vEr
v v v
2vO1vO 2 r cos 2 12 R 2 cos 2 4 R 2 9 R 2
E
计算系统的动能：
1 2 1 1 2 1 2 2 T mvO1 J O1 O1 mvO 2 J O 2 O 2 2 2 2 2
2 2 4mR2 18mR2 (1 cos ) 6mR2
E
平面运动刚体上力系的功
Fi driC

Mi
dri drC dric
W Fi dri
Fi drC Fi driC
d
Fi driC Fi cos CM i d M C ( Fi )d
drC
C
W Wi Fi drC M C ( Fi )d drC M C d FR
动力学普遍定理及达朗伯原理
中国矿业大学理学院力学系
巫静波
1 基本物理量的计算
1.1—质点系及刚体动量的计算
p mi vi mvC
质点系质心的位置矢量及坐标
mi ri mi ri rC mi m mi xi xC , m mi yi yC , m mi zi zC m
O1
O2

, O1 vO1 3R

O2
vEr vO 2 r 2 3 R
vO1
O1 O2
vO2r
vEr
2 2 vO 2 v v 2 O1 O 2 r 2vO1vO 2 r cos 2 12 R 2 cos 2 4 R 2 9 R 2
由质心坐标公式，有
z
z′ ri
vi mi r′ i
rC x′
C
y′ y
O
0 mi ri mrC
x
LC ri mi vir ri mi vi LC
图中杆长为l，质量为m ，均质圆盘半径为R，质量为m，圆 心在A点。已知杆OA以角速度 绕O轴转动，试求如下几种情况 下圆盘对定点O的动量矩：
由运动学可知：
y1
O1
O2
x1
, O1 vO1 3R
建立随质心O1平动的坐标系O1 x1 y1

, vO 2 r 2 R vEr 3R
O2
2 O2
vEr vO 2 r 2 3 R
2 O1 2 O 2r
vO1
O1 O2
vO2r
ri
z′
r′ i
mi
rC
x′
C
y′ y
mi vi mvC
LC ri mi vi
x
O
LO rC mvC LC
v i vC vir
LC ri mi vi ri mi (vC vir ) mi ri vC ri mi vir
O1


vO2
O2
vE
2 2mR 6mR T 9mR 2 2 2 2
E
（3）大圆环沿粗糙水平面纯滚动。
O1
O2


计算系统的 O1 O1 mvO 2 J O 2 O 2 2 2 2 2
v
1 1 2 T ( mi )vC mi vi2 r 2 i i 2 1 1 1 1 2 2 2 v 2 (m 2m1 )v 2 m1 R ( ) mv 2 2 2 R 2 1 2 (2m 3m1 )v 2
质量为m、半径为 3R 的均质大 圆环在粗糙的水平面上纯滚。另 一小圆环质量亦为m ，半径为R ，
？1
求：图示系统的总动量。
1
O O1
？2
A O
求：图示系统的动量及质心的速度。
v v
v
B
A
O
B
1.2 质点系动量矩计算
LO M O (mi vi ) ri mi vi
z vi
r i rC ri
LO (rC ri) mi vi rC mi vi ri mi vi
O1
O2

T 6mR
2 2
（2）大圆环绕中心定轴转动。
1 1 2 1 2 2 T J O1O1 mvO 2 J O 2O 2 2 2 2
O1
O2
, vE 3R , vO 2 2 R O1 vEr vO 2 r 2 O 2 3 R J O1 9mR 2 , J O 2 mR 2
a. 平动刚体的动能
1 1 2 2 T mi vi mvC 2 i 2
1 1 2 T mi vi J z 2 2 i 2
b. 定轴转动刚体的动能
c. 平面运动刚体的动能
1 2 1 1 2 T mvC J C J P 2 2 2 2
柯尼希定理
1 1 2 T ( mi )vC mi vi2 r Te Tr 2 i i 2
O1
O2
又在粗糙的大圆环内壁做纯滚动。
不计滚动摩阻，整个系统处于铅 垂面内。求以下三种情况下系统
的动能。

（1）大圆环固定。 （2）大圆环绕中心定轴转动。
（3）大圆环沿粗糙水平面纯滚动。
（1）大圆环固定。
1 2 1 2 T mvO 2 J O 2O 2 2 2
vO 2 r vO 2 2 R , O 2 2 R J O 2 mR 2
质点系的动能(绝对运动动能)，等于系统跟随质心平 移的动能(牵连运动动能)与相对于质心平移系运动的动 能(相对运动动能)之和。 ___柯尼希定理
图示坦克的履带质量为 m ，两个车轮的质量均为 m1 。车轮 可视为均质圆盘，半径为 R ，两车轮间的距离为 R。设坦克 前进速度为 v，计算此质点系的动能。

O
A
（1）圆盘固结于OA杆上。
（2）圆盘绕轴 A 相对于杆以角速度 – 转动。
（3）圆盘绕轴 A 相对于杆以角速度 转动。
（4）圆盘以绝对角速度 绕 A 轴转动。 （5）圆盘以绝对角速度 – 绕 A 轴转动。
1.3 质点系动能和力的功的计算
质点系的动能
1 T mi vi2 i 2