI z

4 10 1.51 10 10.85 MPa 7 20 2.779 10
4
10
t max
Fs
A
Fs
问题：A处剪流的方向向上还是向下？
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第六章 弯曲应力 工字形截面梁的弯曲切应力 Fs S z ( ) t ( s)
Izt
Fs
b
翼缘
1 ( H h) 2 1 S z ( ) t1 ( h t ) 2 F (h t1 ) Fs ( H h) t ( ) s 2Iz 4I z t1
t
z
dx
y
t 的大小
F1
dx
t (s)
t ' (s)
同样依据切应力互等定理，将 横向截面上的切应力计算转化 为纵向截面上的切应力计算。
F2
S
w
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8
第六章 弯曲应力 二、对称薄壁梁的弯曲切应力 2.
t 的计算
w w
Fs
t ( s )tdx F2 F1
F1 s dA F2 F1 My M dA S z ( ) Iz Iz
h/b值对解的影响： 横截面上各点假设：t//侧边，或t//剪力
t 沿截面宽度方向均匀分布
F h/b越大，解越精确。(h/b>2时，足够精确)
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第六章 弯曲应力 二、对称薄壁梁的弯曲切应力 1. 问题分析 (1). 切应力 t 方向与分布假定
x
Fs
•沿截面中心线
依据：切应力互等定理 •沿截面厚度均匀 (2)、计算
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第六章 弯曲应力 弯曲正应力与弯曲切 应力比较
l
F
s max
s max t max
3F Fl 6Fl t max 2 2 bh bh2 bh 6 6Fl 2bh l 2 4 当 l >> h 时，smax >> tmax bh 3F h
b
C
z
h
y
Fs S z ( ) q( s) Iz
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第六章 弯曲应力 梁的强度条件 • 弯曲正应力强度条件：
s max
M W [s ] z max
smax：最大弯曲正应力；[s] ：材料单向应力许用应力
•弯曲切应力强度条件：
t max
FS Sz ,max [t ] I zd max
20 kN
C
D
是弯矩绝对值最大截面？
1m 3m 1m
画剪力弯矩图
M 图:
My s Iz
C截面：弯矩绝对值最大。a点拉应 力，b点压应力都可能达危险值。 B截面：弯矩绝对值不是最大， 但b点拉应力可能达危险值。

10kN m

20kN m
200
a
30
y1
z
170
yC
b 30
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第六章 弯曲应力
M [s ] Wz max
FS S z ,max t max [t ] I zd max
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第六章 弯曲应力 引言：梁合理强度设计的理论依据与设计思路
M My 依据 s = , s Wz Iz
FS S z ( ) t Izd
合理强度设计基本思路 增大Wz、Iz与降低M
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第六章 弯曲应力 •由Iz与Wz的区别看强度与刚度设计 的不同 a
ax
(1 x) a
a I z (1 x)3 (1 3x) 12 2 3 Wz a (1 x)2 (1 3x) 12 在区间(0,1), I z 无极值 1 当x , Wz 有极大值 9
A 0 F2 F1 0 2t t
'
F1
dx t F1
F2
A
t
A 0 t 0
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第六章 弯曲应力 剪流概念的应用：形象地确定t的方向。 小论文题：试由有限元等方法评价剪流 比拟的精度。
Fs
B
中国最大内陆河新疆塔里木河
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第六章 弯曲应力 例：画下述薄壁截面剪流，确定剪流方向
tmax ： 最大弯曲切应力； [t] ： 材料纯剪切许用应力
• s ,t 联合作用强度条件（详见第9章强度理论） 讨论题：1.强度条件通常解决哪几类问题？ 强度校核、截面形状尺寸设计、确定许用载荷
2.如何确定梁的危险截面与危险点？
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第六章 弯曲应力 讨论：危险截面是否一定
20 kN
A B
6

10kN m

20kN m
200
69 MPa [s ] 100 MPa
a
30
B截面：
M y 10 10 139 s B C 34.5 MPa [s ] 6 Iz 40.3 10
b 6
y1
z
170
yC
b
·强度足够
30
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第六章 弯曲应力
t2
H
h
z
y

t1
b 2 2 t 2 h2 2 腹板 S z ( ) ( H h ) ( y ) 8 2 2 Fs t ( y) [b( H 2 h2 ) t 2 ( h2 4 y 2 )] 8 I z t2 Fs t max [bH 2 (b t )h2 ] 8 I z t2
I z y 2dA,
A
I y z 2dA
A
I yz yzdA
A
I p Iz I y
•平行移轴定理与转轴公式
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第六章 弯曲应力
§6-3 弯曲切应力
一、矩形截面梁(h>b)的弯曲切应力
h2
FS
C
t y
t FS
h2
z
y
x
dx
b2 b2 y
假设: t (y) // 截面侧边，并沿截面宽度均匀分布 思考: 能否假设 t (y) 沿截面高度均匀分布?
第六章 弯曲应力 C截面：
M C y1 20 106 61 sa Iz 40.3 106
sb
20 kN
A B
20 kN
C
D
1m
3m
1m